第四章 重复博弈

两人零和博弈有限次重复的所有阶段都不可能发生合 作，因为他们的利益关系是完全对立的。博弈方会一 直重复原博弈的混合策略纳什均衡。 两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不可能发生合 作，博弈方会一直重复原博弈的混合策略纳什均衡 由于无限次重复博弈没有最后一个阶段，所以无法用 逆向归纳法证明。 类似的方法是从无限次重复博弈的第t阶段，进行逆向 归纳。注意t是任意的。
Cont..
实际上，触发策略的可信性是一个复杂的 问题，会受到各方面因素的影响。例如： 心情，性格等 但并不是每个触发策略都不可信。所以 利用触发策略分析重复博弈是有价值的。
三、两市场博弈的重复博弈
厂商2 A 厂 商 1 A B 3，3 4，1 B 1，4 0，0
两市场博弈
4.2.4 有限次重复博弈的民间定理
三、策略、子博弈和均衡路径
策略：博弈方在每个阶段针对每种情况如何行 为的计划。 子博弈：从某个阶段（不包括第一阶段）开始， 包括此后所有的重复博弈部分。 因此：动态博弈的分析方法都可用于重复博弈。 均衡路径：由每个阶段博弈方的行为组合串联 而成。
四、重复博弈的得益
有限次重复博弈的总体得益方法之一： 计算重复博弈的“总得益”——博弈方各次重复 得益的总和。 有限次重复博弈的总体得益方法之二： 计算各阶段的平均得益
厂 H 商 M 1 L H 8，8 9，3 5，3
厂商2 M 3，9 6，6 5，3
L 3，5 1，3 4，4
重复三价博弈的等价模型 不可信报复
第一阶段不管选什么策略，二阶段都选 (M,M),于是将(3,3)加到其余策略上，得到 右边等价的得益矩阵。结果第一阶段最 佳策略不是(H,H),而是(M,M)
4.2.3多个纯策略纳什均衡博弈的 有限次重复博弈 一、三价博弈的重复博弈
厂商2 H M L 显然(M,M)(L,L)是纯策略厂 5，5 0，6 0，2 H Nash均衡，但双方最 商 M 6，0 3，3 0，2 1 L 2，0 2，0 1，1 理想的策略(H,H)却不 三价博弈 能实现。 如果对这个博弈重复两次。他的均衡路径很多， 的确可以实现策略(H,H)。
上述策略是厂商2对厂商1的同样触发策略的最 佳反应，否则偏离是最佳反应。
补充：
例题：
假定两家企业A与B之间就做广告与不做 广告展开博弈，它们的报酬矩阵如下：
企业B 做 企 做 业 A 不做 100，100 0，300 不做 300，0 200，200
两企业广告博弈博弈
如果博弈是重复的，但我们不考虑无限 次的情形，假设只进行10次对局。 再假定企业A采取的是“以牙还牙”的策 略，并在第一次对局中不做广告，企业B 也将采取“以牙还牙”的策略。对企业B， 考虑两种不同的情况：在第一次做广告 或第一次不做广告，分别计算这两种情 况下企业B的累计利润，试问企业 B将如 何行动？
无名氏定理（folk theorem）
如果博弈重复无限次，或者每次结束 的概率足够小，如果δ充分接近1，任何 个人理性可行支付向量都可以作为子博 弈精炼纳什均衡结果出现
4.3.3 无限次重复古诺模型
一、古诺模型的无限次重复博弈和支持垄断产量的条件 假定：P = 8 − Q, 其中Q = q + q ，边际成本都为2。 在一次性博弈中唯一的Nash均衡(2,2),古诺产量用qc表 示。如果只有一个垄断厂商，垄断产量qm=3， Nash均 衡的总产量4大于垄断产量3，各厂商生产垄断产量的一半 1.5；双方得益都会增加，但一次性博弈不能实现。 那么,在无限次重复古诺模型中，能实现吗？ 可以证明：在无限次重复古诺模型中，当贴现率 δ 满足一 定条件时，两厂商采用下列触发策略构成一个子博弈完美 纳什均衡：
三、有限次重复寡头削价竞争博弈
Fra Baidu bibliotek
寡头2 高 价 寡 高价 头 1 低价 100，100 150，20 低 价 20，150 70，70
有唯一纯策略纳什均衡 （70，70） 有限次重复的结果仍然是 （低价，低价）
削价竞争博弈
四、重复囚徒困境悖论和连锁店悖论
有惟一纯策略Nash均衡的有限次重复博弈的分 析和定理是强烈的，但这与人们的直觉经验有矛 盾，大量的实验研究表明，其结果与理论结果也 不一样。 1978年，塞尔顿提出的“连锁店悖论” 在n个市场(例如n个城市)都开设有连锁店的企业， 对各个市场的竞争者是否应该打击的策略选择？
2
Cont…
但从第二阶段开始，厂商1将报复性地永远采用 古诺产量2，这样厂商2也被迫永远采用古诺产 量，从此得利润4。因此，无限次重复博弈第一 阶段偏离的情况下总得益的现值为： 4δ 5.0625 + 4(δ + δ + ) = 5.0625 + 1− δ
2
4.5 4δ 当 1 − δ ≥ 5.0625 + 1 − δ 即δ ≥ 9 17
第四章 重复博弈
重复博弈： 基本博弈（完全信息静态博弈，完全信 息动态博弈）重复进行构成的博弈过程。
一、为何研究重复博弈 经济中的长期关系,例如 (1)两家企业在一个市场上的长期竞争， (2)市场营销中的回头客问题, (3) 买卖问题。 (4)信任、信誉、声誉问题
4.1 重复博弈引论
人们的预见性。 由于人的思维的限制，在短期行为中缺 乏默契或合作的关系，但在长期中这样 的机会就大得多。即是未来利益对当前 行为的制约
–选择抵赖一直到有一方选择了背叛（坦白），然后永远选择坦 白； –“冷酷”体现在不给对方改正错误的机会。 无限次重复博弈使其走出了囚徒困境，背后的原因是： –如果博弈重复无穷次而且每个人有足够的耐心，任何短期机会主义 行为的所得都是微不足道的，参与人有积极性为自己建立一个乐 于合作的声誉，同时也有积极性惩罚对方的机会主义行为。
二、重复博弈的分类 1、有限次重复博弈：给定一个基本博弈G （可以是静态博弈，也可以是动态博 弈），重复进行T次G，记为G(T)。 而G则称为G(T)的“原博弈”。G(T)中的 每次重复称为G(T)的一个“阶段”。
2、无限次重复博弈：一个基本博弈G一直 重复博 弈下去的博弈，记为G( ∞ ). 注：1、无法验证某个重复博弈会一直重复 下去。 2、如果主观上认为博弈会不断进行下 去，那么博弈就可无限次重复下去。
2
Cont…
如果厂商2偏离上述触发策略，则他在第一阶段 所选产量应为给定厂商1产量为1.5时，自己的最 大利润产量，即满足：
max[(8 − 1.5 − q )q − 2q ] = max(4.5 − q )q
q2
2
2
2
q2
2
2
解得 q = 2.25 ，此时利润为5.0625，高于 触发策略第一阶段得益4.5。
t =1 ∞
注意上式的来历
4.2 有限次重复博弈
4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博 弈 4.2.2唯一纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈 4.2.3多个纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈 4.2.4 有限次重复博弈的民间定理
4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博弈
以零和博弈为原博弈的有限次重复博弈中，所 有博弈方的唯一选择策略是重复一次性博弈中 的纳什均衡策略 （混合策略纳什均衡）。
双方策略为： 博弈方1：第一次选h； 如第一次结果为(H,H)， 则第二次选M，否则选L 博弈方2：同博弈方1
厂商2 厂 商 1 H M L H 5，5 6，0 2，0 M 0，6 3，3 2，0 三价博弈 L 0，2 0，2 1，1
触发策略(Trigger Strategy)：两博弈方先试探合 作，一旦发现对方不合作则也用不合作报复。 触发策略是重复博弈实现合作和高效的关键机制。
假如B在第一次做广告，则B获利300,A 获利为0，企业A采取“以牙还牙”的策 略在第二次对局中也做广告，则两者的 获利各为100，因为企业A已经做广告此 时企业B不能以降低利润为代价不做广告， 所以企业B累计利润 300+100*9=1200； 即（不做，做）（做，做）….（做，做）
企业B第一次不做广告，在理性人的假设 下两者在今后会出现追求私利的现象， 有限次数的重复博弈不能改变囚徒困境 原来的均衡结果，企业B的累计利润可能 为200+100*9=1100。 即（不做，不做）（做，做）….（做， 做）
t =1
∞
四、重复博弈的得益（Cont…）
平均得益：如果一常数π 作为重复博弈（有限次重复博弈或 无限次重复博弈）各个阶段的得益，能产生与得益序列
π 1， π 2 , 相同的现在值，则称π 为π 1， π 2 ,的平均得益
有限次重复博弈不一定考虑贴现因素 无限次重复博弈必须考虑贴现问题π= (1 − δ )∑ δ t −1π t
四、重复博弈的得益（Cont…）
如果重复的时间很长，就应考虑资金的时间价 1 δ = 值，此时考虑贴现系数 1+ r 重复T期的重复博弈总得益为：
π = π 1 + δπ 2 + δ 2π 3 + + δ T −1π T =
t −1 δ ∑ πt t =1
T
重复无限期的重复博弈总得益为：
π = π 1 + δπ 2 + δ 2π 3 + = ∑ δ t −1π t
4.3.2唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈 一种情况是：唯一纯策略纳什均衡本身是 帕累托最优的。 另一种情况是：纯策略纳什均衡不是最优 的，可以改善吗？
对无限重复囚徒困境博弈的分析：
对 ∀t ，在第t 阶段开始前的t-1 次阶段的结果都可 知； •须考虑贴现因子 δ （度量收益之和）； •参与人i的策略组合有无穷多种，求解子博弈均衡非 常难。 –解决方法：先入为主地给出一些自认为“合理”的 策略，然后再证明其为子博弈精炼均衡解。
1 2
触发策略
在第一阶段生产垄断产量的一半1.5；在第 t 阶 段，如果前 t-1 阶段结果都是(1.5,1.5)，则继 续生产1.5，否则生产古诺产量2。 如果采用上述触发策略，每阶段生产产量 (1.5,1.5),每阶段双方得益为π * = 4.5 设厂商1已采用该触发策略，若厂商2也采用该 触发策略，则每期得益4.5，无限次重复博弈 总得益的现值为： 4 .5 4.5(1 + δ + δ + ) = 1− δ
(Cont…)
等价的静态博弈。
厂 H 商 M 1 L H 8，8 7，1 3，1 厂商2 M 1，7 4，4 3，1 L 1，3 1，3 2，2
两次重复三价博弈的等价模型
如对上述博弈重复n次，结果一样。采用触 发策略，得子博弈均衡：第一阶段选 (H,H) ，以后各阶段都选(M,M)
二、触发策略的进一步讨论
-1，-1
（-5，-5）
囚徒2 坦 白 不坦白 囚 坦白 -10，-10 -5，-13 徒 -13，-5 -6，-6 1 不坦白 （-10，-10）
二、一般结论 定理：设原博弈G有唯一的纯策略纳什 均衡,则对任意整数T，重复博弈 G(T)有 唯 一的子博弈完美纳什均衡，即各博弈 方每个阶段都采用G的纳什均衡策略。 各博弈方在G(T)中的总得益为在G中得 益的T倍，平均得益的与原博弈G中的得 益。
1、个体理性得益：博弈方 i 的最小最大值
vi = min max U i (α i , α − i )
α − i ∈A− i α i ∈Ai
2、可实现得益：博弈中所有纯策略组合得益 的加权平均数组
4.3 无限次重复博弈
4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈 4.3.2 唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈 4.3.3 无限次重复古诺模型 4.3.4 有效工资率 4.3.5信用问题 4.3.6 若干建议与启示
引言
有限次重复博弈和无限次重复博弈的区别： 一是：有限次重复博弈存在最后一次重复，而 无限次重复博弈无最后一次重复。注意到正是由 于有最后一次重复使得有限次重复博已无法实现 高效率。 二是：无限次重复博弈不能忽略资金的时间价 值。但相同之处：都是试图“合作”和惩罚“不 合 作”——关键
4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈
原因：重复不会改变博弈效率是利益是 对立的不可调和的。
4.2.2唯一纯策略纳什均衡博弈的 有限次重复博弈
唯一的Nash均衡有两种： 一是：本身是帕雷托最优的。它都符合双方的利益， 重复不会改变 二是：本身不是帕雷托最优的。重复能否改变得益？ 一、有限次重复囚徒的困境博弈
囚徒2 坦 白 不坦白 囚 坦白 -5，-5 徒 1 不坦白 -8，0 0，-8