6.传染病动力学模型

找到第一，二类人变化的关系，画出轨线， 找到第一，二类人变化的关系，画出轨线，从相图 上看两种人的变化， 平面上的曲线区域 0， ∞） 平面上的曲线区域: 上看两种人的变化，IS平面上的曲线区域（ + ① dI = 0 得 −1+ ρ = 0 ⇒ s = ρ. 即
ds s d2I 且 因 ds2 =−
I (t +∆t) − I (t) = k0I (t)∆t dI = k0I ( t ) dt I (0) = I0
I ( t ) = I0ek0t
(7.1)
t
解之得
(7.2)
此结果表明：病人人数按指数规律增长， 此结果表明：病人人数按指数规律增长，这与实 际不符.因为， 际不符.因为，一个地区的总人数大致可视为常 . 数 在传染病传播期间， 在传染病传播期间，一个病人在单位时间内传染 是变化的， 的人数为 0 是变化的，刚开始 0 ，随着病人增多健 大 康者减少，被传染机会也将减少，所以 就变小，因 康者减少，被传染机会也将减少， 就变小， 0 模型I 的假设要修改. 此，模型I 的假设要修改.
的同时，减少易受感染者的人数（ 在增大 ρ 的同时，减少易受感染者的人数（使s 减 传染病发生后， 少）.传染病发生后，把人隔离起来，在群体中使 s的 传染病发生后 把人隔离起来， 的 人数达到最小. 人数达到最小 当前我们常用的措施：预防、消毒、注射、隔离、 当前我们常用的措施：预防、消毒、注射、隔离、 治疗.完全符合传染病的发展规律 完全符合传染病的发展规律. 治疗 完全符合传染病的发展规律 学习模型之后，能使我们以后在更高的地位上， 学习模型之后，能使我们以后在更高的地位上，理 解这一措施. 解这一措施 槛值定理： 相比较小， 槛值定理：如果传染初期 s0 − ρ 与ρ相比较小，即 s0 − ρ 相比较小 较小，则传染进程中会出现这一现象： 较小，则传染进程中会出现这一现象： 即到传染病清除时， 即到传染病清除时，被传染人数为 2(s0 − ρ) . 定理（ 定理（Kermacl Mckendrick,1927）若 s0 − ρ 比 ρ ） s0 − ρ 较小（ 很小） 较小， 较小（即 很小）且初始时刻 I0 较小，则此 ρ 时传染病的最终传染人数为2(s0 − ρ) .
n
k
k
k
Ⅱ IS模型. IS模型 模型. 当人数不变时， 记 时刻不受感染者的人数为 ，当人数不变时， 0应随 的减少而变小. 的减少而变小. 假设： 假设：1）总人数为常数 ， 2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成 正比， 传染指数） 正比，设比例 系数为 （传染指数）
t s(t)
dI dt = ks(t)I (t) −lI (t) dS = −ks(t)I (t) dt dR dt = lI (t)
① ② ③
其中k为传染系数，I(t)为病愈人数 . I ( 0) = I0 , S(0) = S0 , R(0) = R0.I0 + S0 + R0 = n I + S + R = n. d [ I + S + R] = 0 dt
∂u(x, y, z, t) / ∂n = f (x, y, z, t),
3.第三边界条件（ 3.第三边界条件（
k∂u / ∂n = h(θ − u)，k∂u / ∂n + hu = hθ = f (x, y, z, t)
θ 为周围的介质温度）
§4.6 扩散问题
物质由浓度高向浓度低的地方传播成为 扩散. 扩散.如气体扩散、液体渗透、半导体材料 的杂质扩散. 海洋污染物的扩散等. 的杂质扩散. 海洋污染物的扩散等.
制传染病的方法和原则的数学解释， 制传染病的方法和原则的数学解释，并能使人们走 出对传染病看法的误区. 出对传染病看法的误区. 要求学生： 要求学生： 1.清楚相图，了解轨线的方位与走向， 1.清楚相图 了解轨线的方位与走向， 清楚相图， 2.明确由相图得到的几条重要解释. 2.明确由相图得到的几条重要解释 明确由相图得到的几条重要解释. 3.了解Kermack,Mekendrick的阈值定理. 3.了解 了解Kermack,Mekendrick的阈值定理 的阈值定理.
§4.5 热学问题
浇注混凝土的温度控制不当会产生裂缝. 浇注混凝土的温度控制不当会产生裂缝.所以要研究散热情 况及温度分布——热传导问题数学模型 热传导问题数学模型. 况及温度分布——热传导问题数学模型.
高温 低温
物理定律： 物理定律： (1) 热量与质量及温度成正比. Q = cmu 热量与质量及温度成正比. (2) Fourier定律.通过一曲面的热流变化率与曲面面积和函 Fourier定律 定律. 法向导数（温度梯度）成正比. 数（外）法向导数（温度梯度）成正比.
因方程中①，②两式与③可独立求解 ②÷①得
dI 1 l = −1+ ρ (令 = 为 值 特 指 ） ρ 閾 或 征 标 dS S k 求 ， 解 得 I = −S + ρ ln s + C 代 初 条 入 始 件 I0 = −S0 + ρ ln s0 + C C = I0 + S0 − ρ ln s0 所 得 以 解 I = −S + ρ ln s + ( I0 + S0 − ρ ln s0 )
∂u ∂ u ∂ u 2∂ u = a 2 + 2 + 2 + f ( x, y, z, t ) ∂t ∂x ∂y ∂z
2 2 2
其中 t 热流密度.(上式为分布参数系统-抛物型PDE) 热流密度.(上式为分布参数系统-抛物型PDE) 三种边界条件（自学） 1. 第一边界条件 u(x, y, z, t) = f (x, y, z, t),(x, y, z) ∈∂G,0 ≤ t ≤ T 2. 第二边界条件
s >ρ
s <ρ
不
在I =−S + ρ ln s + ( I0 + S0 − ρ ln S0 )中 当S →0+时,ln S →−∞.
I
(s0 , I0 )
0 ρ t
内必有一点， 故知在 内必有一点，曲线由上半平面 穿过s轴 进入下半平面. 穿过 轴，进入下半平面 从相图的走向得到结论： 从相图的走向得到结论： 若初始点P(s0 , I0 ) 的横坐标 s0在阈值之外 则到曲线 0 上升的方向前进， 上升的方向前进，到达最高点 (s0 = ρ处 ，再下降 直到曲线 ) 再下降.直到曲线 轴相交.交点在 之间. 与 轴相交 交点在 之间
t
令其得极大值点为 1 n t1 = ln( −1) kn I0
0
t1
t
模型Ⅲ 模型Ⅲ. ISR模型 ISR模型 将人群分为三类： ——传染者类 将人群分为三类： I——传染者类 S——易受传染者类 ——易受传染者类 R——不受感染者（免疫或已死亡）类 ——不受感染者 免疫或已死亡） 不受感染者（ I +S +R = n 假设： 假设：1）总人数为 n. 2）同模型Ⅱ假设2) 同模型Ⅱ假设2) 3)单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人 3)单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人 数成正比，比例系数为 l（恢复系数） 数成正比， 恢复系数）
k
某个城市中的传染病来说， 充分大.大于该城市的人口 某个城市中的传染病来说，若 ρ充分大 大于该城市的人口，则 充分大 大于该城市的人口， 此传染病必被控制. 此传染病必被控制 增大ρ 增大 的方法 : 1. 减少感染系数 ， k与传染病非常有关，但卫生工作应加强； 减少感染系数k 与传染病非常有关， 与传染病非常有关 但卫生工作应加强； 如消毒， 如消毒，预防注射 减少感染机会. 等，减少感染机会 2. 增大恢复系数 ，治疗能力加大（药的效果好，治疗及时）. 增大恢复系数l，治疗能力加大（药的效果好，治疗及时）
Ⅰ I模型：病人人数呈指数增长.不合实际. 模型：病人人数呈指数增长.不合实际. IS模型 在预测传染高峰方面，效果很好. 模型： Ⅱ IS模型：在预测传染高峰方面，效果很好. ISR模型：比较全面地研究三种人人数的变化， Ⅲ ISR模型：比较全面地研究三种人人数的变化， 模型
dI r 的相图， 通过 = −1+ 的相图，得到了现在采用的控 ds s
Ⅰ.I模型： .I模型 模型： 假设：A1） 假设：A1）每个病人在单位时间内传染的人数为 0； k A2）一人得病后，经久不愈，他在传染期内 A2）一人得病后，经久不愈， 不会死亡. 不会死亡. 设 t 时的病人数为 I (t), I (0) = I0 ， 则在 ∆t 时间内增加的病人数为
所以得
I (t) dI t= 此处t= ? 最大? dt n dI = kI ( n − I ) dt I0 n n n − 0 =k n −knt n −knt dI 1+ −1 e 1+ −1 e dt I0 I0
∂Q ∂u = −kA = kq ∂t ∂n
其中 q 为热流强度. 为热流强度. 热传导方程： 热传导方程：
∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u cρ = k + k + k + F ( x, y, z, t ) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
大气污染的扩散数学模型 这些模型是抛物型方程描述的分布参数系统
§4.7 医学问题 模型六、传染病动力学模型 模型六、
传染病动力学这一说法是借用物理学中 的动力学. 的动力学.是研究在传染病作用下各种人 （感染者类（I Infection；易受感染者类 （感染者类（I）Infection；易受感染者类 （S）Sesceptible；不受感染者类（R） Sesceptible；不受感染者类（R Residue ）的人数变化规律. ）的人数变化规律.
(0, ρ)
(s , ρ)
s
(0, ρ)
传染病增加——〉传染病被控制——〉传染病清除 〉传染病被控制 传染病增加 〉 感染者增加 感染者减少 感染者为零
从轨线的走向可得以下几个结论: 从轨线的走向可得以下几个结论 1.当易手感染者 (s)的人数大于 时，传染情况是处于传染病暴 当易手感染者 的人数大于ρ 的人数大于 发阶段 2.当s< ρ 时，传染病处于被控制阶段 传染病处于被控制阶段. 当 3.传染病清除是在没有感染者情况下出现的，而不是没有易受感 传染病清除是在没有感染者情况下出现的， 传染病清除是在没有感染者情况下出现的 染者出现的（上亿年来，人类和动物出现过若干次大的瘟疫， 染者出现的（上亿年来，人类和动物出现过若干次大的瘟疫， 都没有灭绝，这就是原因） 都没有灭绝，这就是原因） l 的大小与传染病的暴发和控制有直接关系， 门槛值 ρ = 的大小与传染病的暴发和控制有直接关系，对于
百度文库
s(t)
k
n
I (t) + s(t) = n.
k
所以有 dI (t)
= ks ( t ) I (t) = kI (t)(n − I (t)) (7.4) dt I (0) = I0
解之得
I (t) =
n
n −knt 1+ −1 e I0
(7.6)
显然当 t →∞, I (t) → n. 其含义为比较长时间之后， 其含义为比较长时间之后，人群的全体均会受到感 其实这种观点是错误的. 染，其实这种观点是错误的.但是预测传染高峰期还 是有参考价值的. 是有参考价值的.
s=ρ
ρ
s
2
<0
所 曲 在 ρ处 得 大 . 以 线 s= 取 极 值
1.研究曲线状态： 研究曲线状态： 研究曲线状态 最大值点（ ， ①.最大值点（ρ，s(ρ)） 最大值点 ） 降区间； ②升、降区间； 区间上曲线穿过s ③(0, ρ)区间上曲线穿过 轴. 区间上曲线穿过 2.各段曲线的传染过程 当 各段曲线的传染过程: 传染, 各段曲线的传染过程 传染 当 0 0 会传染 （为什么？） 为什么？） 3.感染者初始人数与 比较，对传染的影响有多大？ 感染者初始人数与ρ比较 感染者初始人数与 比较，对传染的影响有多大？ 曲线在小于ρ处与 轴相交 轴相交， ②曲线在小于 处与 s轴相交，