弧度制 公开课课件
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《弧度制》示范公开课教学课件【高中数学人教】
圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长 与半径的关系度量圆心角的是合理的；
（2）利用角度制与弧度制的换算公式完成换算，也可以利用计算器完成换算 的近似值．在度量角的时候需要注意：防止出现角的两种度量制混用的现象；
归纳小结
归纳总结
答案：（3）在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是l=αR，S= 1αR2，
S=
1
2
lR．用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是
2
引入弧度制带来的一个便利．原因是：角度制下角的度量制是六十进制，与长度、
π
面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子” ．而弧度制下角度
180
与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了．
归纳小结
图2
半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值
随α的确定而唯一确定．因此可以利用圆的弧长和半径的比
值度量圆心角．
新知探究
2．引入弧度制
追问3 结合上面的探索过程，阅读教科书172页，请你试着说一说什么是1 弧度的角？
答案：我们规定： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表 示，读作弧度．
180
π
新知探究
3．角度制与弧度制的换算
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值．
解：（1）因为67°30′=
135 ，所以67°30′= 2
135 2
π rad 180
3 8
πrad
．
（2）利用计算器有
因此，67°30′≈1.178 rad．
（2）利用角度制与弧度制的换算公式完成换算，也可以利用计算器完成换算 的近似值．在度量角的时候需要注意：防止出现角的两种度量制混用的现象；
归纳小结
归纳总结
答案：（3）在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是l=αR，S= 1αR2，
S=
1
2
lR．用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是
2
引入弧度制带来的一个便利．原因是：角度制下角的度量制是六十进制，与长度、
π
面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子” ．而弧度制下角度
180
与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了．
归纳小结
图2
半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值
随α的确定而唯一确定．因此可以利用圆的弧长和半径的比
值度量圆心角．
新知探究
2．引入弧度制
追问3 结合上面的探索过程，阅读教科书172页，请你试着说一说什么是1 弧度的角？
答案：我们规定： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表 示，读作弧度．
180
π
新知探究
3．角度制与弧度制的换算
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值．
解：（1）因为67°30′=
135 ，所以67°30′= 2
135 2
π rad 180
3 8
πrad
．
（2）利用计算器有
因此，67°30′≈1.178 rad．
弧度制 公开课一等奖课件
解： 5π (1)因为－1 500° ＝－1 800° ＋300° ＝－10π＋ 3 ， 所以－1 500° 5π ＝2×(－5)π＋ 3 ； (2)因为 β 与角 α 的终边相同， 5π 所以 β＝2kπ＋ 3 (k∈Z)． 而 β∈[－4π，0]， 5π 7π 5π π 所以 β＝－4π＋ 3 ＝－ 3 或 β＝－2π＋ 3 ＝－3.
2．用弧度制表示第三象限的角为____________．
3π 【解析】α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ 2 ，k∈Z
知识点 3 扇形的弧长与面积 【例 3】 已知扇形的周长为 30 cm， 当它的半径和圆心角各取 什么值时， 才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？并求面积最 大时，扇形圆心角的弧度数． 思路点拨： 利用扇形的周长公式和面积公式表示出扇形面积与 圆心角的关系，再利用函数性质求最值．
自学导引 1．把长度等于________ 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
180° 2．弧度制与角度制的换算关系是：π 弧度＝________. l＝αR 3．在弧度制下，弧长公式是：______________ ；扇形的面积 1 S＝ lR 公式是：____________. 2
自主探究 单位圆上两个动点 M，N 同时从 P(1,0)点出发，沿着单位圆做 π 圆周运动，M 点按逆时针方向以 弧度/秒的角速度旋转，N 点按顺 6 π 时针方向以 弧度/秒的角速度旋转． 你能求它们出发后第三次相遇 3 的时间吗？
) C．- 3 π
2
D．- 4 π
3
【答案】C
8π 3. 的度数为________． 5
【答案】288°
π 4．与 终边在同一条直线上的角的集合可表示为 3 ______________．
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
1.2弧度制(公开课课件)
骣 π θ Î ç ，π÷ ÷ ç ÷ ç2 桫
θ=π θ = 2π
思考：终边落在第二象限的角的范围？
记一记
角 度 弧 度
0
30 45 60 90 120 135 150 270360 180
0
π π 6 4
π π 3 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
3 2π 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度” 二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角 。 所对应的弧度数.但如果以度（ ）为 单位表 。 示角时，度（ ）不能省略.
弧度制 度量单位 弧度
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的角
角度制 角度
单位规定 等于半径的长的
1 周角的 为1度的角 360
π =180° 换算关系 1rad= 180 57.30 57°18′，
π rad=0.01745 rad 1°= 180
2、计算
的长 AB
r
2 r
OB旋转的方向 逆时针方向 逆时针方向
ÐAOB
的弧度数
ÐAOB
的度数
y B α O A x
2
180 ° 360
°
r
r
0 r
2 r
2r
逆时针方向
顺时针方向 顺时针方向 未旋转
1 －2
-p
57.3 114.6° ° 180
°
逆时针方向 逆时针方向
2
0
0
°
180°
l | a |= r
3
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）。 用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。 周角的弧度数是2π，而在角度制下 的度数是360。
人教版-弧度制-课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
l n r
180
l
3、扇形旳面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们要求，长度等于半径旳弧所
正确圆心角叫做1弧度旳角；用符号rad表
达，读作弧度。 用弧度来度量角旳 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
r
A
O
l 2r
CC
2radA
r
A
Oo
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解
3
3
rad = ×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边旳角旳集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表达旳角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
1、弧度制旳定义； 2、弧度制与角度制旳转换与区别；
2、例题： （1）把6730化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度数
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2 3 5
43 2 346
3 2
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
探究二
弧AB旳长 OB旳旋转 方向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
弧度制PPT优秀课件16(共9份)
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
弧度制(经典公开课课件)
题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用 一题多变 已知一个扇形的周长为 a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并
求这个最大值．
[自主解答] 设扇形的弧长为 l，半径为 r，圆心角为 α，面积为 S. 由已知，2r＋l＝a，即 l＝a－2r. ∴S＝12l·r＝12(a－2r)·r＝－r2＋a2r＝－r－a42＋1a62 . ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<a2，∴当 r＝a4时，Smax＝1a62. 此时，l＝a－2·a4＝a2，∴α＝rl＝2. 故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为1a62.
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 角度制与弧度制
在初中学过的角度制中，把圆周角等分成 360 份，其中的一份是多少度？
[提示] 1 度．
长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该 角？
[提示] 若长度等于半径长的弧所对的圆心角为1π80°，用弧度制度量该角为 1 弧 度．
[母题变式] (变结论)在例 3 中，若扇形的面积为定值 S，则扇形的周长是否有最小值，若有， 求出这个最小值，若没有，说明理由．
解析 设扇形的周长为 C，半径为 r， 因为 S＝12lr，所以 l＝2rS， 则 C＝2r＋l＝2r＋2rS≥2 2r×2rS＝4 S， 当且仅当 r＝ S时等号成立， 所以扇形的周长存在最小值 4 S.
弧度 __0__
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π从扇形的形状来看，扇形的弧长和面积与哪个量有关系？
《弧度制》【公开课教学PPT课件】
解析：|α|＝rl＝42＝2.
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
1.1.2 弧度制 课件 (25张)(优秀经典公开课比赛课件
公式分别是 l n R , S n R2
180
360
n°转换为弧度 n
180
S 1R2
2
S 1 lR 2
归纳升华
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小，而
1
是圆的
终边x轴上： k (k Z ) 终边y轴上： k (k Z )
2
课堂小结
（1） 180 弧度； (2）“角化弧”时, 将n乘以180 ；
“弧化角”时，将α乘以180 ；
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1 lr 1 r2
22
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
作业
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
1 360
所对的圆心角
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
当堂检测
（1）与角－1825º的终边相同，且绝对值最 小的角的度数是＿－2＿5º ＿，合＿＿356＿ 弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
例1 按照下列要求,把67°30′化成弧度: (2)精确到0.001的近似值.
(2)利用计算器
MODE
2 MODE
67 °′″ 30 °′″
SHIFT
DRG 1
= 1.178097245
因此,67°30′≈1.178 rad
例2 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精 确到0.001)
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
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1.统一单位，便于计算 2.简化弧长计算 3.十进制符合计算习惯，避免多种 进制不和谐
问题4： 在角度制下，扇形的弧长公式是 什么？
l nr
180
探究1：分组讨论，合作探究
角度为30°和60°的圆心角，当半径 r=1,2,3,4时， (1)分别计算对应的弧长 (2)计算弧长与半径的比 (3)计算后你们能发现什么规律？
下课！ 谢谢聆听！
▪ 圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
▪ 比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
▪ 定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
例1：特殊角的弧度数
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧
度0 6
43
2
23
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 3 5
度4 6 π
3
2π 2
探究2：
弧度制与角度制都是角的度量单位， 那么它们之间是如何换算的？
1°=？rad
2
例3：扇形OAB中，弧AB所对的圆心角 是60°，半径是R，求弧AB的长.
例4：（1）已知扇形的周长为 8cm，圆心角为2rad，求该扇形 的面积
（2）已知扇形周长为4cm，求扇 形面积的最大值，并求此时圆心 角的弧度数
回顾总结： 1.弧度制的定义 2.弧度制与角度制的转换 3.弧度制下的弧长扇形面积公式 4.弧度数与角度制的区别。
B''
Or
即时问答：下列四个图中的圆心 角的弧度数分别是多少？
问题：
▪ （1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
▪ （2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度；
问题1：在初中，我们是怎么定 义1°的角呢？
▪ 周角的1/360叫做1度的角，记作1°；
▪ 1°=60′，1′=60″
问题2： 角度的衡量单位只有一种吗？
我把圆 周分成 6400份
我们法国 人把直角 分成100
份
365 1 4
我们老祖宗把
圆周分成 365.25份，好
任性
问题3： 我们为什么要学习弧度制？
1rad=?度
例题2：
(1) π/12 (2) 2
(3)-3.5
(4)-1440° (5)67°30′ (6)252°
答案：
动手试试：
利用所学知识和弧度制的定义 证明下列关于扇形的公式：
l为扇形弧长，为扇形的圆
心角，r为半径，S为扇形面积
（1）l • r
（2）S 1 • r 2
2 （3）S 1 l • r
问题4： 在角度制下，扇形的弧长公式是 什么？
l nr
180
探究1：分组讨论，合作探究
角度为30°和60°的圆心角，当半径 r=1,2,3,4时， (1)分别计算对应的弧长 (2)计算弧长与半径的比 (3)计算后你们能发现什么规律？
下课！ 谢谢聆听！
▪ 圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
▪ 比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
▪ 定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
例1：特殊角的弧度数
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧
度0 6
43
2
23
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 3 5
度4 6 π
3
2π 2
探究2：
弧度制与角度制都是角的度量单位， 那么它们之间是如何换算的？
1°=？rad
2
例3：扇形OAB中，弧AB所对的圆心角 是60°，半径是R，求弧AB的长.
例4：（1）已知扇形的周长为 8cm，圆心角为2rad，求该扇形 的面积
（2）已知扇形周长为4cm，求扇 形面积的最大值，并求此时圆心 角的弧度数
回顾总结： 1.弧度制的定义 2.弧度制与角度制的转换 3.弧度制下的弧长扇形面积公式 4.弧度数与角度制的区别。
B''
Or
即时问答：下列四个图中的圆心 角的弧度数分别是多少？
问题：
▪ （1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
▪ （2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度；
问题1：在初中，我们是怎么定 义1°的角呢？
▪ 周角的1/360叫做1度的角，记作1°；
▪ 1°=60′，1′=60″
问题2： 角度的衡量单位只有一种吗？
我把圆 周分成 6400份
我们法国 人把直角 分成100
份
365 1 4
我们老祖宗把
圆周分成 365.25份，好
任性
问题3： 我们为什么要学习弧度制？
1rad=?度
例题2：
(1) π/12 (2) 2
(3)-3.5
(4)-1440° (5)67°30′ (6)252°
答案：
动手试试：
利用所学知识和弧度制的定义 证明下列关于扇形的公式：
l为扇形弧长，为扇形的圆
心角，r为半径，S为扇形面积
（1）l • r
（2）S 1 • r 2
2 （3）S 1 l • r