浅谈算术解法与代数解法

浅谈算术解法与代数解法

作者：张逸柔

来源：《教育周报·教研版》2016年第15期

无论中高中数学还是初中数学，有些内容看似复杂，但在解题的方法上又颇为灵活，而且总会有一些知识既是大家关注的焦点，又是学习的难点。如现实生活中，我们就无法回避“算术解法”与“代数解法”相比较的问题。许多同学对此认识模糊，难以摆脱算术解法思维模式的羁绊，抓不住代数解法的思考方向和要领，缺乏新知识应用的自觉性。下面我以高中理科生的身份，和同学们谈谈几点心得感受。

一、从思考过程上看对待未知数的不同态度

算术与代数两种解法的不同思维方法，首先表现在思考过程中对待未知数的态度不同。算术解法只看到已知数与未知数对立的一面，在它们之间划了一道不可逾越的鸿沟。在具体思考中，不少同学把已知数当作探索过程的起点，而题目所需要的未知数只能是探索过程的终点。遇到较为复杂的应用题，要寻找到解题的正确方向与途径，往往需要付出大量艰辛的探索，这正是算术解法“落后”的标志，其直接原因是：提前背起了未知数的“未知”这一沉重包袱，没能调动未知数的“积极性”，发挥它身上的“导向功能”。不能把已知数和未知数放在一起考虑，平等地对待；总认为已知数是现实的，而未知数只存在于未来理想中，已知数与未知数彼此不通“音信”，也就无法弄清它们之间的全部数量关系，问题的全貌就无法展示出来，如此解题既费时又费力，实非中学数学之上策。下面我举一实例，供同学们参考。例如：甲、乙两厂去年分别完成任务的112%和110%，共生产机床4000台，比原任务（两厂之和）超产400台。甲厂原任务生产多少台？用算术解法，省去探求过程，说明如下：

从解题的艰难过程来看，幸亏有“假设”的妙想帮忙，而代数解法以“已知”和“未知”的对立统一思想为指导，积极促进“未知”向“已知”转化，首先用字母表示其中一个未知数，并用含字母的代数式表示相关的其它未知数，做到将未知数化“无形”为“有形”，再将未知数和已知数“面对面”放在一起，通过它们的交融，我们就不难找出它们之间的全部数量关系，进而抓住反映问题全部含义的相等关系，然后用含有未知数的代数式分别表示反映“相等关系”的等式左边和右边，从而得到方程。方程的建立，标志着解答应用题已经取得决定性胜利。接下来解方程，求未知数的值，相信各位已不在话下。大家切莫忘记，在发现相等关系建立方程的过程中，“未知”与“已知”的“平等对话”立下了头功。

请看下面例题的代数解法过程：设甲厂原任务为x台，则乙厂原任务为（4000-400-x）台，让以上两个未知数与已知数4000台等处于平等“地位”，统一到下面的相等关系中：甲厂实际生产台数+乙厂实际生产台数=两厂实际生产总量。利用有关数量关系，甲厂实际生产台数表示为：112%X台，乙厂实际生产台数表示为：（4000-400-x）·110%台，于是得出方程：112%x+110%（ 4000-400-x） =4000。至于解方程，那是程序化的运算操作，也就不是什么难事了。

二、从思想方法上看两种解题方法的优劣

代数解法从整体入手，一开始就抓住既包括已知也包括未知的整体，将问题的“全部涵义”通过方程暴露在“光天化日之下”，再利用“操作系统”，也就是解方程的方法步骤求出问题的解，它常具有居高临下、省时省力的优点。而算术解法从局部入手，着眼于数量之间的“狭窄阴暗空间”，把已知数当作唯一依靠，“摸着石头过河”，不能把所有已知数和未知数都作为基点，利用它们之间全部数量关系，架起一座通往未知的“桥梁”（方程）。代数解法用相互联系的目光看问题，把数量关系作为探索的主要目标，把握了数量关系之“藤”就能“顺藤摸瓜”（求未知数）。而算术解法的目标，是一个个彼此孤立的数量，用孤立静止的目光看问题，看不到或不善于综合利用数量之间的系统联系，算术解法过于“功利”，过于“现实”，重视眼前，力争每一步求出一个数量，而代数解法着眼“将来”，优先考虑数量的“生存环境”（数量关系）的优化（建立方程）。

看来，我们不仅要对代数解法的特点和优越性有清醒的认识，而且还要掌握如下几方面的思考要领。一是要弄清题意，明白问题中的已知数和未知数，并用字母表示其中一个未知数，一般是题目要求的未知数。二是要把分析重点放在掌握已知数与未知数的所有数量关系上，并找出“反映问题”全部含义的相等关系。三是要根据这个“相等关系”的左边和右边，列出需要的代数式，从而列出方程。这些要领，我们要在各种题型的分析中反复体会才能掌握，并形成技能，从而提高运用代数方法解决实际问题的能力。