储庆昕高等电磁场讲义 第九章

第9讲 广义Maxwell 方程和互易定理

9.1 广义Maxwell 方程

Maxwell 方程有一个缺陷就是不对称，既不存在磁荷。一些完美主义者认为世界是对称的,所以Maxwell 方程也应该是对称的。多少年来寻找磁荷的工作从未间断过，但一直未确切地发现。不过在数学形式上，引入磁流和磁荷,使Maxwell 对称，可以简化分析和计算。

引入假想的磁荷密度ρm 和磁流密度

M 以后，频域的Maxwell 方程有如下的对称形式：

∇⨯=+

H j D J ω （9-1）

∇⨯=--

E j B M ω （9-2）

m B ρ=⋅∇

（9-3）

ρ=⋅∇D

（9-4）

称之为广义Maxwell 方程。对于电流连续性方程

∇⋅+=

J j ωρ0 （9-5）

磁流连续性方程为 ∇⋅+=

M j m ωρ0 （9-6）

广义边界条件为

()n

H H J s ⨯-=

12 （9-7） ()n

E E M s ⨯-=-

12 （9-8） ()n

B B ms ⋅-=

12ρ （9-9） ()n

D D s ⋅-=

12ρ （9-10）

对于理想导体壁（电壁）， E 20=, H 20=,

M s =0,ρms =0，则

n

H J s ⨯=

（9-11） n E ⨯=

0 （9-12） n B ⋅=

0 （9-13） n D s ⋅=

ρ （9-14）

对于理想磁体壁（磁壁）， E 20=, H 20=,

J s =0,ρs =0，则

n H ⨯=0 （9-15） n E M s ⨯=- （9-16）

ms B n ρ=⋅ ˆ （9-17） 0ˆ=⋅D n

（9-18）

9.2 对偶原理

从上述方程中可以看出广义Maxwell 方程及边界条件存在如下的对称性

H E

-⇔ （9-19）

B D

⇔ （9-20） M J

⇔ （9-21） m ρρ⇔ （9-22）

电壁⇔磁壁 （9-23） εμ⇔- （9-24）

这种对称性称为对偶原理，也称二重性原理。利用对偶原理可以由一类问题的解，经过对偶变换，得到另一类问题的解。既可以帮助记忆，也可以简化计算。

常用的有如下两类：

（1） 电流源问题与磁流源问题

场源只有电荷和电流时称为电流源问题；场源只有磁荷和磁流时称为磁流源问题。利用对偶关系可以直接从一种问题的场表示式得到另一种问题的场表示式。

图9-1 (a) 电流元 (b) 磁流元 (c) 小圆电流环

[例9-1]已知自由空间电偶极子（电流元Il ）（如图9-1a 所示）在远区产生的辐射为：

E j IL

r e jkr θωμπθ=

-04sin H jkIl r

e jkr ϕπθ=-4sin

根据对偶原理，可得自由空间磁偶极子（磁流元Kl ）（如图9-1b 所示）在远区产生的辐射场

H j Kl r e jkr θωεπθ=-4sin

E jkKl

r

e jkr ϕπθ=--4sin

我们知道小圆环电流（图9-1c ）在远区产生的场为

H k IS

r e jkr θπθ=--24sin

E kIS r

e jkr ϕωμπθ=-4sin

式中，I S ,分别为环的电流和面积。比较可知小圆环电流可以等效为磁偶极子，其磁流元Kl j IS =ωμ。所以，虽然世上尚未发现真实的磁流和磁荷，但在等效意义上是可以建立磁荷和磁流的。

应当注意的是，应用对偶原理时不仅要求方程具有对偶性，而且要求边界条件也具有对偶性。例如图9-2所示的问题，当电流元变换成磁流元时，电壁也要变换为磁壁。

图9-2 对偶原理的应用

（2） 无源区域中电场表达式与磁场表达式

在无源区域，电场与磁场如果边界条件数学形式相同，则内部场成对偶关系。

[例9-2] 考虑图9-3所示的矩形波导。我们知道电场和磁场均满足相同形式的波动方程。 电场分量E y 满足边界条件

E E y

y

x a

y y b

====0000,,,

∂∂

磁场分量H x 满足边界条件

H H y

x

x a

x y b

====0000,,,

∂∂

电场分量E x 满足边界条件

∂∂E x

x x a

==00, E x

y b

==00,

磁场分量H y 满足边界条件

∂∂H x

y x a

==00, H y

y b

==00,

所以E x 与H y ，E y 与H x 成对偶关系。如TE mn 模

E E m a x n b

ye y y j z

=-0sin

cos ππβ 则由对偶关系得 H H m a x n b

ye x x j z

=-0sin

cos ππβ

图9-3 矩形波导

9.3 Lorenty 互易原理

互易原理反映了源与场之间的对称性。

设电流源 J 1产生电磁场 E 1和 H 1， J 2产生 E 2和

H 2。对于一般媒质，Maxwell 方程为

J 1源： ∇⨯=+

H J j E 111ωε （9-25）

∇⨯=-⋅

E j H 11ωμ （9-26）

J 2源： ∇⨯=+⋅

H J j E 222ωε （9-27）

∇⨯=-⋅

E j H 22ϖμ （9-28）

式中，ε，μ分别为媒质的张量介电常数和张量磁导率。

根据矢量公式，∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯()

a b b a a b ，有

∇⋅⨯-⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯-∇⨯+⋅∇⨯()()()

()()

E H E H H E E H H E E H 122121121221

将（9-25）,（9-26）代入，得

∇⋅⨯-⨯=-⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅()

E H E H j H H E J j E E j H H E J j E E 1221211212122121

ωμωεωμωε （9-29）

如果媒质互易，即 εε=T ，μμ=T

，则

H H H H H H H H E E E E T 21121212

2112

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅μμμμεε() 代入（9-29），可得互易定理的微分形式 21121221)(J E J E H E H E

⋅-⋅=⨯-⨯⋅∇ （9-30）

其积分形式为

()()

E H E H ds E J E J dv v

s

12212112⨯-⨯⋅=⋅-⋅⎰⎰ （9-31）