无穷级数与拉普拉斯变换

例１１ 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 （１）； （２）； （３）． 解：（１）因为
所以该级数的收敛半径为 ． 又当时，级数为（－）是发散的，当时，级数为是收敛的，所以该 级数的收敛域为（，． （２）因为该幂级数缺少偶数次项，故不能直接用定理５.５．由 比值审敛法 当，即时，而当，即时，原幂级数绝对收敛，当，即时，原幂级数 发散，所以该级数的收敛半径为． 又当时，级数为是发散的，当时，级数为也是发散的，所以该级数 的收敛域为（，）． （３）设，则原幂级数化为的幂级数 因为 所以其收敛半径为 ． 于是，当，即 时，原幂级数绝对收敛． 又当时，级数为是收敛的，又当时，级数为是发散的，所以该级数 的收敛域为［， ．
要求通过学习，掌握级数的概念、性质以及级数收敛的条件，熟练 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，掌握交错级数收敛性的莱布 尼兹判别法，理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握幂级数的概念和运 算，熟悉常用函数的幂级数展开，并会用间接法将一些简单函数展成幂 级数，求出其收敛半径和收敛域，掌握傅立叶级数的概念和性质，会将 周期为的函数进行傅立叶级数展开，理解周期为的函数的傅立叶级数展 开，了解拉氏变换及其逆变换的概念和性质，并知道其在求解微分方程 和分析电路中的应用.
解： 所以 即原级数收敛，其和为．
例３ 判定级数的敛散性． 解： 所以 故该级数发散．
5.1.3 无穷级数的基本性质
可以证明，无穷级数具有下列基本性质（证明从略）： 性质１ 若级数收敛，且其和为，则级数（为常数）也收敛，且其
和为． 同理，若级数发散，且，则级数也发散． 由此说明，级数的每一项同乘一个非零常数后，其敛散性不变． 性质２ 若级数与都收敛，其和分别为与，则级数也收敛，且其和
若设 ， 则有 ．
于是，由比值审敛法可知 （１）当时，若，则 ，因此幂级数（５．６）绝对收敛；若， 则 ，因此幂级数（５．６）发散．此时，幂级数（５．６）的收敛域 是一个以原点为中心，从到的一个区间．正数就称为幂级数（５．６） 的收敛半径．
（２）当时，由于，因此幂级数（５．６）在（，）内处处绝对收 敛，此时其收敛半径可记作．
； 及 由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．但因为，而级数发散，由比 较审敛法可知，级数发散，所以原级数是条件收敛的．
5.3 幂级数
5.3.1 函数项级数的概念
定义５.7 若级数 （5．２）
中的各项均为定义于区间Ｉ上的函数，则称该级数为函数项级数． 在区间Ｉ上取一定值，即得一个数项级数 （５．３） 若级数（５．３）收敛，则称为函数项级数（5．２）的一个收敛
为． 例如，． 性质２说明，两个收敛级数逐项相加减后所得的级数仍然收敛．但
应注意，两个发散级数逐项相加减所得的级数不一定发散．如级数与都 发散，但却是收敛的．
性质３ 级数增加或减少有限项后，其敛散性不变． 当级数收敛时，增加或减少有限项后仍然是收敛的，但级数的和却 会改变． 例如，级数，删去其前三项，即有 ． 性质４ 若一个级数收敛，则在其中一些项添加括号后形成的新级 数也是收敛的，且其和不变． 但应注意，一个带括号的收敛级数在去掉括号后所得的级数不一定 收敛．例如，级数 是收敛的，去掉括号后，级数化为它却是发散的． 性质５（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则． 性质５说明，是级数收敛的必要条件．即如果，则级数必发散，这 是判定级数发散的一种常用方法． 例４ 判定级数 的敛散性． 解：因为
（２） 因为
由比值审敛法可知，该级数发散．
5.2.2 交错级数及其审敛法
定义５.4 形如 （）（）的级数称为交错级数． 交错级数的特点是正项负项交替出现．对交错级数，有以下审敛法 定理５．３（莱布尼兹(Leibniz)判别法） 若交错级数满足条 件： （１） （）； （２） 则此级数收敛，且其和，其余项的绝对值． （证明从略） 例９ 判定级数 的敛散性． 解：该级数是一个交错级数，由于 （１） ； （２） 由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．
（３）当时，由于只要就有，因此幂级数（５．６）除点外处处发 散，仅在点处收敛，此时其收敛半径可记作．
综上所述，得到如下定理 ５.５ 对幂级数（５.６），若 ，则该幂级数的收敛半径为：
此外，当收敛半径为有限正数时，还需分别将代入幂级数（５. ６），用数项级数的审敛法判定它在两个端点的敛散性，以确定它的收 敛域是否包含端点．
若当时，部分和数列的极限不存在，则称该级数是发散的，发散的 级数没有和．
当级数收敛时，其和与部分和之差 称为级数的余项．用作为的近似值所产生的误差就是． 例1 判定等比级数（又称为几何级数）的敛散性．（） 解；当时，由于
若，则有，即当时，级数收敛，其和为； 若，则有，即当时，级数发散； 当时，由于，则有，所以级数发散； 当时，由于， 则不存在，所以级数发散． 故有：等比级数当时收敛，其和为；当时发散． 例2 判定级数的敛散性．
根据级数收敛的必要条件，可知该级数是发散的． 应该注意，是级数收敛的必要条件但不是充分条件，如在例３ 中，虽有 ，但级数却是发散的．
5.2 数项级数及其审敛法
5.2.1 正项级数及其审敛法
定义5.3 如果级数的每一项都是非负常数，即（）则称该级数为正 项级数．
下面介绍两种判断正项级数敛散性的方法 １．比较审敛法
点；若级数（５．３）发散，则称为函数项级数（5．２）的一个发散 点．函数项级数（5．２）的全体收敛点所组成的集合Ｄ称为该级数的 收敛域．
在函数项级数（5．２）的收敛域Ｄ中，每一个点都对应该级数的一 个和．由此在收敛域Ｄ上就定义了函数项级数（5．２）的和函数，即
（５．４） 例如，级数的收敛域为（－１，１），其和函数为． 即 （－１，１）
随着无限增大，则和式的极限就是所求的圆的面积．此时就出现了 一个无穷多个数量相加的式子，这就是一个无穷级数．
引例２ 自然对数的底的精确值 自然对数的底是一个既很奇妙又很常用的无理数，它的近似值为， 而它的精确值可以表示为
即为一个无穷级数的和．
5.1.2 无穷级数的基本概念
定义5.1 设给定一个无穷数列 ，，， 则式子称为无穷级数，简称级数，记作．
即 （５．１） 其中第项称为级数的通项或一般项．
若是常数，则级数称为数项级数；若是函数，则级数称为函数项级 数．
例如，和都是数项级数；和都是函数项级数． 定义5.2 级数的前项和 称为该级数的部分和．若当时，部分和数列的极限存在，即（为有限常 数），则称该级数是收敛的，并称为该级数的和，记作
２. 比值审敛法 定理５．２（达朗贝尔（Alembert）判别法） 对正项级数，如果 ，则 （１）当时，级数收敛； （２）当时，级数发散； （３）当时，不能用此法确定级数的敛散性．即比值审敛法失效．
（证明从略） 例８ 判定下列级数的敛散性 （１） ； （２） ． 解：（１）因为 由比值审敛法可知，该级数收敛．
5.3.3 函数项级数的性质
在幂级数的收敛域内，幂级数及其和函数可以进行加、减及求导 数、求积分的运算，并有以下性质（证明从略）.
性质１ 设幂级数与的收敛半径分别为与，它们的和函数分别为 与，即
＝ （，） ＝ （，） 取，则当时，这两个幂级数可以逐项相加或相减，即有 ＝ （，） 性质２ 设幂级数的收敛半径为，它的和函数为，即 ＝ （，） 则有 （１）在（，）内是连续函数； （２）在（，）内可导，且有
故有，级数当时是收敛的，当时是发散的． 例７ 判定下列级数的敛散性
（１） ； （２）． 解：（１）由于
而级数是的级数，因而是收敛的，由级数的性质，级数也是收敛的，再 由比较审敛法可知，级数是收敛的．
(2) 因为 所以有 又因为级数是调和级数去掉第一项所得的级数，由级数的性质知，它是 发散的，再由比较审敛法可知，级数是发散的．
＝＝ （，） （３）在（，）内可积，且有 （，） 例１２ 求下列幂级数的和函数 （１） （２） 解：（１）设＝
因为 （－１，１） 于是
又 ，所以有 ＝ （－１，１） （２）设＝ 因为 （－１，１） 所以 （－１，１）
5.3.2 幂级数及其收敛域
定义５.８ 形如 （５．５） 的函数项级数称为的幂级数．其中，，,称为幂级数的系数． 特别地，当时，幂级数（５．５）变为 （５．６） （５．６）称为的幂级数． 因为通过变换即可将幂级数（５．５）化为幂级数（５．６）的形 式，所以本节只讨论幂级数（５．６）． 下面讨论如何确定幂级数（５．６）的收敛域．为此考察正项级数
定理５.1 若两个正项级数与满足关系式（），则 （１）当级数收敛时，级数也收敛；
（２）当级数发散时，级数也发散． （证明从略） 例５ 判定调和级数 的敛散性． 解：由于调和级数 的各项均大于级数 的对应项，而后一个级数是发散的，由比较审敛法可知，调和级数是发 散的. 例６ 判定级数 的敛散性． 解：当时，有 ，又由例1知级数是发散的，由比较审敛法可知，级 数 是发散的； 当时，有 它的各项均小于或等于级数 的对应项，而后者是一个公比为的等比级数，因而是收敛的，由比较审 敛法可知，级数是收敛的．
5.1 无穷级数的概念与基本性质
5.1.1 引例
引例１ 半径为的圆的面积，是通过计算其内接正多边形的面积得 到的．具体做法是：先作圆的内接正六边形，算出它的面积，可以用作 为的近似值；再以这个正六边形的每一边为底边，分别作一个顶点在圆 周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和，则可以用（即 圆的内接正十二边形的面积）作为的近似值，这要比以作为的近似值更 精确；用同样方法，再以这个正十二边形的每一边为底边，分别作一个 顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和，则 可以用（即圆的内接正二十四边形的面积）作为的近似值，其精确度又 更高；如此继续下去，第次可以用圆的内接正边形的面积作为的近似 值，这样就可逐渐逼近圆的面积，即 ，，，，
5.2.3 任意项级数及其审敛法
定义５.５ 若级数 中的各项为任意实数,则称此级数为任意项级 数．