高中数学例题：分段函数

高中数学例题：分段函数

例1. 设函数3,100,

()[(5)],100,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩求(89)f .

【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换.

【答案】：98

【解析】

(89)((94))(((99)))f f f f f f ==

=((((104))))f f f f =(((101)))f f f

=((98))(((103)))f f f f f ==((100))f f

=(97)((102))(99)f f f f ==

=((104))(101)98f f f ==.

【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决.

例2．如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分

别为02,,45AD a BC a BAD ==

∠=，作直线MN AD ⊥交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设,AM x =试将梯形

ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数.

【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式()y f x =，这样就需准确揭示,x y 之间的变化关系.依题意，可知随着直线MN 的移动，点N 分别落在梯形ABCD 的边AB 、BC 及CD 边上，有三种情况，所以需要分类解答.

【答案】22221(0)2213()28221532(2)242a x x a a y ax x a x ax a a x a ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩

【解析】

作BH AD ⊥，H 为垂足，CG AD ⊥

，G 为垂足，依题意，则有

03,,4522a AH AG a A D ==∠=∠= （1）当M 位于点H 的左侧时，N AB ∈，

由于0,45,AM x A MN x =∠=∴=

21(0)22

AMN a y S x x ∆∴==≤≤ （2）当M 位于点H 、G 之间时，由于,,,22a a AM x AH BN x ===-

2113()()2222822

AMNB a a a a y S x x ax x a ⎡⎤∴==⋅+-=-<≤⎢⎥⎣⎦直角梯形 （3）当M 位于点G 的右侧时，

由于,2,AM x DM MN a x ===-

211(2)(2)222

ABCD a y S S a a a x ∆∴=-=⋅+--MDN 梯形 =22231(44)42

a a ax x --+ =221532(2)242

x ax a a x a -+-<≤ 综上有22221(0)2213()28221532(2)242a x x a a y ax x a x ax a a x a ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩

【总结升华】（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可

.

（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.

举一反三：

【变式1】如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着边线BCDA

由B （起点）向A （终点）运动.设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y .

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）画出()y f x =的图象.

【解析】（1）2,04,8,48,224,812.x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩

（2）当P 点在BC 边上运动时，即当04x ≤≤时，

142;2

y x x =⨯= 当P 点在CD 边上运动时，即当48x <≤时，1448;2y =⨯⨯= 当P 点在DA 边上运动时，即当812x <≤时，14(12)2(12)2242y x x x =⨯⨯-=-=-+，故为分段函数.