函数的奇偶性经典例题

2．4 函数的奇偶性

【知识网络】

1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】 例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ）

①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

提示：①不对，如函数21

()f x x

=是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A ．

（2）已知函数2

()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ）

A ．3

1

=

a ，

b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 提示：由2

()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0．

又定义域为［1,2a a -］，∴ (1)20a a -+=，∴31

=

a ．故答案为A ． （3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2

()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的 表达式是（ ）

A ．(2)y x x =-

B ．(||2)y x x =+

C ．||(2)y x x =-

D ．(||2)y x x =-

提示：由0x ≥时，2

()2f x x x =-，()f x 是定义在R 上的奇函数得：

当x ＜0时，0x ->，2

()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=--

∴(2)

(0)()(2)(0)x x x f x x x x ≥⎧⎨<⎩

-=--，即()(||2)f x x x =-，答案为D ．

（4）已知53

()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于26-

提示：53

()8f x x ax bx +=++为奇函数，(2)818f -+=，∴(2)818f +=-，∴(2)26f =-．

（5）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若1

1)()(-=

+x x g x f ，则()f x 的解析式为

提示：由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，可得11

)()(--=

-x x g x f ，联立

11

)()(-=

+x x g x f ，得：21111

()()1211

f x x x x +==----， ∴1

1

)(2-=

x x f 例2．判断下列函数的奇偶性：

（1）1()(1)

1x

f x x x

+=--(2)22()11f x x x --； （3）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）22(0)()(0)x x

x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩

．

解：（1）由

101x

x

+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．

(2) 2

22101110

x x x x ⎧-≥⎪⇒=⇒=±⎨-≥⎪⎩，∴ ()0f x = ∴()f x 既是奇函数又是偶函数．

（3）由2

2

10|2|20

x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)

()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222

lg[1()]lg(1)

()()x x f x x x ----=-=-

-()f x = ∴()f x 为偶函数 （4）当0x <时，0x ->，则22

()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，

当0x >时，0x -<，则22

()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，

综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数． 例3．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式： 2(2)(4)0f a f a -+-<．

解：由已知得2

(2)(4)f a f a -<--

因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2

(2)(4)f a f a -<-． 又()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，从而

即不等式的解集是2)．

例4．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3

f =-．

（1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 在R 上是减函数；（3）求()f x 在[3-，6]上的最大值与最小值．

（1）证明：令0x y ==，可得 (0)(0)(00)(0)f f f f +=+=，从而，f(0) = 0．

令y x =-，可得 ()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数． （2）证明：设12,x x ∈R ，且12x x >，则120x x ->，于是12()0f x x -<．从而 所以，()f x 为减函数．

（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f -，最小值为(6)f ． 于是，()f x 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4． 【课内练习】

1．下列命题中，真命题是（ C ）

A ．函数1

y x

=

是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数30(1)y x x =-是奇函数，且在定义域内为增函数 C ．函数2y x =是偶函数，且在（-3，0）上为减函数

D ．函数2(0)y ax c ac =+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数

提示：A 中，1

y x =

在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a <时，2

(0)y ax c ac =+≠在（0，2）上为减函数，答案为C ．

2． 若)(x ϕ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ）