一维对流扩散方程的稳定性条件推导

一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导

姓名：

班级：硕5015

学号：

2015/12/15

证明：

一维稳态对流扩散方程：

22u x x

φφρ∂∂=Γ∂∂

采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程：

()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΓΓΓΓ+-+=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记：()()()()1122e w P e w w

e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12

e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ=

+ 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x

δΓ记为D ,则原式简化为：

P P E E W W a a a φφφ=+ 12

E e e a D

F =- 12

W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++-

令 u x F Pe D ρδ==Γ 则

1111222

E W P Pe Pe φφφ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=

当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情

况下是不可能的。因为当2Pe >时系数12

E e e a D

F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ

证毕。