建立边界层动量积分方程
第四版传热学第五、六,七 八 章习题解答
第五章复习题1、试用简明的语言说明热边界层的概念。
答：在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，而在此薄层之外，流体的温度梯度几乎为零，固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。
2、与完全的能量方程相比，边界层能量方程最重要的特点是什么？答：与完全的能量方程相比，它忽略了主流方向温度的次变化率σα22x A ，因此仅适用于边界层内，不适用整个流体。
3、式（5—4）与导热问题的第三类边界条件式（2—17）有什么区别？答：=∂∆∂-=yyt th λ（5—4）)()(f w t t h h t-=∂∂-λ （2—11）式（5—4）中的h 是未知量，而式（2—17）中的h 是作为已知的边界条件给出，此外（2—17）中的λ为固体导热系数而此式为流体导热系数，式（5—4）将用来导出一个包括h 的无量纲数，只是局部表面传热系数，而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。
4、式（5—4）表面，在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热，那么在对流换热中，流体的流动起什么作用？答：固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关，流动速度越大，边界层越薄，因此导热的热阻也就越小，因此起到影响传热大小5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容？既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解，那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义？答：对流换热问题完整的数字描述应包括：对流换热微分方程组及定解条件，定解条件包括，（1）初始条件 （2）边界条件 （速度、压力及温度）建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系，每一种关系都必须满足动量，能量和质量守恒关系，避免在研究遗漏某种物理因素。
基本概念与定性分析5-1 、对于流体外标平板的流动，试用数量级分析的方法，从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式：x xRe 1~δ解：对于流体外标平板的流动，其动量方程为：221xy u v dx d y u v x y u ∂+-=∂∂+∂∂ρρ 根据数量级的关系，主流方的数量级为1，y 方线的数量级为δ则有2211111111δρδδv +⨯-=⨯+⨯ 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级，那么，等式右侧也是数量级为1级， 为使等式是数量级为1，则v 必须是2δ量级。
边界层动量积分方程
边界层动量积分方程
边界层动量积分方程（Boundary Layer Momentum Integral Equation，BLMIE）是一种分析和解决边界层问题的有效方法。
它是将神经网络
中抽象的边界现象抽象化为数学形式，从而利用数值计算方法进行解析。
一、 BLMIE原理
边界层动量积分方程的基本原理是利用数值计算方法对边界层的运动
模式进行分析。
它指定了边界层中各个物理量在每个时刻的变化情况，也就是物理量的变化率和变化后的位置。
它使得实验者可以更为清晰
和直观地了解边界层的变化过程，从而更好地控制和优化边界层。
而且，它可以消除实验者对边界层运动模式分析的误差，提高结果的可
靠性和准确性。
二、 BLMIE求解方法
1、牛顿法：牛顿法可以独立求解边界层动量积分方程，其基本方法是
通过迭代法来求解，具体步骤为：根据边界层动量积分方程得到离散
系数方程，通过不断改变系数方程的解；在每次迭代中，根据当前变
量得出系数方程的新解；之后，根据其新解求得该变量的新值，以及
新的系数方程，重复如此迭代，直至系数方程达到解析解。
2、二分法：二分法是一种可以求解边界层动量积分方程的有效算法，
其原理是将求解的范围缩小成一定的步骤，使其距离最佳解越来越近，直到求得最佳解。
首先，根据边界层动量积分方程预先设定求解范围；然后，将该范围缩小成二分，求得两个最近的解；之后，针对这两个解，继续将其范围缩小成二分；重复该步骤，直至求得最佳解。
第四章 对流换热_2
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr
a
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,
dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
工程流体力学52边界层的动量积分方程
忽略质量力，故只有表面力。
作用在控制面AD上的表面力为 FAD ? ?? w dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为
Fx ? p?
Fx? dx
?
? ???p?
?
d( p?
dx
)
dx???
作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零，
而压强可取B、C两点压强的平均值，于是有
FBC
?
?? p ?
?控制体的控制面：
由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和外边界BC组成。
?推导依据：
通过控制面AB、BC、CD的动量变化率等于作用在控制面AB、 BC、CD、AD上所有外力的合力。
?推导过程：
1、通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率
?
单位时间流入x处控制面AB的动量为
? K x ?
?
v
2 x
d
y
0
从 x ? dx 处控制面CD流出的动量为
? ? Kx
?
?Kx ?x
dx
?
?
0
?vx2dy
?
? ?x
?????0
?vx2dy????dx
从控制面BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 x 处控制面
AB流入的质量流量
?
m x ? ?? v xdy 0
而从 x ? dx 处控制面CD流出的质量流量为
?? ?
?x ?? 0
?
v
2 x
d
y
? ? ?
??Biblioteka ue??? ?
?x ?? 0
?
?
v
x
dy
? ?
?
04第四章 边界层理论基础
d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ
边界层动量积分方程
边界层动量积分方程说到动量积分方程，就不得不提到边界层动量积分方程（Boundary Layer Momentum Integral Equation，BLMIE）。
它是一个重要的数学模型，可以用来描述物理和工程系统中的流体流动问题。
它分为两个基本方程：边界层动量守恒方程和边界层动量积分方程。
本文将重点介绍边界层动量积分方程。
边界层动量积分方程是一种物理系统的数学模型，它可以描述一个空间中流体流动的特性。
它是由若干个常微分方程构成的，这些常微分方程构成了有限元分析的基础，有助于解决空间中流体流动的问题，它可以用来计算尺度上的流体流动特征以及提供预测或分析信息。
边界层动量积分方程可以这样表达：ttttF/n = 0其中，F是一个向量函数，它可以用来描述流体流动中的动量，n是指向外某个面的单位向量，它可以用来定义物理系统中流体流动的方向。
边界层动量积分方程的两个重要性质是动量守恒和动量积分。
其中，动量守恒表示流体流动过程中，总动量不变，因此流体的各个参数（如流速、流量、流体温度等）在一定空间范围内均满足守恒性质。
动量积分指的是流体流动的动量不同的分量之间的关系。
在物理系统中，动量积分也可以用来计算流体流动过程中流动参数的空间变化。
边界层动量积分方程也有很多应用，比如空气动力学中的气动力学模型、热力学中的热动力学模型、化学工程学中的反应动力学模型以及计算流体力学中的流体动力学模型。
边界层动量积分方程也可以用来解决实际工程中的流体动力学问题，比如风力发电机的设计、船舶的设计和航行以及流体的换热和压力等问题。
因此，边界层动量积分方程是一个重要的物理模型，它可以把物理和工程系统中的复杂流体流动问题抽象成数学模型，从而方便求解和分析。
它可以用来解决流体动力学、热力学和化学反应动力学等物理和工程系统中的流体流动问题，也可以用来分析实际工程中的问题，从而提高实际工程的设计水平。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
建立边界层动量积分方程复习课程
控制体积abcd
udmx
y dmx b
Px px
Mx mx
a
pd x
c
PxdP x
Mx dMx
mxdmx
d
x
dx
wdx
mx xudy Mxxu2dy
0
0
dp ud u
(2) 分析控制体界面上的质量流量、动量流量及受力情况
(3) 建立边界层动量积分方程:
dMxF合力
经过推导 d u d 2 x 1 0 U 1 U d Y d d u u x 1 0 1 U d Y w
数量级分析简化后的微分方程组为： u v 0 x y
uuvu1p2u x y x y2
uva2
x y y2
外掠平板层流边界层微分方程精确解 由量级分析得到的微分方程组，可求出速度场，温度场及局
部表面传热系数：
x
5.0Rex1/2
x
Cf ,x 2
0.33R2 ex1/
2
t Pr 1/3
t x
Cf,x 2
uw 2 0.32R3ex1/2
4.2 边界层能量积分方程
cptf dmx
y
d mx
c
b
t Ex mx
a
Ex dEx
ttw
mx dmx
dx
d
x
qwdx
t
mt ,x udy
0
(1) 分析控制体的热平衡
t
Ex cptudy
3.1 流动边界层
边界层厚度: 0. 99 u 处离壁的距离
u y
0.99u
u
x
流场划分： 主流区与边界层区；层流、过度流与紊流(利用临界距离
层流边界层方程积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
第5章边界层流动模板
第五章 边界层流动
郎格哈尔针对圆管导出进口段长度 Le 的表达式 ：
Le 0.0575 Red D
层流：
湍流：
式中：
Le 25 40 D
Re dub
第五章 边界层流动 ghp
3．边界层的分离
1）分离现象 2) 分离条件 3）分离后果
第五章
边界层流动
边界层理论是普朗特 (Prandtl) 于1904年创 立的，由于它的应用性极为广泛，发展极为 迅速，现已成为粘性流体力学的主要发展方 向之一。 边界层理论的主要任务是研究物体在流体 中运动时所受到的摩擦阻力，物体与流体间 的热质交换。 最早提出的边界层概念是速度边界层。此 后的温度边界层和浓度边界层都是在速度边 界层基础上建立的。
边界层层外的整个流动区域称为外部流动区域 在该区域内速度梯度（或认为粘度）极小 故认为流动趋于无粘性的理想流体运动。
u x 0 y
0
第五章 边界层流动 ghp
2．速度边界层的发展
1) 沿平板流动
以平板为例讨论边界层的发展情况，见 5-2 图
图5－2 速度边界层的发展过程
第五章 边界层流动 ghp
2 因为， D + u > p S 2 所以此时所有的流体质点沿着流动方向，贴壁面 向前运动。
第五章 边界层流动 ghp
边界层分离示意图
M 点之后，此时由于流道截面变大流速变小，压力沿程
增加进入增压区，即：
p / x > 0
流体质点的受力情况，如上图所示。 随着流道截面的增加，反向压差不断增大，最终使得质点 的动能消耗殆尽 ，转而向后运动。而后退的质点又被向前 运动的流体顶住，最终被挤出边界层进入流体内部，形成 一脱体运动现象 ，见图，这一过程称为边界层分离。
边界层理论及其近似
EXIT
（c）边界层能量损失厚度 边界层内实际流体通过的动能为：
0
1 2 u udy 2
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过 的动能为： 1
2
2 u e udy 0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部 用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
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EXIT
Ludwig Prandtl介绍
1901年Prandtl担任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系 的力学教授，在这里他提出边界层理论（Boundary layer
theory）并开始研究通过喷管的超音速流动问题。1904年
Prandtl在德国海德堡（idelberg）第三次国际数学年会上发表 了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩
17/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
2. 平壁面上边界层方程 对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u u v fx t x y x x 2 y 2
ue L
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EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数
L 1 1 1 , L, , , x L y x y Re
（2）法向速度远远小于纵向速度
L v 1 u ue , v u, v ue , t t L / ue L ue Re
v v v 1 p 2 v 2 v u v fy t x y y x 2 y 2
流体力学chap.7 边界层理论基础
ν
ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为 对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为： 临界雷诺数
R e kp
U x kp
ν
= 5 × 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标 层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
x kp = 5 × 1 0
7 边界层理论基础 （ Elementary on Boundary layer theory） ）
• 7. 1 边界层的基本概念
• 7. 2 层流边界层 • 7. 3 紊流边界层方程 • 7.4 边界层的动量积分及能量积分 • 7.5 边界层分离 • 7.6 绕流阻力
1
7. 1 边界层的基本概念
∂ ux U ∂ u′ x = 2 2 ∂x 2 α L L ∂y′2
2 2
,
∂ 2u y
∂ 2u ′ U y = αU 2 2 ∂x L ∂x′2
∂ ux U ∂ u′ x = 2 2 ∂y 2 α L L ∂y′2 ∂p p0 ∂p′ = ∂x L ∂x′
2 2
∂ 2 u y αU U ∂ 2 u ′ y ， 2 = 2 2 ∂y α L L ∂y′2 p0 ∂p′ ∂p ， = ∂y α L L ∂y′
y
′ ′ ′ ′ ∂ux αU ∂ux ∂p′ 1 ∂2ux 1 ∂2ux u′ M′ ： x ′ + u′ ′ =− ′ + ( 2 + 2 2 ) x ∂x αL y ∂y ∂x ReL ∂x′ αL ∂y′
∂u′ αU ∂u′ ∂2u′ 1 ∂2u′ y ′ y + u y y = − 1 ∂p′ + 1 ( y + 2 ) u M′y：x ∂x′ α ∂y′ α α ∂y′ Re ∂x′2 α L ∂y′2 L U L L
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
哈工大传热学答案——第5章
2 0.323u
Re x
0.323 1.045 100 2 1.538 10
5
8.61kg m s 2
hx 0.332
x
2 13 Re1 0.332 x Pr
0.0293 1.538 10 5 0.695 112.6W m 2 K 0.03
Re x 2 0.02 1.006 10 6 =39761.43 （为尽流）
（2）x=20cm=0.2m
4.64
vx 1.006 10 6 0.02 4.64 1.47 10 3 u 2
m
5 m u x d y 998.2 2 1.834 0 8
5-6、已知：如图，高速飞行部件中广泛采用的钝体是一个轴对称的物体。 求：画出钝体表面上沿 x 方向的局部表面传热系数的大致图像，并分析滞止点 s 附近边 界层流动的状态。 （层流或湍流） 。 解：在外掠钝体的对流换热中，滞止点处的换热强度是很高的。该处的流动几乎总处层 流状态，对流换热的强烈程度随离开滞止点距离的增加而下降。 5-7．温度为 80℃的平板置于来流温度为 20℃的气流中．假设平板表面中某点在垂直于 壁面方向的温度梯度为 40
Pr 1 ， Pr 1 ， Pr 1 ，试就外标等温平
板的层流流动， 画出三种流体边界层中速度分布和温度分布的大致图象 （要能显示出 的相对大小） 。 解：如下图：
与 x
5-3、已知：如图，流体在两平行平板间作层流充分发展对流换热。 求：画出下列三种情形下充分发展区域截面上的流体温度分布曲线： （ 1） （2）
kg / m 2
5-10、已知：如图，两无限大平板之间的流体，由于上板运动而引起的层流粘性流动称 为库埃流。不计流体中由于粘性而引起的机械能向热能的转换。 求：流体的速度与温度分布。
边界层分析求解
5
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内
粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x w
9
9 1 10
m
t∞ u
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
δ 0
t
δ
tw x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 0.99 时的空间位置为速度边界层的 外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
0
x
x x 5.0 w x
1
2
5.0 Re
1
2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x 1 )， 也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够 Re 1 的大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流 场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc， 其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
高二物理竞赛课件：流体力学的动量积分关系式
❖ 一、沿边界层厚度的速度分布 =x (yx) 二、切向应力与边界层厚度的关系式 ( )
一般在应用边界层的动量积分关系式（8－51）来求解边界层问 题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假 定的 vx 愈v(接y)近实际，则所得到的结果愈正确。所以选择边 界层内的速度分布函数 是求解v(边y)界层问题的重要关键。
x y
（8-29）
沿边界层上缘由伯努利可知：
pb b2 / 2 常数
上式对
x
求导，得：dpb
dx
b
db
dx
❖ 这样，层流边界层的微分方程又可写为：
vx
vx x
vy
vx y
Vb
dVb dx
2vx y 2
vx vy 0 x y
（8-30）
方程组（8－30） 即为在物体壁面为平面的假设下得 到的边界层微分方程 。
为：
2 x
Fx
p
p
1 2
p x
dx
ds
sin
p
p x
dx
d
wdx
◇边界层动量积分方程的推导
❖ 式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可
知：dssin a d ，上式经整理并略去高阶小量，得：
❖ 单位时间内Fx沿方向经px d过x ABw流dx入控制体的质量和动量分
别为：
透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定
dp U dU
dx
dx
②第二式得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。 利用该式可计算壁切应力和流动阻力。
❖ 将上述方程组无量纲化。
为此考虑如图所示的一半
无穷绕流平板，假定无穷
边界层理论
4.64 x
v0
4.64
x Rex
小结
一、本课的基本要求
1．掌握边界层概念及分类。 2．了解边界层微分方程的建立及求解方法。 3．了解边界层积分方程的建立及求解方法。
二、本课的重点、难点
重点：边界层概念。 难点：边界层方程的建立及求解。
l 0
vx
dy
x
AD面上的动量
τwΔx
M l
qml v0
v0
d dx
l 0
vxdyx
代入动量平衡关系
d
dx
l 0
(
v0
vx
)vx
dy
w
l l
0 0
在δ~l区域vx=v0
d
dx
(v0
0
vx )vxdy
w
称冯·卡门边界层动量积分方程。层流、紊流边界层均适用。
因由控制体导出，积分解法又称近似积分解法。
5.1 边界层概念
3．管内流动时的边界层
汇合前
层流边界层 层流 紊流边界层 紊流
L 100 d L 25 ~ 40 d
汇合后：充分发展了的管流，速度分布不变。
紊流：紊流核心区+层流底层
5.2 边界层微分方程
1．微分方程的建立
建立方法 元体分析法
连续性方程 简化
vx vy 0 x y
紊流边界 层：流体 惯性力起 主导作用
5.1 边界层概念
边界层内流动的判别标准
Rex
u0 x
u0 x
Rexc 2105
Rex<2t;Rex<3106 Rex>3106
过渡区 紊流边界层
边界层以外的区域为主流区，速度梯度为零，无黏性力作用。因
第四章 对流换热3(1)
4 x
5
这就是有名的雷诺比拟，它成立的前提是Pr=1
流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
雷诺比拟
Nux
cf 2
Re x
成立的前提是Pr=1
当 Pr 1时，需要对该比拟进行修正，于是有契尔顿－柯尔本比
拟（修正雷诺比拟）：
cf 2
St Pr2 / 3
j
(0.6 Pr 60)
vt
t v dy t u dy
0 y
0 x
d
将式d带入式c
t v t dy 0 y
t 0
t
u x
dy
t t u dy 0 x
e
对式（b）中的扩散项积分
t 0
a
2t y2
dy
a t y
t 0
a
2t 0 a y2 dy
a
根据边界层的概念， y t 时 t t，因而在该处 :
t 0 x
t 0， y
2t y2 0
则有
t u t dy t v t dy t a 2t dy
0 x
0 y
0 y2
b
其中
t v t dy vt t
式中，St 称为斯坦顿（Stanton）数，其定义为 St
Nu
Re Pr
j 称为j 因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广。
hx
tw t
t y y0
3 2
1
pr 3
hx x
Nux
1
0.332
Re
高等工程流体力学-边界层的基本概念
vx v
，y
yv
，
v
第七章 不可压缩流体的二维边界层
18
第四节 紊流边界层的速度分布
其中，v w / 为壁面摩擦速度，由柏金汉
定理可得
vx
vx v
F(y,)
（7-18）
对水力光滑壁面，内层区域（y≤0.2δ）的粘
性底层[0 ≤ y+ ≤ （5~10）]，速度分布
或
vx y
（7-19a） （直线分布）
第一节 边界层的基本概念
一、边界层的基本特征 二、边界层位移厚度和动量损失厚度 三、紊流边界层的分层结构 四、紊流猝发现象
1
一、边界层的基本特征
边界层的特性
边界层很薄； 边界层厚度随来流方向逐渐增厚； 沿壁面法向速度梯度很大，黏性力不能忽
略，边界层内的流动是有旋的； 边界层内任一横截面上的压强都相等，等
10
第三节 二维边界层动量积分方程
将乘以Ue(x)第一式连续方程，整理得
(Uevx ) x
(Uevy ) y
vx
dU e dx
（7-14a）
注意到连续方程和 vx ，可将第二式边
界层方程改写为
y
vx2 x
(vxvy ) y
Ue
dU e dx
1
y
（7-14b）
第七章 不可压缩流体的二维边界层
第七章 不可压缩流体的二维边界层
17
第四节 紊流边界层的速度分布
一、内层速度分布——壁面律
（1）在内层区域时，速度 vx 应依赖于 壁面切应力τw、流体密度ρ、动力黏度μ、 离开壁面的垂直距离y和壁面粗糙度Δ，根 据柏金汉的π定理，在基本量纲M-L-T中， 将上述6个物理量存在3个无量纲组合量：
第十一章-边界层理论
-------(11-4)
p =0 y
边界条件为
1 2
几点结论：
u x 0 , u y 0 y : ux U 0 y 0:
-------(11-5)
（1）压强沿物体界面外法线方向的梯度，较沿物体界面切线方向的梯度低一个量级。
p 0 y
上式说明边界层内的压强沿物面外法线方向是不变的，并等于边界层外边界上的压强。
u∞
u∞
δ
形成过程流体Βιβλιοθήκη 经固体表面；Ax0
层流内层
平板上的流动边界层
由于粘性，接触固体表面流体的流速为零
；
附着在固体表面的流体对相邻流层流动起阻碍作用，使其流
速下降；
对相邻流层的影响，在离开壁的方向上传递，并逐渐减小。
最终影响减小至零，当流速接近或达到主流的流速时，速
度梯度减少至零。
一、边界层的提出 2、流场的求解可分为两个区进行：
将上述的量纲一的量代人式(10-1)中的各项中，则得
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 02 02 x x 0 Re y y x 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x Re y y y x 0 u 0 u y x 0 0 0 x y
2 u ，得 u 由 L 2
1 uL L 2 Re 2 ~ O 0 2
0 u0 u y x 0 0 0 x y
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x x Re x y y 0 1 02 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 02 ux 0 uy 0 0 02 x y y Re x y 1 0 02 0 1 0 0 0 1 1
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几何因素：几何形状，尺寸，相对位置
1.3 对流换热微分方程式
hx tw t f
x
(
t y
)
w,x
对流换热 界面导热
y
t
u
y w,x
hx
t
x
(
t y
)
w,
x
或
hx
f ,x
(
y
)
w,x
tw tt f
t y w,x
t ,u ,
第二节 对流换热微分方程组
连 续 性 方 程 对 流 换 热 微 分 方 程 组动 量 方 程 能 量 方 程 对 流 换 热 微 分 方 程 式
2
x2
2
1 1
2
y 2
1
2
结论：x22
2
y 2
通过比较发现：对于体积力可以忽略的稳态受迫对流换热，比 较 x 和 y 方向的动量微分方程，可忽略 y 方向的动量微分方程。
数量级分析简化后的微分方程组为： u v 0 x y
uu vu 1 p 2u x y x y2
u
x
v
y
a
2
流体的热物性 ：
粘度定义： Ns/m2
u/y 粘度大，流动弱，热对流传递热量的能力小；
体积膨胀系数：
1v
v T
p
体积膨胀系数大，浮升力大，自然对流强，换热得 到加强。
定性温度：用以确定物性参数的特征温度。
三种常见选择方案 t f ，t w ， tm t f tw / 2
流体相变：相变热强化换热
y 2
外掠平板层流边界层微分方程精确解 由量级分析得到的微分方程组，可求出速度场，温度场及局
部表面传热系数：
x
5.0Re
1/ x
2
x
C f ,x 2
0.332 Re
1/ x
2
t Pr1/3
t x
hx
0.332
λ x
Re1x/
2
Pr1/
3
hx x1/ 2
特征数关联式：
普朗特数 Pr 物理意义：分子动量扩散与热扩散能力之比
本节讨论常物性不可压缩牛顿型流体二维对流换热问题。
连续性方程： u v 0 x y
x 方向动量方程：
u
u u vu x y
Du
p
Fx 体积力
x
压力梯度
x2u2y2u2
粘性力
D
惯性力
y 方向动量方程：
v
u
v x
v
v y
Fy
p y
2v x 2
2v y 2
能量方程：
c t
u t v t x y
a
努塞尔数 Nu hx x 的物理意义：无因次对流换热系数
Nu
x
0.332
Re
1/ x
2
Pr
1/
3
Nux x1/ 2
hx x1/ 2
平均表面传热系数：h0.664λ Re1/ 2 Pr1/ 3 l
或
Nu 0.664 Re1/ 2 Pr1/ 3
h 2hx Nu 2Nux
注意：定性温度为边界层的算术平均温度
u y
0.99u
u
x
流场划分： 主流区与边界层区；层流、过度流与紊流(利用临界距离
与临界雷诺数进行判断)；紊流核心与层流底层。
层流
过度流
紊流
u y u
xc
y u
c
层流底层
hx hx ,l
hx,t x
总结边界层特征，主要有四点：
（1）边界层极薄， l ；
（2）边界层内速度梯度大；
（3）边界层内分层流与紊流，紊流边界层包括紊流核心与
和 Yy
(4) 补充速度分布形态
U
u u
f1
y
f1 Y
3Y 2
1Y 2
3
w
u y
w
u
a
pd x
c
Px dPx
Mx dMx
mx dmx
d
x
dx
wdx
mx xudy Mx xu2dy
0
0
dp u du
(2) 分析控制体界面上的质量流量、动量流量及受力情况
(3) 建立边界层动量积分方程:
dM x F合力
经过推导
d
u2
dx
1
U
0
1U
dY
du dx
u
1 0
1U
dY
w
其中
U u u
第四节 边界层换热积分方程组及求解
积分方程组的解又称近似解。以下讨论针对常物性、无内热源、 不可压缩牛顿流体、忽略耗散热的二维稳态对流换热，Pr>1,
t 4.1 边界层动量积分方程及求解 （1）选取包含微元段边界层的控制体积作为研究对象
控制体积abcd
udmx
y dmx
b
Px p x
Mx mx
0结论：v
u
1 δ
1
u
u x
v
u y
p x
2u x2
2u y 2
1
11 1
1
1
δ
2
1 12
1
2
结论： ~ 2
2u x2
2u y 2
1
u v x
1 1
v v y
p y
δ
2v x2
δ2
12
2v y 2
结论：py
2
~
,
该方程可以取消
c
1
u
x 11 1
v
y
1
xt xt
t y
t
y
Dt
单元体热扩散净得热量
D
单元体能量随时间的变化率
4 个微分方程含有4 个未知量(u、v、p、t)，方程组封闭。 原则上，方程组对于满足上述假定条件的对流换热（强迫、 自然、层流、紊流换热）都适用。
第三节 边界层换热微分方程组的解
3.1 流动边界层
边界层厚度: 0. 99 u 处离壁的距离
第五章 对流换热分析
本章主要内容： 阐述对流换热机理、求解对流换热的基本方 法，包括：1)理论分析方法；2)两传类比方 法，又称半经验方法；3)相似理论及换热准 则关联式，又称经验方法。
第一节 对流换热概述
1.1 牛顿冷却公式
q htw t f
因此求解 h 是对流换热计算的核心问题
1.2 对流换热影响因素
h 的影响因素
流动起因 流动状态 流体的热物性 流体相变 几何因素
流动起因： 受迫流动：流速一般较大，换热系数大 自然对流：流速一般较小，换热系数小
流动状态： 层流：热扩散机理主要为分子扩散，热扩散系数一般小 紊流：流体掺混作用强化了热扩散，热扩散系数一般大
流体的热物性 ： 导热系数大，热扩散能力强，对流换热系数大； 比热、密度大，热对流传递热量的能力强，壁面附 近温度梯度大，有利于对流换热；
层流底层； （4）流场分为主流区（无粘性区）。
0.99 f
3.2 热边界层
t
x
热边界层厚度：0.99 f
处离壁的距离
w 0
3.3 数量级分析与边界层微分方程 数量级分析的基本思想：
相同量纲的量进行比较，区别不同量的量级大小； 每个基本量纲选定一个比较标准； 选一组独立的完备的标准量；
与标准量相当的量，记为 O1 的量级，简记为1，比标 准量小得多的量，记为O 的量级，简记为 ，即 1
目 标： 对微分方程组中的各项进行数量级比较，略去高阶 小量，简化方程组。
[例]：二维稳态受迫流动边界层对流换热微分方程组的数量级 分析
标准量：速度 u ， 温度 f ，长度量 l 。
u x
v y