根轨迹法课程设计

1、根轨迹法简介---------------------------------------------------------------- 1

2、林士谔—赵访熊法（劈因子法）---------------------------------------- 3

3、根轨迹的在系统性能分析------------------------------------------------- 4

4、心的体会---------------------------------------------------------------------- 8 附录1 ------------------------------------------------------------------------------ 9 附录 2 ---------------------------------------------------------------------------- 11 参考文献 ------------------------------------------------------------------------ 14

1、根轨迹法简介

1948年，W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系统的分析与设计中得到广泛的应用。这一方法不直接求解特征方程，用作图的方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，当这一参数取特定值时，对应的特征根可在上述关系图中找到。这种方法叫根轨迹法。根轨迹法具有直观的特点，利用系统的根轨迹可以分析结构和参数已知的闭环系统的稳定性和瞬态响应特性，还可分析参数变化对系统性能的影响。在设计线性控制系统时，可以根据对系统性能指标的要求确定可调整参数以及系统开环零极点的位置，即根轨迹法可以用于系统的分析与综合。

利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法。特征方程的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。在控制系统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义。当特征方程的次数不高于2时,其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。美国学者W.R.埃文斯在1948年提出的根轨迹方法，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。在把根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参数,据此作出的根轨迹,表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分布。控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的稳定性和过渡过程性能有密切的关系。根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行为提供了方便的途径。对于设计控制系统的校正装置，根轨迹法也是基本方法之一。根轨迹法和频率响应法被认为是构成经典控制理论的两大支柱。

对于图1中的控制系统,用G(s)和H(s)分别表示系统前馈通道和反馈通道中部件的传递函数，并且当s=0时它们的值均为1,而K表示系统的开环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为：

相角条件：开环传递函数KG(s)H(s)的相角值

{KG(s)H(s)}＝±1800(2k+1)(k＝0,1,2,…)

幅值条件：开环传递函数KG(s)H(s)的模│KG(s)H(s)│＝1 系统的根轨迹，就是当开环增益K由零变化到无穷大时，由满足相角条件和幅值条件的 s值在复数平面上所构成的一组轨迹。

图--1 控制系统

根轨迹的精确化在有些情况下，有必要对按基本规则画出的根轨迹的粗略形状，特别是位于虚轴附近的部分，进行修正，使之精确化。实现精确化的一条比较简便的途径，是采用一种由埃文斯设计的所谓对数螺旋尺的专用工具。

根轨迹的计算机辅助制图70年代以来，随着电子计算机的普及，利用计算机对根轨迹的辅助制图的算法和程序都已建立，这大大减轻了系统分析和设计人员的繁重工作。

根轨迹的应用

根轨迹的应用主要有三个方面。

1、用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环增益不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。

2、用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。

3、用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。

2、林士谔—赵访熊法（劈因子法）

由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程

f(x)=x n+a

1x n－1+Λ +a

n－1

x+a

n

=0

的复根时，如果找出f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根.

设f(x)的一个近似二次因子（任意选取）为

ω(x)=x2+px+q

可用下述方法使它精确化：

（1）用ω(x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即

f(x)= ω(x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(x n－2+b1x n－3+Λ +b n－3x+b n－2)+(r1 x +r2) 式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出：

b k =a

k

-pb

k-1

-qb

k-2

, k=1,2,Λ ,n

b

-1

=0, b

=1

r

1

=b

n-1

=a

n-1

-pb

n-2

-qb

n-3

r

2

=b

n

+pb

n-1

=a

n

-qb

n-2

（2）用ω(x)去除xQ(x)得到余式

R[1](x)=R

11x＋R

21

式中R

11,R

21

，由下面的递推公式算出：

c

k

=b

n

-pc

k-1

-qc

k-2

, k=1,2,Λ ,n-3

c

-1

=0, c

=1

R

11

=b

n-2

-pc

n-3

-qc

n-4

R

21

=-qc

n-3

（3）用ω(x)去除Q(x)得到余式

R[2](x)=R

12x＋R

22

式中R

12,R

22

，由下面的公式算出：

R

12

=b

n-3

-pc

n-4

-qc

n-5

R

21

=b

n-2

-qc

n-4

（4）解二元一次线性方程组