1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A基础练(解析版).docx

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A 基础练一、选择题1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【参考答案】D【解析】因为n 1·n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 2.已知A (0,1,1),B (2,-1,0),C (3,5,7),D (1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( )A.B.-C.D.- 【参考答案】A【解析】=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos =,故直线AB 和CD 所成角的余弦值为.3.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1=3,AB=AC=BC=2,则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【参考答案】A【解析】取AB 的中点D ,连接CD ,分别以DA ,DC ,DE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,可得A (1,0,0),A 1(1,0,3),故=(0,0,3),而B 1(-1,0,3),C 1(0,,3),设平面AB 1C 1的法向量为m =(a ,b ,c ),根据m·=0,m·=0,解得m =(3,-,2),cos <m,>=.故AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为30°,故选A.4．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中,D 是棱BC 的中点,记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ,直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ,二面角111C A B D --的平面角为3θ,则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【参考答案】A 【解析】由题可知,直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形,D 是棱BC 的中点,设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱,以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()10,0,2A,)1B ,()0,2,0C,3,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,0,0A ,()0,2,0AC →=,11,222B D →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,)11A B →=,直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ,10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦, 111cos B D ACB D AC θ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ,20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=,121sin B D n B D n θ→→→→⋅∴==⋅2cos θ∴==设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=,则111301202m AB a b m B D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩,取a =得33,2m →⎫=--⎪⎭,二面角111C A B D --的平面角为3θ,由图可知,3θ为锐角,即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 33cos m nm n θ→→→→⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>,由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减,∴231θθθ<<,则2123,θθθθ<<.故选：A. 5．（多选题）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱111ABC A B C -中,1AA =,则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12B ．1AC 与底面ABCC ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为4D ．1AC 与侧面11AA B B 【参考答案】BC【解析】如图,取11A C 中点E,AC 中点F ,并连接EF ,则1EB ,1EC ,EF 三条直线两两垂直,则分别以这三条直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系；设2AB =；则1AA =1(0A ∴,1-,0),1(0C ,1,0),(0A ,1-,,(0C ,1,；1B 0),∴(10,2,AC =-．底面ABC 的其中一个法向量为：(m =,1AC ∴与底面ABC的成角的正弦值为11112cos ,24m AC m AC m AC -<>===⨯⨯,；A ∴错B对． 11A B 的中点K 的坐标为(2,12-,0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：13,02KC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：111111cos 4,4AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯,；故C 对D 错；故选：BC ． 6．（多选题）（2020·江苏镇江二中高二期末）如图,已知四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为矩形,6AP =,AB a .若在直线BC 上存在两个不同点Q ,使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π.则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【参考答案】ABC【解析】假设在直线BC 上有一点Q ,使得直线PQ 与平面ABCD 所成角为3π,此时,易得3PQA π∠=,在Rt APQ 中,由于6AP=,可得AQ =.所以,在直线BC 上存在两个不同点Q ,使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π,等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为由此可得0a <<故选：ABC二、填空题 7．（2020全国高二课时练）在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC90,AB AC AA ,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________. 【参考答案】60【解析】三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点,分别以AC ,AB ,1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==,则 (0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C ,1=(0,1,1)BA ,1(1,0,1)AC ∴11111101co 2,s 22BA AC BA AC BAAC 又 异面直线所成的角在（0,90] ∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．8.已知正方形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,若PA=PB ,则平面PAB 与平面PCD 的夹角为_________.【参考答案】45【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A (0,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1),∴=(0,1,0).取PD 的中点E ,则E ,∴,易知是平面PAB 的一个法向量,是平面PCD 的一个法向量,所以cos <>=,故平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°.9．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图,在底面边长均为2,高为1的长方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为BC 、11C D 的中点,则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.【参考答案】6π；14【解析】以D 为原点建立如图所示空间之间坐标系：则()()()()12,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,1A E C F ,所以()()11,2,1,0,1,1A E CF =--=-, 设异面直线1A E 、CF 所成角的大小为θ,所以11cos 6A E CFA E CF θ⋅===⋅因为(0,]2πθ∈,所以6πθ=.又()12,1,0A F =-,设平面1A EF 的一个法向量为：(),,m x y z =, 则1100m A F m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩,令1x =,则()1,2,3m =, 平面1111D C B A 一个法向量为：()0,0,1n =,设平面1A EF 与平面1111DC B A 所成锐二面角为α, 所以cos 1414m nm n α⋅===⋅.故参考答案为：①6π10．（2020河北正定三中学校高二月考（理））设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,记11D P D Bλ=.当APC ∠为锐角时,λ的取值范围是__________． 【参考答案】10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则1(1,0,0),(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1)A C B D ,由11D P D Bλ=得(,,1)P λλλ-,则(1,,1),(,1,1)PA PC λλλλλλ=---=---,因为APC ∠为锐角,所以(1,,1)(,1,1)(1)(31)0PA PC λλλλλλλλ⋅=---⋅---=-->,解得13λ<或1λ>,又因为动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,所以λ的取值范围为103λ≤<.三、解答题11.如图所示,四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC 与平面ASD 所成角的余弦值;(2)求平面SAB 和平面SCD 夹角的余弦值.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S (0,0,2),C (2,2,0),D (1,0,0),=(2,2,-2),∵AB ⊥平面SAD ,故平面ASD 的一个法向量为=(0,2,0),设SC 与平面ASD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <>|=,故cos θ=,即SC 与平面ASD 所成角的余弦值为.(2)平面SAB 的一个法向量为m =(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由令z=1可得平面SCD 的一个法向量为n =(2,-1,1),设平面SAB 和平面SCD 的夹角为α,则cos α=,即平面SAB 和平面SCD 夹角的余弦值为.12.（2020四川南充一中高二月考）如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面PBC ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形,且∠BCD=,PD ⊥BC.(1)求证:PC=PD ;(2)若底面ABCD 是菱形,PA 与平面ABCD 所成的角为,求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值.【解析】(1)如图①,过P 作PE ⊥BC ,垂足为E ,连接DE.图①因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.因为PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.因为∠BCD=,所以DE=CE.在△PED和△PEC中,PE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.(2)因为BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,即∠PAE=,且DE⊥BC,DE⊥PE.设PE=a,则AE=a,PA=2a.在△DEC中,设DE=m,则EC=m,DC=m,所以在Rt△EDA中,(a)2=m2+(m)2,所以m=a.以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,图②则D(a,0,0),A(a,a,0),P(0,0,a),则平面PBC的一个法向量为a=(1,0,0).设平面PAD的一个法向量为b=(x,y,z),因为=(-a,-a,a),=(0,-a,0),所以取x=1,则b=(1,0,1).设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,则cos θ=,所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.知识改变命运。