建立边界层动量积分方程

u y
0.99u
u
x
流场划分： 主流区与边界层区；层流、过度流与紊流(利用临界距离
与临界雷诺数进行判断)；紊流核心与层流底层。
层流
过度流
紊流
u y u
xc
y u
c
层流底层
hx hx ,l
hx,t x
总结边界层特征，主要有四点：
（1）边界层极薄， l ；
（2）边界层内速度梯度大；
（3）边界层内分层流与紊流，紊流边界层包括紊流核心与
a
pd x
c
Px dPx
Mx dMx
mx dmx
d
x
dx
wdx
mx xudy Mx xu2dy
0
0
dp u du
(2) 分析控制体界面上的质量流量、动量流量及受力情况
(3) 建立边界层动量积分方程:
dM x F合力
经过推导
d
u2
dx
1
U
0
1U
dY
du dx
u
1 0
1U
dY
w
其中
U u u
xt xt
t y
t
y
Dt
单元体热扩散净得热量
D
单元体能量随时间的变化率
4 个微分方程含有4 个未知量(u、v、p、t)，方程组封闭。 原则上，方程组对于满足上述假定条件的对流换热（强迫、 自然、层流、紊流换热）都适用。
第三节 边界层换热微分方程组的解
3.1 流动边界层
边界层厚度: 0. 99 u 处离壁的距离
几何因素：几何形状，尺寸，相对位置
1.3 对流换热微分方程式
hx tw t f
x
(
t y
)
w,x
对流换热 界面导热
y
t
u
y w,x
hx
t
x
(
t y
)
w,
x
或
hx
f ,x
(
y
)
w,x
tw tt f
t y w,x
t ,u ,
第二节 对流换热微分方程组
连 续 性 方 程 对 流 换 热 微 分 方 程 组动 量 方 程 能 量 方 程 对 流 换 热 微 分 方 程 式
0结论：v
u
1 δ
1
u
u x
v
u y
p x
2u x2
2u y 2
1
11 1
1
1
δ
2
1 12
1
2
结论： ~ 2
2u x2
2u y 2
1
u v x
1 1
v v y
p y
δ
2v x2
δ2
12
2v y 2
结论：py
2
~
,
该方程可以取消
c
1
u
x 11 1
v
y
1
y 2
外掠平板层流边界层微分方程精确解 由量级分析得到的微分方程组，可求出速度场，温度场及局
部表面传热系数：
x
5.0Re
1/ x
2
x
C f ,x 2
0.332 Re
1/ x
2
t Pr1/3
t x
hx
0.332
λ x
Re1x/
2
Pr1/
3
hx x1/ 2
特征数关联式：
普朗特数 Pr 物理意义：分子动量扩散与热扩散能力之比
流体的热物性 ：
粘度定义： Ns/m2
u/y 粘度大，流动弱，热对流传递热量的能力小；
体积膨胀系数：
1v
v T
p
体积膨胀系数大，浮升力大，自然对流强，换热得 到加强。
定性温度：用以确定物性参数的特征温度。
三种常见选择方案 t f ，t w ， tm t f tw / 2
流体相变：相变热强化换热
层流底层； （4）流场分为主流区（无粘区）
f t f tw y
与边界层区（粘性区）。
0.99 f
3.2 热边界层
t
x
热边界层厚度：0.99 f
处离壁的距离
w 0
3.3 数量级分析与边界层微分方程 数量级分析的基本思想：
相同量纲的量进行比较，区别不同量的量级大小； 每个基本量纲选定一个比较标准； 选一组独立的完备的标准量；
a
努塞尔数 Nu hx x 的物理意义：无因次对流换热系数
Nu
x
0.332
Re
1/ x
2
Pr
1/
3
Nux x1/ 2
hx x1/ 2
平均表面传热系数：h0.664λ Re1/ 2 Pr1/ 3 l
或
Nu 0.664 Re1/ 2 Pr1/ 3
h 2hx Nu 2Nux
注意：定性温度为边界层的算术平均温度
第五章 对流换热分析
本章主要内容： 阐述对流换热机理、求解对流换热的基本方 法，包括：1)理论分析方法；2)两传类比方 法，又称半经验方法；3)相似理论及换热准 则关联式，又称经验方法。
第一节 对流换热概述
1.1 牛顿冷却公式
q htw t f
因此求解 h 是对流换热计算的核心问题
1.2 对流换热影响因素
第四节 边界层换热积分方程组及求解
积分方程组的解又称近似解。以下讨论针对常物性、无内热源、 不可压缩牛顿流体、忽略耗散热的二维稳态对流换热，Pr>1,
t 4.1 边界层动量积分方程及求解 （1）选取包含微元段边界层的控制体积作为研究对象
控制体积abcd
udmx
y dmx
b
Px p x
Mx mx
h 的影响因素
流动起因 流动状态 流体的热物性 流体相变 几何因素
流动起因： 受迫流动：流速一般较大，换热系数大 自然对流：流速一般较小，换热系数小
流动状态： 层流：热扩散机理主要为分子扩散，热扩散系数一般小 紊流：流体掺混作用强化了热扩散，热扩散系数一般大
流体的热物性 ： 导热系数大，热扩散能力强，对流换热系数大； 比热、密度大，热对流传递热量的能力强，壁面附 近温度梯度大，有利于对流换热；
2
x2
2
1 1
2
y 2
1
2
结论：x22
2
y 2
通过比较发现：对于体积力可以忽略的稳态受迫对流换热，比 较 x 和 y 方向的动量微分方程，可忽略 y 方向的动量微分方程。
数量级分析简化后的微分方程组为： u v 0 x y
uu vu 1 p 2u x y x y2
u
x
v
y
a
2
和 Yy
(4) 补充速度分布形态
U
u u
f1
y
f1 Y
源自文库
3Y 2
1Y 2
3
w
u y
w
u
本节讨论常物性不可压缩牛顿型流体二维对流换热问题。
连续性方程： u v 0 x y
x 方向动量方程：
u
u u vu x y
Du
p
Fx 体积力
x
压力梯度
x2u2y2u2
粘性力
D
惯性力
y 方向动量方程：
v
u
v x
v
v y
Fy
p y
2v x 2
2v y 2
能量方程：
c t
u t v t x y
与标准量相当的量，记为 O1 的量级，简记为1，比标 准量小得多的量，记为O 的量级，简记为 ，即 1
目 标： 对微分方程组中的各项进行数量级比较，略去高阶 小量，简化方程组。
[例]：二维稳态受迫流动边界层对流换热微分方程组的数量级 分析
标准量：速度 u ， 温度 f ，长度量 l 。
u x
v y