第九章力学量本征值问题的代数解法
曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案
+a
= 2mω a 2 ⋅
得 a2 = （3）
π = mωπ a 2 = n h 2
代入（2） ，解出
E n = nℏω ,
积分公式：
n = 1, 2 , 3 , ⋯ a 2 − u 2 du = u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
（4）
∫
2π
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
（1）
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0 a x （2）
a = 2 E / mω 2 ，
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
+a
∫ p ⋅ dx = 2 ∫
nh 2ℏn = mωπ mω
−a
1 2m( E − mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 ∫ a 2 − x 2 dx 2 −a
∫= 1, 2 , ⋯ , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量） ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫
∴
因而平面转子的能量
力学量本征值问题的代数解法
2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
力学量本征值问题的代数解法
第九章 力学量本征值问题的代数解法本征值问题的解法: 分析解法，代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法 升、降算符一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。
令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+其逆为)(21a a x +=+，)(2a a i p -=+。
利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a i p -=+代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N +=ˆ。
由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。
但上式 左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。
这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。
如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。
第9章 力学量本征值问题的代数解法
。 /2
利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na
(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7
联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)
2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14
利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ
ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10
将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5
利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
数学物理方法-第9章-本征值问题
d
dx
dt x dt
(
1dy
y
2
y
2
dt
2
x y
dy dt
20
dt
记D
d dt
,D
k
d
k k
( k 2, 3, ) , 则由上述计算可知:
dt x y D y
2
x y D y D y D(D 1) y
2
用归纳法可证
于是欧拉方程
x y
n ( n)
球坐标系和柱坐标系中分离变量法
圆球形和圆柱形是两种常见的边界，本章考察拉
普拉斯方程在球坐标系和柱坐标系中分离变量法所导
致的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程 （一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u (
2 2
x
2 2
y
2 2
z
)u 0
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
y x
1 2 u 1 u 1 u r s in 0, 2 2 2 2 2 r r r r s in r s in u f ( , ) ra u r0 有 限 值 , 隐含着的周期边值条 u ( r , , ) u ( r , , 2 ), 件和球内约束条件 u 有限值, 0 ,
x co s
2
s in
s in
x x
第九章第四节 施图姆刘维尔本征值问题
b a
ym
xyn
x x dx
N m2 mn......9.4.18
其中
mn
1,n m 0,n m......9.4.19
是克罗内克符号。对于正交归一化的本征函数族，
(9.4.18)简化为
b
a
ym
xyn
x
xdx
mn
......
9.4.20
(四) 复数的本征函数族
对于本征值问题
0,
自然周期条件
或满足自然边界条件 kb 0
都有 kyn ym kym yn xb 0
2、如果在端点 x b满足第三类齐次边界条件
ym hym xb 0, yn hyn xb 0
则， kyn ym
kym yn xb
1 h
k
yn
y
m
hym
kym yn hyn xb 0
总之右边第一项为零。同理在端点x=a若满足上面的边
0a
x
b9.4.1
d
d
dy
d
m2
y y
0,
P230式(9.1.22)
y0有限，y0
0.......9.4.5
贝塞尔方程本征 值问题
⑤ a ,b ;kx ex2 , qx 0, x ex2.
代入施图姆-刘维尔方程
d dx
k x
dy dx
qxy
xy
0a
x
b9.4.1
d dx
e
如果在端点 x a 满足第三类齐次边界条件
则，
yn hyn xa 0
kyn yn xa k yn hyn yn hkyn 2 xa h kyn 2 xa 0
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(3)
第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于21,21===s j l j 的耦合。
试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）:()21),0( 21+=≠-=m ml l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。
因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m jm j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m时 ，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。
量子力学 09力学量本征问题的代数解法
[N ， ] a a
（18）
可得到：
N a | n n +1)a | n （
（19）
即有：
N | n 1 n +1)| n 1 （
a | n c1 | n 1
由于
n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2
利用归一化条件可得 再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1
x
2
n | a a | n | c |
2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有
n
a | n
n | n 1
（14）
由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。
另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
n
故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）
n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出
a | 0 0
数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解
量子力学作业习题
第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
Chapter 9 力学量本征值问题的代数解法
∑
n =0
α
n
n!
| n〉 = e
−α /2 α a
2
+
e
0
(46)
由于 a 并非厄米算符,本征值 α 可取复数值, 不 受限制。上式称为谐振子的相干态(Coherent－ States)。 其中 | n〉 态的成分为：
| α | −|α |2 | 〈 n | α 〉 | =| Cn (α ) | = e (47) n! 呈泊松分布,当 α = 0 时,(46)式变为基态 | 0〉 。
+
+
+
(11)
而 H 可以表示成
H = (a a + 1 2) ω
(9)式可以写为
+
(12) ( 9′ ) (13)
H a = a( H − ω )
上式作用于| n〉 态，得到
H a | n〉 = ( En − ω )a | n〉
这表明，如果 a | n〉 ≠ 0，它就是 H 的另一个本 征态矢量，本征值为 ( En − ω ) 。重复这个推导
ψ 0 (x)=A e
−
α 2 x2
2
2
代入上式即有：
⎞ ⎟, ⎠
14
ψ 0 ( x ) = (α π ) e
2 14
−
α 2 x2
2
(38)
激发态 | n〉 的波函数可由(34)式求得。用 〈 x | 左 乘(34)式两边，得： + 1 ψ n ( x ) = 〈 x | n〉 〈 x | (a ) n | 0〉
由(46)式
∫ dα
2
α α =∫ dα
0
∞
∑α ∫
α
数学物理方法-第9章-本征值问题
有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条 件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标：
2 2 2 x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
s2 v
Jv ( x)
(1)k
k 0
1 k!(v k
1)
( x )v2k 2
Jv ( x)
(1)k
k 0
1 k!(v k
1)
( x )v2k 2
( z) e t t z1dt, 0
( z 1) z( z) (n 1) n! (1) 1,
(1/ 2)
25
26
27
28
z
u x2 y2 z2 a2 f (x, y, z)
坐标变换
y
x r sin cos , 0 r a y r sin sin , 0 2
x
z r cos ,
0
1
r
2
r
r
2
u r
r2
1
sin
sin
u
r2
1
sin2
2u
2
0,
u f ( ,)
u
ra r0
d
d
自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
l-阶缔合(连带）勒让德(Legendre)方程
x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
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(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2 ] 0
【精品文档】量子力学第九章粒子数表象.大学本科.课堂教案
由于 [Nˆ , aˆ+ ] = aˆ+
（13）
则 Nˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Nˆ + aˆ+ ) n = (n +1)(aˆ+ n ) （17）
aˆ +
说明
n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n +1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ+ ] = ωaˆ+
则
Hˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Hˆ + ωaˆ+ ) n = (En + ω)(aˆ+ n )
2
其中厄米算符 xˆ 和 pˆ 满足如下对易关系： [xˆ, pˆ ] = i
本节我们从新的角度讨论这一问题，给出谐振子能量本征值问题的一种 代数解法。（Schrödinger因式分解法）
一、用 aˆ, aˆ+ 重新改写谐振子的Hamilton量 1.定义新的算符 aˆ, aˆ+ , Nˆ
2.用算符 aˆ , aˆ + 表示谐振子Hamilton量
说明 aˆ n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n −1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ] = − ωaˆ 则 Hˆ (aˆ n ) = (aˆHˆ − ωaˆ) n = (En − ω)(aˆ n )
而由（12）式 Nˆ n = n n
Nˆ n −1 = (n −1) n −1
（12’）
可知
即， n −1 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值也为 n −1
则有
aˆ n = c n −1
再利用归一化条件： 〈n | aˆ+aˆ | n〉 = 〈n −1| c*c | n −1〉
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利用上式及
Nˆ 0 0 0 ,
从 0 出发，逐次用 a 运算，可得出 Nˆ 的全 部本征态：
利用
[a, a ] 1
有
aa 1 aa 1 Nˆ
已知 0 是 Nˆ 的本征态，本征值是0
由
Nˆa n (n 1)a n 可知
Nˆa 0 1 a 0
即 a 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是1
Nˆ 本征值为 0,
1,
2,
H 本征值为 1/ 2, 3 / 2,
5 / 2,
所以，a 可以成为上升算符， a 可以称为
下降算符。
证毕。
这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。
利用归纳法可以证明（课下证）： Nˆ （即 H ）的归一化本征态可表为
为什么？
n 1 (a )n 0 , n!
且满足
H n n 1 n , 2
n n ',n1 )
2. 能量本征态在坐标表象中的表示
考虑基态 | 0 ，它满足
a | 0 0
即
(x ip) 0 0
在坐标表象中，上式可以写为
x'| x ip 0 0
插入完备性关系 dx''| x'' x''|1 得
下面看 a2 0 是否也是 Nˆ 的本征态，本征值 是多少？
显然
Nˆa2 0 aa a2 0 aa aa 0 a (1 Nˆ )a 0 a2 0 a Nˆa 0
a2 0 aa 0 2a2 0
故 a2 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是2 这样
对本征态 | 0 , a | 0 , a2 | 0 ,
22
而基本对易式是 x, p i,
令
a 1 ( x ip), a 1 ( x ip),
2
2
其逆为
x 1 (a a), 2
p i (a a). 2
利用上述对易式，容易证明(请课后证明) [a, a ] 1.
此时能量以 为单位 长度以 / 为单位 动量以 为单位
将两类算符的关系式
[Nˆ , a ] a , [Nˆ , a] a,
因此
[Nˆ ,a] n a n .
但上式左边 Nˆa n aNˆ n Nˆa n na n ,
由此可得 Nˆa n (n 1)a n .
这说明，a | n 也是 Nˆ 的本征态，相应本
征值为 (n 1) 。
如此类推，从 Nˆ 的本征态 | n 出发，逐次
m | a n 1 | n 1 m | n m | n | n
移项，得 m | a | n 1 m | n 1 | n 上式对任意m都成立，所以
a | n 1 n 1 | n
或 连同
a | n n | n 1 a | n n 1 | n 1
这就是下降和上升算符的定义,很有用处。
第九章 力学量本征值问题的代数解法
分析解法
本征值问题的解法
代数解法
§9.1 一维谐振子的Schrödinger因式分解法 升、降算符
一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为
H 1 p2 1 2 x2. 2 2
采用自然单位 ( 1)
则
H 1 p2 1 x2,
用 a 运算，可得出 Nˆ 的一系列本征态
| n , a | n , a2 | n ,
相应的本征值为
n, n 1, (n 2), .
因为 Nˆ 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。
若设最小本征值为 n0，相应的本征态为 n0
则
a n0 0
此时 Nˆ n0 aa n0 0 0 n0 ,
即 n0 是 Nˆ 的本征值为0的本征态,或 n0 0.
此态记为 | 0 ，又称为真空态，亦即谐振子 的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加 上自然单位)为 / 2 .
利用
[ Nˆ , a ] a
同样可以证明
Nˆa n (n 1)a n
这说明 a n 也是 Nˆ 的本征态，本征值为
三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算
利用
a | n n 1 | n 1
a | n n | n 1
以及
x 1 (a a), 2
容易证明：
p i (a a) 2
Байду номын сангаас
xnn
pnn
1( 2 i( 2
n 1nn1 n 1nn1
n nn1 )
,
nnn1)
拿第一式的证明为例。
所以 Nˆ 为正定厄米算符
二、Hamilton量的本征值
下面证明，若Nˆ 的本征值为n , n 0,1,2,
则 H 的本征值 En为(自然单位， )
En
n
1 , 2
n 0, 1, 2, .
证明: 设|n>为 Nˆ 的本征态( n为正实数)，即
Nˆ n n n ,
利用 [a, a ] 1 及 Nˆ aa 容易算出
因为 所以
x 1 (a a) 2
xn'n n'| x | n
1 ( n'| a | n n'| a | n ) 2
1 ( n'| n 1 | n 1 n'| n | n 1 ) 2
1 ( n 1 n'| n 1 n n'| n 1 ) 2
1( 2
n 1n',n1
a | n 1 1 aa | n n
或
a a | n a n | n 1
上式作用任一左矢 m |，有 m | aa | n m | a n | n 1
利用 [a, a ] 1 有 aa aa 1 代入上式
即 m | aa 1| n m | a n | n 1
或 m | aa | n m | n m | a n | n 1 利用 a | n n 1 | n 1 上式变为
x 1 (a a), p i (a a)
2
2
代入一维谐振子的Hamilton量 H 1 p2 1 x2,
22
有
H aa 1 Nˆ 1
2 2
上式就是Hamilton量的因式分解法，其中
Nˆ aa.
由于 Nˆ Nˆ , 而且在任何量子态 下
N ( , aa ) (a , a ) 0
n n nn.
由n
1 (a )n 0 n!
得
n 1 1 (a )n1 0
(n 1)!
所以 a | n 1 (a )n1 | 0 n!
n 1 (a )n1 | 0 (n 1)!
从而有
n1| n1
a | n 1 n | n
而由 所以
Nˆ | n aa | n n n 得
1 aa | n n n n