高中数学培优训练一(含详细解析及答案)

高中数学培优训练一
高等数学一直以来被莘莘学子认为是不可逾越的大山，其实不然，只要掌握适当的方法与技巧，多进行一些培优训练，多对思维做一些培优性的练习，就一定能克服困难，成为“学霸”，轻松解决试卷中的培优题！！！
1．已知椭圆C
，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且21F PF ∆
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆T
T 的两条切线交椭圆于F E ,两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围． 2．若函数()f x 是定义域D 内的某个区间I 上的增函数，且在I 上是减函数，则称()y f x =是I 上的“单反减函数”
（1）判断()f x 在(]0,1上是否是“单反减函数”；
（2）若()g x 是[)1,+∞上的“单反减函数”，求实数a 的取值范围．
3．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，其中 BC AD //，AD BA ⊥，AC 与BD 交于点O ，M 是AB 边上的点，
且BM AM 2=，已知4==AD PA ，3=AB ，2=BC ．
（1）求平面PMC 与平面PAD 所成锐二面角的正切；
（2）已知N 是PM 上一点，且//ON 平面PCD ，求 4．已知等差数列{}n a 满足121, a a =、73a -、8a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和1n n T a =-（其中a 为正常
A P
D
B C O
M
N
数）
（1）求{}n a 的前项和n S ；
（2）已知*2a N ∈，1122n n n I a b a b a b =++⋅⋅⋅+，求n I
5．设(),R f x a b λ∈=⋅r r ，其中
，已知()f x 满
足（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2
6．（本题满分14分）各项为正的数列{}n a 满足
（1）取1n a λ+=，求证：数列
（2）取2λ=时令，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值
7．（本题满分15分）函数2()22(,,0)f x ax bx a b a b a =--+∈>R ，()22g x ax b =-
（1时，求(sin )f θ的最大值； （2）设0a >时，若对任意θ∈R ，都有|(sin )|1f θ≤恒成立，且(sin )g θ的最大值为2，求()f x 的表达式． 8．（本题满分15
（1）求椭圆方程；
（2）Rt ABC ∆以(0,)A b 为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点，求ABC ∆ 面积的最大值．
9．（本题满分14分）已知函数R a x a x a x x f ∈++-=,ln )12()(2 （1）当,1=a 求)(x f 的单调区间； （2）a ＞1时，求)(x f 在区间[]e ,1上的最小值；
（3）,)1()(x a x g -=若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∃e e x ,10使得))(00x g x f （≥成立，求a 的范围． 10．（本小题满分13分）已知抛物线2
1:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22
222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22
:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；
（2）过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ，已知1212,,:NA AF NB BF λλλλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r 求证为
定值．
11．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n n T a a b ,31
+=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围． 12．（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，090=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，2==CD AD ，将ADC ∆沿AC 折起，使平面⊥ADC 平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图2所示．
（1）求证： ⊥BC 平面ACD ；
（2）求几何体ABC D -的体积．
13．（本题满分12分）有编号为12,A A ， ，10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：
其中直径在区间［1．48，1．52］内的零件为一等品．
（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个．
（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii ）求这2个零件直径相等的概率．
14．（本题满分12分）已知向量p u r ＝（2sin x ），q r ＝（－sin x,2sin x ），函数f （x ）＝p u r ·q r
（1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f （C ）＝1，c ＝1，ab ＝a>b ，求a ，b 的值．
15．（本题满分14分），其中a m ,均为实数， （1）求)(x g 的极值；
（2）设1,0m a ==，求证：对 （3）设2=a ，若对∀给定的(]e x ,00∈，在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围．
16．（本小题满分13分）直线y x =与椭圆交于A B ，两点，C
为椭圆的右顶点 （1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在两点,E F 使,(0,2)OE OF OA λλ+=∈u u u r u u u r u u u r ，求OEF ∆面积的最大值．
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n
均在函数x x x f 23)(2
-=的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n n T a a b ,31
+=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围． 18．（本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动
点，满足CF CA λ'=u u u r u u u r ．
（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；
（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．
19．（本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），
[40，60），[60，80），[80，100]．
（1）求直方图中x 的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布A ' B
E C
图2
F 图1 A D B E
C
列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
20．（本题满分12分）已知向量p u r ＝（2sin x ），q r ＝（－sin x,2sin x ），函数f （x ）＝p u r ·q r
（1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f （C ）＝1，c ＝1，ab ＝a>b ，求a ，b 的值．
参考答案
1．（1
（2
【解析】
试题分析：（1）利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到c b a ,,的关系式进行求解；（2）设出圆的切线方程，利用直线与圆相切，得到t k ,的关系式以及两条切线的斜率的关系，分别联立切线与椭圆的方程，求得F E ,的坐标，求出斜率，再利用函数的单调性求其最值.
试题解析：（1，可知b a 4=，因为21F PF ∆的周长是
所以1,4==b a ，所求椭圆方程为分 （2）椭圆的上顶点为()1,0M ，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+， 由直线1y kx =+与T 相切可知 即()
22941850t k tk -++=
6分 得()2211116320k x k x ++=
同理
分
分
当31<<t 时，为增函数，故EF 的斜率的范围为分 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.
2．（1）不是；（2）40≤≤a .
【解析】
试题分析：（1）先判定)(x f 的单调性，则利用导数判定)(x F 的单调性即可；（2）根据定义，将函数的单调性转化为导函数恒为正或恒为负进行求解.
试题解析：1）由于x x f ln )(=，在()1,0上是增函数，且 ，()1,0∈∴x 时，0)('>x F ，)(x F 为增函数， 即)(x f 在()1,0上不是“单反减函数”； 6分
（2 8分 )(x g Θ是[)+∞,1上的“单反减函数”，
0)('≥x g 在[)+∞,1恒成立，
0)1('≥∴g ，即0≥a ， 9分 在[)+∞,1是减函数， 0)('≤∴x G 在[)+∞,1恒成立，即在[)+∞,1恒成立， 即04ln ≤--x ax ax 在[)+∞,1恒成立， 11分
令4ln )(--=x ax ax x p ，则x a x p ln )('
-=， ⎩
⎨⎧≤≥∴0)1(0p a ，解得40≤≤a ， 综上所述40≤≤a ． 14分
考点：1.新定义型题目；2.函数的单调性与导数的关系.
3．（1（2 【解析】
试题分析：（1）作出辅助线，利用有关垂直得到二面角的平面角，再利用直角三角形进行求解；（2）根据线面平行的性质，得到线线平行，进而利用平行线分线段成比例求解.
试题解析：（1）连接CM 并延长交DA 的延长线于E ，则
PE 是平面PMC 与平面PAD 所成二面角的棱，过A 作AF 垂直PE 于F ，连接MF
⊥PA Θ平面ABCD ，MA PA ⊥∴，又⊥∴⊥MA AD MA ,平面PDA
PE AF ⊥Θ，PE MF ⊥∴，
， MFA ∠∴是平面PMC 与平面PAD 所成锐二面角的平面角 3分
MB AM AD BX AD BC 2,//,4,2===Θ
4=∴AE ，又
所以平面PMC 与平面PAD 所成锐二面角的正切为
分 （2）连接MO 并延长交CD 于G ，连接PG
//ON Θ平面PCD ， PG ON //∴
在BAD ∆中，
AD MO //∴ 9分 又在直角梯形ABCD 中， PG ON //Θ，MN PN =∴，所以分
考点：1.二面角的求法；2.线面平行的性质与判定.
4．（1）n n S n 58555832+=；（2）⎪⎩
⎪⎨⎧≠>---==1,0,111,0a a a a na a I n n n . 【解析】
试题分析：（1）设{}n a 的公差是d ，利用首项与公差表示有关项，利用等比中项求出公差，再利用等差数列的求和公式进行求解；（2）利用错位相减法进行求和. 试题解析：（1）设{}n a 的公差是d ，则
()()()()222873117163a a a d d d =-∴++=+-Q 1d ∴=或329
d = 4分 当d=1时，()()11111122n S n n n n n =⨯+
-⨯=+ 当329d =时，()213355112295858
n S n n n n n =⨯+-⨯=+ 6分 （2）2n a N
a n ∈∴=Q 当1n =时，11
b a =-
当2n ≥时，()111n n n n b T T a a --=-=-
()()()1111111*n n b a a a b a a n N --=-=-∴=-∈Q 8分 当1a =时，00n n b I =⇒= 9分
当1a ≠时
()()()()211121311n n I a a a a a na a -=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-
()()()()()21 121111n n n aI a a a a n a a na a -∴=-+-+⋅⋅⋅+--+- ()()()()()111111n n n a I a a a a a na a -∴-=-+-+⋅⋅⋅+---
()11n n a na a =---
分
分
考点：1.等差数列的求和公式；2.等比中项；3.错位相减法.
5．（1
（2
【解析】
试题分析：（1）利用平面向量的数量积公式求得)(x f 的表达式，由求出λ值，再将)(x f 化成
k x A ++)sin(ϕω的形式，利用三角函数的图象与性质进行求解；
（2）利利用三角函数的图象解不等式即可. 试题解析：（1
22sin cos cos sin x x x x λ
=-+
分
分
()
f x
∴的单调递增区间是分
（2
分考点：1.平面向量的数量积；2三角函数的图象与性质.
6．（1
（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由已知得递推关
，即为22
11
n n n n
a a a a
++
--=，两边同时除以2
n
a
得
，这就说明数学{}n a 是等比数列，
的公式．（2）由已
知
，，这样就
有，因此12
n n
T b b b
=
L
，另一方面，2
1
22
n n n
a a a
+
=-，从
而
，所以1
2n
n n
T S
++
2
=为常数．
试题解析：（1
两边同除2
n a 可得：
因为0n a >，所以
（2
，故+1
2n n n T S +=2为定值． 考点：等比数列的证明，数列的递推公式． 7．（1）-||a b ；（2）2
21()f x x =-． 【解析】
试题分析：（1）求(sin )f θ的最大值，实际上设sin t θ=，由已知得[0,1]t ∈，问题转化为要求
2()22f t at bt a b =--+的最大值，这是二次函数，开口方向向上，因此最大值为(0)f 或(1)f （需比较它们的大
小）；（2）与（1）类似，设sin t θ=，则[1,1]t ∈-，问题转化为当[1,1]t ∈-时，恒成立，且()g t 最大值为2，求,a b ，()(1)222g t g a b ==-=最大，所以1a b -=，由（1）知(1)1f a b =-=，(0)1f b a =-=-，又恒成立，即1()1f t -≤≤恒成立，因此(0)1f =-是二次函数()f t 的最小值，由此可得,a b ，即得
2()21f x x =-．
试题解析：（1）令 sin [0,1]t θ=∈，原命题等价于求()f t 在[0,1]t ∈的最大值．
而0a >，对称轴
max (1)()
()||(0)()f a b b a f x a b f b a b a =-≤⎧==-⎨=->⎩
（2）令 sin [-1,1]t θ=∈，则|()|1|(0)|1,|(1)|1,|(-1)|1f t f f f ≤⇒≤≤≤，
因为0a >，所以max (sin )(1)2g g θ==，而(1)222g a b =-= 而(0)-1f b a =-= 而[1,1]t ∈-时，|()|11()1f t f t ≤⇒-≤≤，
结合(0)-1f =可知二次函数的顶点坐标为(0,1)-
所以0,1b a ==，所以2
()21f x x =-． 考点：换元法，二次函数的性质．
8．（1
（2
【解析】
试题分析：（1
，可解得3,1a b ==；（2）从已知
可设AB 的方程为1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为把直线AB 方程代入椭圆方程求出B 点坐标，从而求
得
，同理
可
得
，这样
有
用换元法
可求得ABC S ∆的最大值．
试题解析：（1得3a b =，把点
（2）不妨设1x >的方程(,01)x n t n N t +=+∈≤<，则
k用
于是
考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合问题，直线与椭圆相交问题．
9．（1）
)
(x
f的单调区间为（2）⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥
+
+
-
<
<
-
-
=
e
a
a
e
a
e
e
a
a
a
a
x
f
,
)1
2(
1
),1
(ln
)
(
2
min
；（3）a的【解析】
试题分析：（1）将1
a=代入函数得,
ln
3
)
(2x
x
x
x
f+
-
=求导即
可得其单调区间．（2）求导得令
'()0
f x=，x a
∴=或下面对a分情况讨论．由于1
a>，
故分e
a<
<
1和e
a≥两种情况．（3使得
)
)
(
x
g
x
f（
≥
成立，意即不等式
)
(
)
(x
g
x
f≥
)
(ln
2
2≥
-
+
-x
x
a
x
x在
上有解．又当时，x
x<
≤0
ln，当(]e
x,1
∈
时，0
ln
,
1
ln<
-
∴
<
≤x
x
x
x，所以问题转化
区
有解，这只需a小于等于函
数
试题解析：（1）当,1=a ,ln 3)(2
x x x x f +-=定义域()
+∞,0
分 ()f x ∴在分
（2，令'
()0f x =，x a ∴=或
当e a <<1时，
)1(ln ()min --==∴a a a a f x f ）（
当e a ≥时，)(x f 在[)(),,,1↑+∞↓a a
()f x ∴在[1,]e ↓，2min ()()(21)f x f e e a e a ==-++
综上⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≥++-<<--=e a a e a e e a a a a x f ,)12(1),1(ln )(2min
9分
（3）由题意不等式)()(x g x
f ≥在区间
即0)(ln 22
≥-+-x x a x x 在
Θ当时，x x <≤0ln ，当(]e x ,1∈时，0ln ,1ln <-∴<≤x x x x
分
时，(]↑∈↓<)(,,1,)(,0)('x h e x x h x h
a ∴的取值范围为分 考点：1、导数的基本应用；2、导数与不等式．
10．（1）1C ：2
4y x =，2C
：（2）详见解析． 【解析】
试题分析：（1）求出圆2
2
:1O x y +=与坐标轴的交点，即可p ，b ，c 及a 的值，从而得抛物线和椭圆的方程．（2）由（1）可得F （1，0），故可设直线AB 的方程为),(),0)(1(11y x A k x k y ≠-=，22(,)B x y ，则(0,)N k -．
由1NA AF λ=u u u r u u u r ，2NB BF λ=u u u r u u u r 得，111222(1),(1)x x x x λλ-=-=，整理得， ．联立方程组24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y 得:2222
(24)0k x k x k -++=，显然用根与
系数的关系即可使问题得到解决．
试题解析：（1）由2
1:2(0)C y px p =>焦点在圆22
:1O x y +=上得
所以抛物线1C ：2
4y x = 2分
下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22
:1
O x y +=
得椭圆2C ：总之，抛物线1C ：2
4y x =、椭圆2C
：分 （2）设直线AB 的方程为),(),0)(1(11y x A k x k y ≠-=，22(,)B x y ，则(0,)N k -．
联立方程组24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y
得:2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，
216160k ∆=+>，
由1NA AF λ=u u u r u u u r ，2NB BF λ=u u u r u u u r
得，
111222(1),(1)x x x x λλ-=-=
分
考点：1、抛物线与椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线． 11．（1）65n a n =-；（2）2016≥λ． 【解析】
试题分析：（1）将点))(,(*∈N n S n n 的坐标代入函数x x x f 23)(2
-=得2
32n S n n =-．当1=n 时，11a S =；当2
≥n
时，1n n n a S S -=- ．由此即可得通项公式．（2）即21n T <．20152-≤λn T Θ对所有*∈N n 都成立，20151-≤∴λ由此得2016≥λ．
试题解析：（1）Θ点),(S n 在函数x x x f 23)(2
-=的图象上，
n n S n 232-=∴
当1=n 时，12311=-==S a 2分
当2≥n 时，[]
)1(2)1(3)23(2
21-----=-=-n n n n S S a n n n
56-=n 5分
当1=n 时，116=-n 符合
)(56*∈-=∴N n n a n 6分
（2
分 n T 2∴＜1
又20152-≤λn T Θ对所有*
∈N n 都成立
20151-≤∴λ
故2016≥λ 12分 考点：1、数列；2、不等式．
12．（1）详见解析；（2）几何体ABC D -的体积为
【解析】
试题分析：（1）两个平面互相垂直，则一个平面内垂直交线的直线垂直于另一个平面．在本题中，BC AC ⊥，而平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC I 平面ABC AC =，BC ∴⊥平面ADC ．（2）可将面ACD 作为底面，由（Ⅰ）知BC 为三棱锥ACD B -的高，由三棱锥的体积公式即可得几何体ABC D -的体积． 试题解析：（1）证明：在图1中，可得
从而222AB BC AC =+，故BC AC ⊥，
方法一：取AC 的中点O ，连接DO ，则AC DO ⊥，
又平面ADC ⊥平面ABC ，平面I ADC 平面AC ABC =，⊂DO 平面ADC ， 从而⊥DO 平面ABC
∴BC DO ⊥，又BC AC ⊥，O DO AC =I ，∴BC ⊥平面ACD 6分 （方法二：因为平面ADC ⊥平面ABC 平面ADC I 平面ABC AC = 又因为,AC BC BC ⊥⊂Q 平面ABC
BC ∴⊥平面ADC 6分）
（2）解 由（Ⅰ）知BC 为三棱锥ACD B -的高，，2=∆ACD S
由等体积性可知，几何体ABC D -的体积为
12分 考点：1、空间线面的垂直关系；2、几何体的体积．
13．（1 （2）（i ）所有可能的结果有：
{}12,,A A {}13,,A A {}14,,A A {}15,,A A {}16,,A A {}32,A A ,{}42,A A ,{}52,A A ,{}62,A A ,{}43,A A ,{}53,A A ,
{}63,A A ,{}54,A A ,{}64,A A ,{}65,A A ；
（ii ）
【解析】
试题分析：（1）由于一等品零件共有6个，所以从10个零件中，2）（i ）根据题设知一等品零件的编号为654321.....A A A A A A ．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有
：
{}12,,A A {}13,,A A {}14,,A A {}15,,A A {}16,,A A {}32,A A ,{}42,A A ,{}52,A A ,{}62,A A ,{}43,A A ,{}53,A A ,
{}63,A A ,{}54,A A ,{}64,A A ,{}65,A A ．共15种．（ii ）解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”的
所有可能结果有：{}14,,A A {}16,,A A {}64,A A ,{}32,A A ,{}52,A A ,{}53,A A ，共有6种．根据古典概型概率公式知6除以总数15即得所求概率．
试题解析：（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，
4分 （2）（i ）解：一等品零件的编号为654321.....A A A A A A ．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：
{}12,,A A {}13,,A A {}14,,A A {}15,,A A {}16,,A A {}32,A A ,{}42,A A ,{}52,A A ,{}62,A A ,{}43,A A ,{}53,A A ,
{}63,A A ,{}54,A A ,{}64,A A ,{}65,A A ．共15种．
8分
（ii ）解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：
{}14,,A A {}16,,A A {}64,A A ,{}32,A A ,{}52,A A ,{}53,A A ,共有6种．
12分 考点：1、基本事件；2、古典概型．
14．（1）f （x （2）a ＝2，b 【解析】
试题分析：（1）根据数量积的坐标运算得：f （x ）＝－2sin 2
x ＝2sin （2x 1，由2kπ－
（2）由f （C ）＝2sin （2C 1＝1，sin （2C 1，从而得C
a 2＋
b 2
＝7，联立ab a ＝2，b
试题解析：（1）f （x ）＝－2sin 2
x
＝－1＋cos 2x
＋cos 2x －1＝2sin （2x 1 3分
由k ∈Z ，
得k ∈Z ，
∴f （x 6分
（2）∵f （C ）＝2sin （2C 1＝1，
∴sin （2C 1，
∵C 是三角形的内角，∴2C C 分
∴cos C a 2＋b 2
＝7．
将ab a 2
7，解得a 2
＝3或4．
∴a 2，∴b ＝2
∵a>b ，∴a ＝2，b 分． 考点：1、三角函数；2、三角恒等变换；3、解三角形．
15．（1）极大值为1)1(=g ，无极小值；（2）详见解析；（3 【解析】
试题分析：（1）利用导数求解；（2）将λ代入得()1f x x =-，显然()f x 在[]
3,4
上是增函数．
在[
]3,4
上是增函数．不妨设4321≤<≤x x ，则原不等式转化为
即
则只需证()h x 在[]3,4上是减函数即可．（3）
由（1）可得(]1,0)(∈x g 要在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==，()
f x 必须满足以下几
点：第一，)(x f 的极值点（而且只能是一个极值点）必在区间()e ,0内；第二，)(x g 在()e ,0上的值域包含于)
(x f 在()e ,0上的值域；第三，当x 接近0时，函数值应大于1；第四，
()1m
f e -≥． 试题解析：（1极大值1)1(=
g ，无极小值； 4分
（2）1,0m a ==Q ，
1)(-=∴x x f ,在[]3,4上 是增函数
在[]3,4上是增函数 设4321≤<≤x x ，则原不等式转化为
分
即证1221,()()x x h x h x ∀<<，即()h x 在[]3,4↓
'()10x h x e =-<Q 在[]3,4恒成立
即()h x 在[]3,4↓，即所证不等式成立 9分 （3）由（1）得()g x 在()()max 0,1,1,,()(1)1e g x g ↑↓==
所以，
(]1,0)(∈x g
，当0m ≤时，'
()0,()f x f x <在()0e ↓，，不符合题意
当0>m
时，要12,t t ∃使得12()()f t f t =，
那么由题意知)(x f 的极值点必在区间()e ,0内，即，且函数)(x f 在由题意得)(x g 在()e ,0上的值域包含于)(x f 在
时，1)(≥t f ，取m e t -=，先证，即证20m e m -
>
分
考点：1、导数的基本应用；2、导数与不等式．
16．
（1（2）OEF ∆的面积的最大值为
【解析】
试题分析：（1）点A 在直线y x =上，故不妨设(,)(0)A t t t >，这样 (,)OA t t =u u u r ， (0,)OC a =u u u
r ，
A ，加上222
a b c -=，联立解方程组即可得：2
2
3,1a b ==，从而得椭圆的方程为：（2）由（1．设),(),,(2211y x F y x E ，
EF 中点为00(,)M x y ，根据,(0,2)OE OF OA λλ+=∈u u u r u u u r u u u r 可得EF
EF ，这样OEF ∆的面积可用含λ的式子表示出来，从而利用函数或不等式即可求出OEF ∆的面积的最大值．
试题解析：（1）根据题意，不妨设(,)0A t t t >且, (,)OA t t =u u u r , (0,)OC a =u u u r
分
分
222a b c -=
联立①②③④解得：2
2
3,1a b ==
∴椭圆的方程为：分
（2）设),(),,(2211y x F y x E ，EF 中点为00(,)M x y ，
分 ,E F Q 在椭圆上，则
相减可得
∴直线EF
分
Q 原点()0,0O 到直线EF 的距离为
分
分
时等号成立，所以OEF ∆得最大值为
13分 考点：1、直线与圆锥曲线；2、函数的最大值． 17．（1）65n a n =-；（2）2016≥λ． 【解析】
试题分析：（1）将点))(,(*∈N n S n n 的坐标代入函数x x x f 23)(2-=得2
32n S n n =-．当1=n 时，11a S =；当2
≥n
时，1n n n a S S -=- ．由此即可得通项公式．（2）即21n T <．20152-≤λn T Θ对所有*∈N n 都成立，20151-≤∴λ由此得2016≥λ．
试题解析：（1）Θ点),(S n 在函数x x x f 23)(2
-=的图象上，
n n S n 232-=∴
当1=n 时，12311=-==S a 2分
当2≥n 时，[]
)1(2)1(3)23(2
21-----=-=-n n n n S S a n n n
56-=n 5分
当1=n 时，116=-n 符合
)(56*∈-=∴N n n a n 6分
（2
分 n T 2∴＜1
又20152-≤λn T Θ对所有*
∈N n 都成立
20151-≤∴λ
故2016≥λ 12分 考点：1、数列；2、不等式．
18．（1）证明详见解析；（2 【解析】
试题分析：（1）要证明两平面垂直，应证其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．在本题中，由于F 是一个动点，这意味着不论F 在何处，都有平面EFB ⊥平面A DC '，故必有BE ⊥平面A DC '，所以考虑证明BE ⊥平面A DC '．
（2）设BE 交DC 于O 点，连OF ，结合（1）题的结论可知，点F 在平面BEC 内的射影必在OC 上．作FG DC ⊥，垂足为G ，则FOG ∠为二面角F －BE －C 的平面角．另外，以D 为坐标原点DB ，DE ，D A '分别为OX ，OY ，OZ 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量也可解决．
试题解析：（1）Q 平面A DE '⊥平面DBCE ,A D DE '⊥
∴A D '⊥平面DBCE ∴A D BE '⊥
,D E Q 分别为中点，
分 在直角三角形DEB 中，1tan tan 0BED CDE -∠∠=g
∴90BED CDE ∠+∠=o
得BE DC ⊥∴BE ⊥平面A DC '，又BE ⊂平面EFB ，
∴平面EFB ⊥平面A DC ' 6分 （2）作FG DC ⊥，垂足为G ，则FG ⊥平面DBCE ， 设BE 交DC 于O 点，连OF ，
由（1）知，FOG ∠为二面角F －BE －C 的平面角 7分 ∴2FG A D '==λλ
在Rt OGF ∆中，由分
分 方法2：BE ⊥Q 平面A DC '，设BE 交DC 于O 点，连OF ， 则FOC ∠为二面角F －BE －C 的平面角 7分
由:1:2DO OC =得分 在直角三角形A DC '中30,4A CD A C ︒''∠==，45FOC ︒∠=Q ∴105OFC ︒∠=
分 方法3：（向量法酌情给分）
以D 为坐标原点DB ，DE ，D A '分别为OX ，OY ，OZ 轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D （0，0，0），A '（0，0，2），B （2，0，0），
C （2
0），E （0
0）．
（1
∵440,BE DC ⋅=-+=u u u r u u u r
∴,BE DC ⊥
∵0,BE DA '⋅=u u u r u u u r
∴BE DA '⊥
又DC DA D '=I ，∴BE ⊥平面A DC ' 又BE ⊂平面FBE
所以平面FBE ⊥平面A DC ' 6分
（2
设平面BEF 的法向量为
分
又Q 平面BEC 的法向量为(0,0,1)n '=u r
得23620λλ-+=
，又∵01<<λ 分 考点：1、空间两平面的垂直关系；2、二面角．
19．（1）0.0125x =．（2）1200名新生中有144名学生可以申请住宿．
（3）X 的分布列为：
X 的数学期望为1．
【解析】
试题分析：（1）直方图各小矩形的面积之和为1，据此即可得 0.0125x =．（2）新生上学所需时间不少于1小时即60分钟到100分钟，其频率为：0.0032200.12⨯⨯=，这个时间段的人数为12000.12144⨯=，所以有144名学
生可以申请住宿．（3）显然这是一个二项分布．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为由二项分布概率公式可得其分布列及期望． 试题解析：（1）由直方图可得：
200.025200.0065200.0032201
⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．
x
x=． 3分
所以0.0125
（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.0032200.12
⨯⨯=，
⨯=，
因为12000.12144
所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 9分（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
10分所以X的分布列为：
所以X的数学期望为1． 12分考点：1、频率分布直方图；2、二项分布．
20．（1）f（x（2）a＝2，b
【解析】
试题分析：（1）根据数量积的坐标运算得：f（x）＝－2sin2x＝2sin（2x1，由2kπ－
（2）由f（C）＝2sin（2C1＝1，sin（2C1，从而得C
a2＋b2＝7，联立ab a＝2，b
试题解析：（1）f（x）＝－2sin2x
＝－1＋cos 2x
＋cos 2x－1＝2sin（2x 1 3分
由k∈Z，
得k∈Z，
∴f（x 6分
（2）∵f（C）＝2sin（2C1＝1，
∴sin（2C1，
∵C是三角形的内角，∴2C C分
∴cos C a2＋b2＝7．
将ab a27，解得a2＝3或4．
∴a2，∴b＝2
∵a>b，∴a＝2，b分．
考点：1、三角函数；2、三角恒等变换；3、解三角形．。