第九章力学量本征值问题的代数解法

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而基本对易式是 x, p i,
令
a 1 ( x ip), a 1 ( x ip),
2
2
其逆为
x 1 (a a), 2
p i (a a). 2
利用上述对易式，容易证明(请课后证明) [a, a ] 1.
此时能量以 为单位 长度以 / 为单位 动量以 为单位
将两类算符的关系式
x 1 (a a), p i (a a)
2
2
代入一维谐振子的Hamilton量 H 1 p2 1 x2,
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有
H aa 1 Nˆ 1
2 2
上式就是Hamilton量的因式分解法，其中
Nˆ aa.
由于 Nˆ Nˆ , 而且在任何量子态 下
N ( , aa ) (a , a ) 0
因为 所以
x 1 (a a) 2
xn'n n'| x | n
1 ( n'| a | n n'| a | n ) 2
1 ( n'| n 1 | n 1 n'| n | n 1 ) 2
1 ( n 1 n'| n 1 n n'| n 1 ) 2
1( 2
n 1n',n1
(n 1) 。
利用上式及
Nˆ 0 0 0 ,
从 0 出发，逐次用 a 运算，可得出 Nˆ 的全 部本征态：
利用
[a, a ] 1
有
aa 1 aa 1 Nˆ
已知 0 是 Nˆ 的本征态，本征值是0
由
Nˆa n (n 1)a n 可知
Nˆa 0 1 a 0
即 a 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是1
三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算
利用
a | n n 1 | n 1
a | n n | n 1
以及
x 1 (a a), 2
容易证明：
p i (a a) 2
xnn
pnn
1( 2 i( 2
n 1nn1 n 1nn1
n nn1 )
,
nnn1)
拿第一式的证明为例。
n n nn.
由n
1 (a )n 0 n!
得
n 1 1 (a )n1 0
(n 1)!
所以 a | n 1 (a )n1 | 0 n!
n 1 (a )n1 | 0 (n 1)!
从而有
n1| n1
a | n 1 n | n
而由 所以
Nˆ | n aa | n n n 得
1 aa | n n n n
n n ',n1 )
2. 能量本征态在坐标表象中的表示
考虑基态 | 0 ，它满足
a | 0 0
即
(x ip) 0 0
在坐标表象中，上式可以写为
x'| x ip 0 0
插入完备性关系 dx''| x'' x''|1 得
m | a n 1 | n 1 m | n m | n | n
移项，得 m | a | n 1 m | n 1 | n 上式对任意m都成立，所以
a | n 1 n 1 | n
或 连同
a | n n | n 1 a | n n 1 | n 1
这就是下降和上升算符的定义,很有用处。
用 a 运算，可得出 Nˆ 的一系列本征态
| n , a | n , a2 | n ,
相应的本征值为
n, n 1, (n 2), .
因为 Nˆ 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。
若设最小本征值为 n0，相应的本征态为 n0
则
a n0 0
此时 Nˆ n0 aa n0 0 0 n0 ,
[Nˆ , a ] a , [Nˆ , a] a,
因此
[Nˆ ,a] n a n .
但上式左边 Nˆa n aNˆ n Nˆa n na n ,
由此可得 Nˆa n (n 1)a n .
这说明，a | n 也是 Nˆ 的本征态，相应本
征值为 (n 1) 。
如此类推，从 Nˆ 的本征态 | n 出发，逐次
所以 Nˆ 为正定厄米算符
二、Hamilton量的本征值
下面证明，若Nˆ 的本征值为n , n 0,1,2,
则 H 的本征值 En为(自然单位， )
En
n
1 , 2
n 0, 1, 2, .
证明: 设|n>为 Nˆ 的本征态( n为正实数)，即
Nˆ n n n ,
利用 [a, a ] 1 及 Nˆ aa 容易算出
Nˆ 本征值为 0,
1,
2,
H 本征值为 1/ 2, 3 / 2,
5 / 2,
所以，a 可以成为上升算符， a 可以称为
下降算符。
证毕。
这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。
利用归纳法可以证明（课下证）： Nˆ （即 H ）的归一化本征态可表为
为什么？
n 1 (a )n 0 , n!
且满足
H n n 1 n , 2
下面看 a2 0 是否也是 Nˆ 的本征态，本征值 是多少？
显然
Nˆa2 0 aa a2 0 aa aa 0 a (1 Nˆ )a 0 a2 0 a Nˆa 0
a2 0 aa 0 2a2 0
故 a2 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是2 这样
对本征态 | 0 , a | 0 , a2 | 0 ,
第九章 力学量本征值问题的代数解法
分析解法
本征值问题的解法
代数解法
§9.1 一维谐振子的Schrödinger因式分解法 升、降算符
一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为
H 1 p2 1 2 x2. 2 2
采用自然单位 ( 1)
则
H 1 p2 1 x2,
即 n0 是 Nˆ 的本征值为0的本征态,或 n0 0.
此态记为 | 0 ，又称为真空态，亦即谐振子 的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加 上自然单位)为 / 2 .
利用
[ Nˆ , a ] a
同样可以证明
NˆaБайду номын сангаасn (n 1)a n
这说明 a n 也是 Nˆ 的本征态，本征值为
a | n 1 1 aa | n n
或
a a | n a n | n 1
上式作用任一左矢 m |，有 m | aa | n m | a n | n 1
利用 [a, a ] 1 有 aa aa 1 代入上式
即 m | aa 1| n m | a n | n 1
或 m | aa | n m | n m | a n | n 1 利用 a | n n 1 | n 1 上式变为