北航《数值分析》总复习题(2011年)

l i ( x) =
2)
_（E） ， 从而得 Lagrange 插值多项式 L( x) = （G） 。
（F）
,而插值
余项 R ( x) f ( x) L ( x) =
试用三种方法求过三个离散点：A（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的 插值多项式。
3） 求函数 4)
f ( x) e x
x ln x 2 ( x 1 )
在 [ 1，2 ]中的近似根的一个收敛
的不动点迭代公式，并证明其收敛性。 2) 已知方程 的有根区间 [ 3，4 ] .试 证明所给出
写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用 Newton 迭代法求方程
现采用“列主元 Gauss 消去法”求解，试回答： a） 所用列主元 Gauss 消去法包括哪两个过程？ b） 要用几步消元？ c） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）? d） 现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为
10 7 0 x1 7 61 110 6 x 2 10 5 5 5 2 x3 2
I 6
0

4 sin 2 d

0 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36
4 sin 2
2 1.9981001 1.9924473 1.9831825 1.9705386 1.9548386 1.9364917
五. 解线性代数方程组的直接法: 1） Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？ A．提高计算速度； B．提高计算精度； C．简化计算公式；
( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算 这个计算过程数值稳定吗 ？
时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式
如果取 到
* y0 2 1.41 y0
y10 时误差为初始误差的多少倍？
二. 插值问题: 1) 设函数
f ( x) 在五个互异节点 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
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2) 3)
简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 插值型求积公式

b a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
中,每个系数可用公式
Ak =
. , 其
( A )
计算,它们之和
A
k 0
n
k
=
(B) (D)
, 其代数精度 , 其主要特点是 ( G )
试用梯形方法求其解在两点 近似值。 4） 设初值问题
x 1.2 , 1.4
处的值
y y 2 2x 1 y(0) 1
, 0 x 1
试用改进的 Euler 方法，并取 h
0.1 ，设计一个求解上述初值问题数值解的
求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。 5 ) 设初值问题
( C ) (E) ;
又 Newton-Cotes 公式的一般形式为 Cotes 系数之和 4)
C
k 0
n
(n) k
=
(F)
, 其代数精度
考察数值求积公式

1
1
f ( x)dx A1 f (1) A0 f (0) A1 f (1) ,
A0 , A1 应取什
直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高, A1 , 么确值? 它是不是 Gauss 型公式? 5) 求I
上对应的函数值为 （A） 的插值多项式
f1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 ，根据定理，必存在唯一的次数
P( x) ，满足插值条件 L( x) ,由 5 个节点作 (
C ) 个、次数均为 ( D )
( B ) . 对此，为了构造 Lagrange 插值多项式 次的插值基函数
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请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。 e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。
六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组
x Bx f
的基本型迭代公式
x ( k 1 ) B x ( k ) f ,
其中 B 称为什么?
k 0 ,1,
如果迭代序列
x ( 0) 又称为什么?
工程硕士《数值分析》总复习题 （2011 年用）
[由教材中的习题、 例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]
一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045„,取 x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取

1
1 dx 的近似值, 3 0 1 x
试写出使用 11 个等分点函数值的求积
公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6) 利用复化 Simpson 公式求积分
I x dx
1
2
的近似值 （只需列出算式） 。
7)
利用现成函数表，分别用复化梯形公式 Tn 和复化 Simpson 公式 S n 计算积分
在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。
由函数值表:
x ex
求e 5)
2.1
: :
1 0.367879441 ,
2 0.135335283 ,
3 0.049787068
的近似值.
利用插值方法推导
[
i 0
n
x j ]i x j 0, j i i j

n
三. 拟合问题: 1) 2) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 (A) 和 (B) .
x (0) ( 0, 0 ) T
计算 GS 迭代公式
1 5 x1 4 9 1 x 8 2
试构造解此方程组的收敛的 Jacobi 迭代公式和收敛的 Guass-Seidel 迭代公 式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组
3 4 3 r
位,
位,
位。
3
时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径 r 的相对
误差的允许范围。 5） 计算下式
P （x）
2 5 7 3 8 34 5 4 3 2 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
y0 2 y n 10 y n 1 1, n 1, 2,
p (1) p(1) 0 ,
0 处与 cos x 相切
p ( 2) 2
3 ) 用插值方法求在 x 多项式
,在 x
2 处与 cos x 相交的二次
p2 ( x )
,并推导插值余项的估计式为 第 6 页 (共 8 页 )
cos x p 2 ( x)
4 )
1 2 x |x | 6 2
本形式 （D） 进行研究。设函数 题在 x n 处的解为 ( E ) 若记
y( x) 是某初值问题的解析解，
则该初值问
而数值解(通常记)为 （F） ,它们的关系是 ( G ) .
y( xn1 ) 是初值问题在点 x n 1 处的解， y n 1 是由某数值方法得出的
（H） .
x n 1 处的数值解，则该数值方法在 x n 1 处的局部截断误差是指
1
0.8
2
1.5
3
1.8
4 2.0
2
试按最小二乘法拟合出一个形如 设有实验数据如下：
S ax bx
3 18
的经验公式。
x
f
1 4
2 10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 26 的经验公式 。
按最小二乘法拟合出一个形如
S a bx 2
四. 数值求积: 1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什 么意义?
D．提高计算公式的数值稳定性；
E．节省存储空间。
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2）
采用“列主元 Gauss 消去法” 解下列方程组：
2 3 5 3 4 7 1 3 3
a) b) 3)
x1 5 x 6 2 x3 5
y 3 y /(1 x), 0 x 1 y (0) 1
0.1 ，设计一个求解上述初值问题数值解
试用 4 阶经典 R-K 方法，并取 h
的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。 九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1） 设 x
( 0 , 2 , 3 )T ,
0.5 a 1 3 Ax b, A 2 0.5 0.5 , x, b R 1 a 0.5
请按便于计算的收敛充分条件, 求使 J 法和 GS 法均收敛的
a
的取值范围.
七．一元方程求根: 1) 写出求方程
f ( x) x 3 3 x 1 0
收敛的充分必要条
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件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量 x 么？ 3) 设线性方程组
(0)
收敛的一个充分条件是什
2 1 x1 3 1 4 x 5 2
，
试构造解此方程组的 Jacobi 迭代公式和 GS 迭代公式； 试问所作的两种 迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 的前三个值. 4 ) 设方程组
用 ”列主元 Gauss 消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。
设方程组
3 2 6 x1 4 10 7 0 x 7 2 5 1 5 x3 6
试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:
f ( x) x 3 3 x 1 0
在 x0
2
附近的根,
试写其 Newton 迭代公式; 并说明其收敛情况。 4) 试写出求
2
的 Newton 迭代公式，并说明其收敛情况。
八. 常微分方程初值问题: 1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 (A) 问题.初值问题是指由 （B） 和
（C） 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时， 通常针对基 第 5 页 (共 8 页 )
对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的 意义是什么?
3)
设有实验数据如下：
x
f
4)
1.36 14.094
1.73 16.844
1.95 18.475
2.28 20.963
按最小二乘法求其拟合曲线。 已知某试验过程中函数
f
依赖于 x 的试验数据如下：
xi fi
5)
： ：
2） 设初值问题
y x y 2 y y (0) 1
y 8 3 y y (1) 2
, 0 x 0.6
试用 Euler 方法取 h 3 ) 设初值问题
0.2 ，求解上述初值问题的数值解。
, 1 x 2
y(1.2) , y(1.4) 的
1 2 A 3 4
求，
x
1
1
，
x
A
2
,
x
A

；
设
，求
A
，

，
2
,
( A) 。
2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式 H ( x) 和 a) b)
p( x) ,并写出其余项公式:
H (1) 1 , H (0) H (0) 0 , H (1) 1
p (0 ) 1 ,
*
x 有极限 x
（k）
*
（即迭
代公式收敛） ，则极限 x 是什么？ 2） 设解线性代数方程组 Ax 的迭代公式为
b （其中 A R nn 非奇异， b 0 ）
x ( k 1) x ( k ) ( Ax ( k ) b) , k 0,1,
(0)
则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量 x
355 113
*
作为 的近似值.
c) 经过四舍五入得出的近似值 12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过 60 字) b) 舍入误差 (不超过 60 字) c) 算法数值稳定性 (不超过 60 字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算 x 时的相对误差约等于 x 的相对 误差的 3 倍。 4) 计算球体积 V