2021学年高中数学1.5.1平行关系学案含解析北师大版必修2.doc

§5平行关系

5．1平行关系的判定

知识点一直线与平面平行的判定定理

[填一填]

[答一答]

1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？

提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．

2．证明直线和平面平行的关键是什么？

提示：证明直线和平面平行的关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线．

3．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？

提示：不一定平行，有可能直线在平面内．

知识点二平面与平面平行的判定定理

[填一填]

[答一答]

4．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？

提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．

1．直线与平面平行的判定定理

直线与平面平行的判定定理是判定直线与平面平行的最常用、最基本的方法，它体现了空间问题转化为平面问题的基本思路．

在具体证明过程中，常需要解决两个问题，一是在平面内找到一条直线，二是证明平面外的直线与该直线平行．第一个问题的解决常借助已知条件或构造过平面外直线的平面与已知平面相交，这时交线就是要寻找的直线；第二个问题，也就是在平面内证明两条直线平行的问题，这时可能会用到如下定理或性质：三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，平行四边形的性质，梯形的性质等．

总之，在证明时要由具体条件选择合理的方法．

2．直线与平面平行的判定方法

(1)利用定义：说明直线与平面无公共点(往往用反证法)．

(2)利用直线与平面平行的判定定理．

3．应用判定定理的思维误区

(1)直线与直线的平行有传递性，直线与平面的平行没有传递性，如 ⎭⎪⎬⎪

⎫a ∥b b ∥α⇒/ a ∥α，

⎭

⎪⎬⎪⎫a ∥αb ∥α⇒/ a ∥b 等．

(2)应用判定定理注意三个条件，漏掉一个条件就可能出错，如aα，b∥a⇒/ b∥α，此时，b可能在平面α内，也可能与α平行．

4．对平面与平面平行的判定定理的三点说明

(1)具备两个条件．

判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：

①平面β内两条相交直线a，b，即aβ，bβ，a∩b＝P；

②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.

(2)体现了转化思想．

此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．

(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.

类型一线面平行、面面平行判定定理的理解

【例1】能保证直线a与平面α平行的条件是()

A．bα，a∥b

B．bα，c∥α，a∥b，a∥c

C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD

D．aα，bα，a∥b

【思路探究】判定线面平行，可用定义，也可用判定定理．

【解析】A错误，若bα，a∥b，则a∥α或aα；B错误，若bα，c∥α，a∥b，a ∥c，则a∥α或aα；C错误，若满足此条件，则a∥α或aα或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.

【答案】 D

规律方法正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．

在以下说法中，正确的个数是(B)

①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行．

A．0B．1C．2D．3

解析：①平面α和平面β相交时，平面α内与两平面交线平行的直线与平面β都平行，所以该命题不正确；

②当两条直线相交时，两个平面平行；当两条直线平行时，平面α和平面β可能相交，