数学物理方程举例和基本概念
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扩散定律 其 中 ， k 为 扩 散 系 数 ， 负 号 表 示 浓 度 减 少 的 方 向 。
❈ 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移
，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。
⑺ 高 斯 Guass定 律 ： 通 过 任 一 闭 曲 面 S 的 电 通 量 ， 等 于 这 个 闭 曲 面 所 包 围 的
n
q k u n
dQ k udSdt, n
其 中 ， k 为 热 传 导 系 数 ， 由 物 体 的 材 料 决 定 。
⑷ 牛 顿 N e w to n 冷 却 定 律 ： 物 体 冷 却 时 放 出 的 热 量 k u ， 与 物 体 和 外 界 的
温 度 差 u 边 u 0 成 正 比 ， 即
k uHu边 u0
其 中 u 0 为 外 界 介 质 的 温 度 ， H 为 比 例 系 数 。
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⑸ 热 量 质 量 守 恒 定 律 ： 物 体 D 内 部 各 点 温 度 由 任 一 时 刻 t 1 的 温 度 u x , y , z , t 1 变 化 为 t 2 的 温 度 u x , y , z , t 2 所 吸 收 或 放 出 的 热 量 Q 1 ，
⑶ 热 传 导 F o u r ie r定 律 ： 在 d t 时 间 内 ， 通 过 面 积 元 d S 流 入 小 体 积 元 的 热 量 d Q
F o u r i e r 实 验 定 律 与 沿 面 积 元 外 法 线 方 向 n 的 温 度 变 化 率 u 成 正 比 ，
热流强度q
也 与 d t和 d S 成 正 比 ， 即
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
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㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描 绘 振 动 和 波 振 动 波 ， 电 磁 波 动 特 征 的 波 动 方 程 :
utt a2uxx f.
双曲型
2 反 映 输 运 过 程 的 热 传 导 或 扩 散 方 程 :
u t a 2 u f,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 抛物型 典型方程
3 描 述 稳 定 过 程 或 状 态 ， 如 ： 引 力 势 和 静 电 势 满 足 的 P o i s s o n 方 程 ;
物 理 规 律 u u t,x ,y ,z
+ = 偏 微 分 方 程
泛定方程
定解条件
定解问题
确定系数
※ 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
☛ 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 —— 拉普拉斯
☛ 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
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自 由 电 荷 的 电 量 的 1倍 ， 即
SEdS1VdV,
其 中 ， 为 介 电 常 数 ， 为 电 荷 体 密 度 。
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参考书目:
数学物理方程学习指导与习题解答 陈才生 科学出版社 2010年 数学物理方法学习指导 姚端正 科学出版社 2001年 数学物理方程与特殊函数 导教·导学·导考 张慧清 西北工业大学出版 社 2005年 数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解 赵振海 大连理工大学出 版社 2003年 数学物理方程与特殊函数学习指南 王元明 高等教育出版社 2004年
概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：
⑴ 牛 顿 N e w t o n 第 二 定 律 ： F m a ;
⑵ 胡 克 H ook e定 律 ： 在 弹 性 限 度 内 ， 弹 性 体 的 张 应 力 单 位 横 截 面 上 的 内 力
和 张 应 应 变 力 弹 P 性 x 体 ,t的 相 杨 对 氏 伸 模 长 量 成 Y 正 比 相 ， 对 即 伸 长 u x x ,t
工程数学
数学物理方程与特殊函数
第一章 典型方程与定解条件
㈠ 引言 基 本 规 律 或 定 律 物 理 过 程 、 物 理 现 象
变化规律
空 间 位 置 x,y,z
物理量u
时
如wenku.baidu.com位移、时间、温度、
间
t
密度、场强，等等.
边界条件 初始条件
从数量形式上刻画了由相应 的物理定律所确立的某些物 理量之间的相互制约关系
46年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。 这一
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讨论吸引了众多数学家的注意。 例如：欧拉（1759年）和丹·贝努利（1762年 ）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。 这样就由对弦振动的研究开创 了数学物理方程这门学科。
随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁 相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规 律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。 例如：1780 年，Laplace在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。 Euler与 Lagrange 在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中都研究了调 和方程。 所有这些都丰富了这门学科的内容。
浓 度 变 化 所 需 增 加 或 减 少 的 质 量
等 于 从 t 1 到 t 2 这 段 时 间 内 进 入 或 流 出 物 体 内 部 的 净
流 热 量 Q 2 与 物 体 内 部 的 源 所 产 生 的 热 量 Q 3 之 和 ， 即 Q1 Q2 Q3.
⑹ 费 克 Fick定 律 ： 粒 子 流 强 度 q 与 浓 度 的 下 降 率 成 正 比 ， 即 q k u
0 a 2 u h ,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 椭圆型
若 h 0 , 则 退 化 为 L a p l a c e 方 程 : u 0 .
② 数学物理方程的发展历史简述
偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后）， 人们将力
学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。 例如：1715年，泰勒（17
❈ 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移
，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。
⑺ 高 斯 Guass定 律 ： 通 过 任 一 闭 曲 面 S 的 电 通 量 ， 等 于 这 个 闭 曲 面 所 包 围 的
n
q k u n
dQ k udSdt, n
其 中 ， k 为 热 传 导 系 数 ， 由 物 体 的 材 料 决 定 。
⑷ 牛 顿 N e w to n 冷 却 定 律 ： 物 体 冷 却 时 放 出 的 热 量 k u ， 与 物 体 和 外 界 的
温 度 差 u 边 u 0 成 正 比 ， 即
k uHu边 u0
其 中 u 0 为 外 界 介 质 的 温 度 ， H 为 比 例 系 数 。
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⑸ 热 量 质 量 守 恒 定 律 ： 物 体 D 内 部 各 点 温 度 由 任 一 时 刻 t 1 的 温 度 u x , y , z , t 1 变 化 为 t 2 的 温 度 u x , y , z , t 2 所 吸 收 或 放 出 的 热 量 Q 1 ，
⑶ 热 传 导 F o u r ie r定 律 ： 在 d t 时 间 内 ， 通 过 面 积 元 d S 流 入 小 体 积 元 的 热 量 d Q
F o u r i e r 实 验 定 律 与 沿 面 积 元 外 法 线 方 向 n 的 温 度 变 化 率 u 成 正 比 ，
热流强度q
也 与 d t和 d S 成 正 比 ， 即
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
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㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描 绘 振 动 和 波 振 动 波 ， 电 磁 波 动 特 征 的 波 动 方 程 :
utt a2uxx f.
双曲型
2 反 映 输 运 过 程 的 热 传 导 或 扩 散 方 程 :
u t a 2 u f,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 抛物型 典型方程
3 描 述 稳 定 过 程 或 状 态 ， 如 ： 引 力 势 和 静 电 势 满 足 的 P o i s s o n 方 程 ;
物 理 规 律 u u t,x ,y ,z
+ = 偏 微 分 方 程
泛定方程
定解条件
定解问题
确定系数
※ 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
☛ 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 —— 拉普拉斯
☛ 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
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自 由 电 荷 的 电 量 的 1倍 ， 即
SEdS1VdV,
其 中 ， 为 介 电 常 数 ， 为 电 荷 体 密 度 。
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参考书目:
数学物理方程学习指导与习题解答 陈才生 科学出版社 2010年 数学物理方法学习指导 姚端正 科学出版社 2001年 数学物理方程与特殊函数 导教·导学·导考 张慧清 西北工业大学出版 社 2005年 数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解 赵振海 大连理工大学出 版社 2003年 数学物理方程与特殊函数学习指南 王元明 高等教育出版社 2004年
概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：
⑴ 牛 顿 N e w t o n 第 二 定 律 ： F m a ;
⑵ 胡 克 H ook e定 律 ： 在 弹 性 限 度 内 ， 弹 性 体 的 张 应 力 单 位 横 截 面 上 的 内 力
和 张 应 应 变 力 弹 P 性 x 体 ,t的 相 杨 对 氏 伸 模 长 量 成 Y 正 比 相 ， 对 即 伸 长 u x x ,t
工程数学
数学物理方程与特殊函数
第一章 典型方程与定解条件
㈠ 引言 基 本 规 律 或 定 律 物 理 过 程 、 物 理 现 象
变化规律
空 间 位 置 x,y,z
物理量u
时
如wenku.baidu.com位移、时间、温度、
间
t
密度、场强，等等.
边界条件 初始条件
从数量形式上刻画了由相应 的物理定律所确立的某些物 理量之间的相互制约关系
46年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。 这一
目录 上页 下页 返回 结束
讨论吸引了众多数学家的注意。 例如：欧拉（1759年）和丹·贝努利（1762年 ）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。 这样就由对弦振动的研究开创 了数学物理方程这门学科。
随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁 相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规 律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。 例如：1780 年，Laplace在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。 Euler与 Lagrange 在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中都研究了调 和方程。 所有这些都丰富了这门学科的内容。
浓 度 变 化 所 需 增 加 或 减 少 的 质 量
等 于 从 t 1 到 t 2 这 段 时 间 内 进 入 或 流 出 物 体 内 部 的 净
流 热 量 Q 2 与 物 体 内 部 的 源 所 产 生 的 热 量 Q 3 之 和 ， 即 Q1 Q2 Q3.
⑹ 费 克 Fick定 律 ： 粒 子 流 强 度 q 与 浓 度 的 下 降 率 成 正 比 ， 即 q k u
0 a 2 u h ,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 椭圆型
若 h 0 , 则 退 化 为 L a p l a c e 方 程 : u 0 .
② 数学物理方程的发展历史简述
偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后）， 人们将力
学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。 例如：1715年，泰勒（17