第1讲 容斥原理
高中数学竞赛第一讲集合与容斥原理
第一讲集合与容斥原理李宁本讲主要内容有：集合的有关概念、运算和容斥原理。
学习这一讲，要注意深刻理解集合的概念，掌握集合的思想方法和容斥原理，善于运用集合的语言和方法表示数量关系，并会用集合分拆、容斥原理等方面的知识和方法解决有关的数学问题1集合1.1集合与集合的关系若A中元素都是B中元素，则称A为B的子集，记作A⊆B，若A⊆B，且B 中至少有一元素b/∈A，则称A为B的真子集，记作A B若A⊆B，且B⊆A，则A=B集合与集合的关系，有如下性质：1.ϕ⊆A，特别地，若A=ϕ，则ϕ A2.A⊆B,B⊆C，则A⊆C3.A∪B=B⇔A⊆B;A∩B=A⇔A⊆B4.若A中元素有n个，则A的子集共有2n个，真子集有2n−1个1.2集合的运算A∩B={x|x∈A且x∈B}A∪B={x|x∈A或x∈B}C S A={x|x∈S且x/∈A}关于集合运算有以下常用结论：1.等幂律：A∩A=A,A∪A=A2.同一律：A∩U=A,A∪U=U,A∩ϕ=ϕ,A∪ϕ=A3.交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A4.结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5.分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A BA BC图1-1:文氏图2容斥原理若记有限集合A中的元素个数为|A|，则由图(1-1)可知：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|(1)一般地，对于n个有限集合S1,S2,···,S n，则有|S1∪S2∪···∪S n|=∑1 i n |S i|−∑1 i j n|S i∩S j|+∑1 i j k n|S i∩S j∩S k|−···+(−1)k−1∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|+···+(−1)n−1|S1∩S2∩···∩S n|(2)其中符号∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|表示S1,···,S n中任取k个集合的交的元素个数的总和。
容斥原理
第一讲容斥原理两者之间的容斥原理：（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么A、B两类个数总和=A类个数+B类个数－A、B共有的个数（2）重要武器——韦恩图三者之间的容斥原理：（1）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么A、B、C 三类个数总和=A类个数+B类个数+C类个数－A、B共有的个数－A、C共有的个数－B、C共有的个数+A、B、C共有的个数。
（2）三者韦恩图1、张明一家有三口人，李华一家有五口人，为什么两家一共只有五口人？2、两队母女做十字绣，一人绣了一件，最后却只有三件，为什么？【例1】五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？【例2】五年级二班40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么只参加了一个小组的学生有多少人？【例3】明天小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加。
有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了。
请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【例4】三位基金经理投资若干只股票。
张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过23只。
张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只。
请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？【例5】培英学校有学生1000人，其中500人订阅了《中国少年报》，350人订阅了《少年文艺》，250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人。
请问：这个学校有多少人没有订报？。
集合与容斥原理
第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。
它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。
可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。
集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。
1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a∉A仅有一种情况成立。
（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。
常用数集如：R,,应熟记。
N,ZQ3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。
对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。
4．子集、真子集及相等集（1）A⊆⇔B A⊂B或A＝B；（2）A⊂B⇔A⊆B且A≠B；（3）A＝B⇔A⊆B且A⊇B。
集合与容斥原理
x1x2=(a2+b2) (c2+d2)= (ac+bd)2 +(ad-bc)2,
显然x1x2 ∈A.
第一讲 集合与容斥原理
例2、已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R}, B={y|y=-x2-2x+2,x ∈ R}, 求A∩B. 分析：画出两抛物线的图象，观察可知， 两条抛物线没有交点，这是否意谓 A∩B = ? 解;A={y|y≥－1}，B={y|y≤3}, 它们的元素都是“实数”， 从而有A∩B={y|－1≤y≤3}
第一讲 集合与容斥原理
三、有限集元素的个数(容斥原理)
请看以下问题： 开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游 泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加 游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的 有3人，没有人同实参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类 比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题。 我们用|A|或 card(A)表示集合A中元素的个数，（例如若A={1，2 3}，则|A|=3）可以证明： 1、|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 2、∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣|C∩A|+|A∩B∩C∣
第一讲 集合与容斥原理
例5、 学校教导处对100名同学进行调查，结果有 58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人 喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢 看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看 电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人， 三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电 影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但 不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
第一讲容斥原理
第一讲容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
第一讲 集合与对应
一、知识与方法
1.容斥原理；用 表示集合A的元素个数，则
，此结论可以推广到 个集合的情况，即
2.集合的划分：若 ，且 ，则这些子集的全集叫I的一个 -划分。
3.最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
4.抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于 个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
二、典型例题
【从属关系】
1．以某些整数为元素的集合 具有下列性质：① 中的元素有正数，有负数；② 中的元素有奇数,有偶数；③－1 ；④若 ， ∈ ,则 ＋ ∈ 。则0和2与集合 的关系分别是__________.
解：由④若 ， ∈ ,则 ＋ ∈ 可知，若 ∈ ，则
（1）由①可设 ， ∈ ，且 ＞0， ＜0，则－ ＝| | (| |∈ )
（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立，
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
由（1）（2）可知， ．
9．设 是一个有限集合，法则 使得X的每一个偶子集E（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 ，且满足条件：（1）存在一个偶子集D，使得 ；（2）对于X的任意两个不相交的偶子集A,B，有
故 ,－ ∈ ,由④,0＝(－ )+ ∈ 。
（2）2 。若2∈ ，则 中的负数全为偶数，不然的话，当－（ ）∈ （ ）时，－1＝（－ ）＋ ∈ ，与③矛盾。于是，由②知 中必有正奇数。设 ，我们取适当正整数 ，使
，则负奇数 。前后矛盾。
2.集合 ，则这两个集合的关系是.
公务员考试数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计Байду номын сангаас的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）
-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
2013国考行测暑期向前冲第六周系列3数学运算：容斥原理
和抽屉原理重难点讲解
容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算。中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示。 公式：A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【示例一】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
容斥原理
第1讲容斥原理“容”就是“相容”和“包含”的意思，“斥”就是“相斥”和“排除”的意思。
容斥原理3也叫包含与排除原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理一(把重复的去掉)设：具有性质A的物体有a个，具有性质B的物体有b个，兼有性质A或B的物体有S 个，具有性质A和B的物体有c个。
那么，S=a+b-c个容斥原理二(把遗漏的补上)设：具有性质A的物体有a个，具有性质B的物体有b个，具有性质C的物体有c个。
兼有性质A、B的物体有d个，兼有性质A、C的物体有e个，兼有性质B、C的物体有f 个, 同时具有性质A、B、C的物体有g个。
那么，兼有性质A、B、C的物体有S=a+b+c-(d+e+f)+g个。
例题讲解：1．一个班有学生45人，参加数学兴趣小组有30人，参加音乐兴趣小组的有2 2人，并且每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人？2.有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？3.某班共有48人，参加书法小组的有30人，参加生物小组的有26人，两个小组都参加的有13，这个班还有多少人没有参加兴趣小组？4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？5.专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？练习题：1.电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
2018年春季五年级第1讲 容斥原理
5．每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖 了一个正方形的洞，成为一个边宽1厘米的方 框，把3个这样的方框放在桌上，成为下图所 示的图案．这些方框纸盖住桌子的面积是多少 平方厘米？
谢谢大家
②只写完语文作业的有多少人？
4.五年级二班学生参加课外兴趣小组，每人至 少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组， 35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小 组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9 人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的 有4人．求这个班的学生人数.
4. 在1～240这240个自然数中，不能被2、 3、5中任何一个数整除的数有多少个？
5.有300盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控 制，按顺序编号为l、2、…、300．将编号为2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的 倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的 倍数的灯的拉线各拉一下．拉完后亮着的灯数 为多少盏．
3.如图，正方形ABCD的面积为196平方厘米， 它包含了两个有部分重叠的小正方形．其中， 较大的那个小正方形的边长是较小的那个小正 方形边长的2倍，而且两个正方形的重叠部分 面积为1平方厘米．那么，阴影部分面积为 平方厘米．
4.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌 上，见下图.三个纸片共同重叠的面积是8平方 厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘 米.问：图中阴影部分的面积之和是多少？
*开心课间
下图是由9个圆形摆成的一个“大”字，请你 移动2个圆形把它变成“人”字.
组二
*图形中的重叠问题
1.如图，两个正方形的边长分别为10厘米和7 厘米，甲、乙两块空白区域的面积之和为87平 方厘米，那么阴影部分的面积是（ ）平 方厘米．
容斥问题讲解方法
容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。
当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。
容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。
二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。
三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。
三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。
通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。
四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。
画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。
文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。
应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。
如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。
简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。
可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。
检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。
五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。
避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。
特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。
分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。
不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。
竞赛讲座(容斥原理)
竞赛讲座(容斥原理)一、 知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。
它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A容斥原理可以用一个直观的图形来解释。
如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
二、 例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。
解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816.所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633.例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
容斥原理上(2012年11月17日)
本讲主线
1.
22.
1.容斥原理：先不考虑重叠的情况，计算出总结果，
然后再把重复的数这种计数的方法称为容
然后再把重复的数目减去，这种计数的方法称为容
斥原理。
22.文氏图：用封闭曲线的内部表示集合及其关系的图
形。
（也称“韦恩图”）
猫和老鼠
喜洋洋和灰太狼
3倍2倍
容斥公式1：大饼＝A＋B－AB
容斥公式2：大饼＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
A
B
C
卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进
含有生素进
行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维
含维生素E的有68种同时含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种同时含维生素C和E的有50种同时含这三种
(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？
(2)仅含维生素A的食物有多少种？
容斥原理：不考虑重叠，先计算结果，之后减去重叠部分的计数方式。
小学数学高频考点讲义40专题四十：容斥原理(一)
专题四十：容斥原理（一）【例1】五（1）班学生参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一项比赛，报名结果；参加跳绳比赛的有24人，参加踢毽子比赛的有20人，两项都参加的有4人，五（1）班有多少人？分析与解答：A表示跳绳比赛的人数，B表示参加踢毽子比赛的人数，A B表示两项都参加的人数从图中看出，A B被计算了两次，因此24＋20－4＝40（人）是全班人数。
容斥原理：当两个集合A、B合并在一起，形成一个新的集合C，集合C的元素的个数等于A、B两个集合的元素个数的和减去A、B两个集合的公共元素的个数：C＝A＋B－A B。
【例2】五（1）班有40人参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一项比赛，其中参加跳绳比赛的有24人，参加踢毽子比赛的有20人，两项都参加的有多少人？分析与解答：根据容斥原理C A＋B－A B可知，A B＝A＋B－C。
24＋20－40＝4（人）答：两项都参加的有4人。
【例3】有48个同学至少参加游泳和跑步中的一项比赛，分项计算：参加游泳比赛的有32人，参加跑步比赛的有28人，两项都参加有几人？只参加游泳有几人？只参加跑步有几人？分析与解答：根据容斥原理C＝A＋B－A B可求出两项都参加的人数。
再把参加游泳的人数减去两项都参加的人数可求出只参加游泳的人数，同理可求出只参加跑步的人数。
两项都参加的：32＋28－48＝12（人）只参加游泳的：32－12＝20（人）只参加跑步的：28－12＝16（人）答：两项都参加的有12人，只参加游泳的有20人，只参加跑步的有16人。
【例4】在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的有10人，那么两种棋都会下的有多少人？分析与解答：从87人中减去10人，可先求得会下象棋的人数，再根据容斥原理C＝A＋B－A B推得A B＝A＋A－C就可求得两种象棋都会下的人数。
87－10＝77（人）68＋50－77＝41（人）答：两种棋都会下的有41人。
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答案
83
解析
42-15+56=83
总体的容斥原理
总体的容斥原理
总体容斥原理方框内、圆 文氏图 圈外代表不属于A、B圆圈 文氏图的的含. 义
A
B
例题2
某学校的运动会中五年级一共选出42人参加跳远和跳高比赛，其中有12 人在跳高比赛中获奖，20人在跳远比赛中获奖，8人在两项比赛中都获奖 ，那么没有获奖的同学有多少人？
答案
喜欢荷花的（10）人
喜欢水仙的（ 12）人
只喜欢荷花
只喜欢水仙
荷花水仙都喜欢的
已知文氏图中，左边的圆表示喜欢吃牛肉的人,右边的圆表 示喜欢吃羊肉的人，已知小明既喜欢吃牛肉又喜欢吃羊肉， 那么他应该站在途中的那个部分
牛肉
羊肉
1
2
3
4
已知文氏图中，左边的圆表示会下围棋的人,右边的圆表示会下象棋的 人，已知小明会下象棋，但不会下围棋，那么他应该站在图中的哪个部 分？
答案
66
解析
100以内2的倍数有49个，3的倍数有33个，6的倍数有16个，根据容斥原理
可知，是2的倍数或是3的倍数的数共有66个。
练习4
在200以内的所有非零自然数中，是3的倍数或者5的倍数的数有多少个？
答案
92个
解析
在200以内的非零自然数中，3的倍数有66个，5的倍数有39个，15的倍数有
13个，根据容斥原理可知，是3的倍数或者5的倍数的数有92个。
围棋
象棋
1
2
3
4
在文氏图中，左边的圆表示喜欢喝可乐的人，右边的圆表示喝雪碧的人， 那么圆中 1 的人是：
可乐
雪碧
1
2
3
4
A.喝雪碧的人
B.喜欢喝可乐的人
C.两种饮料都喜欢喝的人 D.只喜欢喝可乐的人
在文氏图中，左边的圆表示会滑冰的人，右边的圆表示会跳伞的人，那 么圆中 4 部分的人是：
滑冰
跳伞
1
文氏图的含义
A
B
例题1
（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种， 喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多 少人? （2）暑假里，小优和小邦一起讨论金陵十八景。他们发现十八景中的每 一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。如果小优去过其中的十 二景，那么小邦去过其中的几景？ （3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动 画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。已知每个小朋友至少 都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？
答案
10人
解析
（60-10）÷5=10
练习3
某校参加数学竞赛和语文竞赛的同学总共有90名，只参加数学竞赛的人 数是两项都参加的人数的5倍，其中12名同学两科竞赛都参加了，请问只 参加语文竞赛的同学有多少人？
答案
18
解析
90-（5+1）×12=18
例题4
在100以内的所有非零自然数中，是2的倍数或者是3的倍数的数共有多少 个？
答案
（1）6人：（2）11景；（3）17人
（1）（20+36）-50=6； （2）18-（12-5）=11；
解析
（3）（12-8）+（21-8）=1
练习1
五年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀。 其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的 有15人，请问五年级
A.两种运动都会的人 C.只会滑冰的人
B.两种运动都不会的人 D.只跳伞的人
文氏图 文氏图 文氏图的含义
文氏图的含义
两个人对象的容斥原理
儿童节上老师给同学发水果吃，每人至少喜欢一 种水果，喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃橘子的有 30人，既喜欢吃苹果又喜欢橘子的有5人，那么班 级一共有多少人？
24=12幅。
文氏图
五年级（3）班班长统计每人喜欢吃的一种水果。
喜欢吃西瓜的有20人，喜欢吃苹果的有15人。
（把文氏图补充完整）
喜欢吃西瓜
喜欢吃苹果
答案
五年级（2）班班长统计每人喜欢的植物，每
人都至少喜欢一种植物。其中喜欢荷花的有10
人，喜欢水仙的有12人，有2名同学两种植物
都喜欢。
喜欢荷花的（ ）人
喜欢水仙的（ ）人
答案
18
解析
42-（12-8+20）=18
练习2
王老师调查了一下班里同学们喜欢的体育项目，其中有24人喜欢足球， 有26人喜欢篮球，有18人两种球都喜欢，已知班里一共有40人，那么班 里有多少人两种球都不喜欢？
答案
8
解析
40-（24-18+26）=8
例题3
渔乡小学举行长跑和游泳比赛，总共有60名同学参加。只参加长跑比赛 的人数是只参加游泳比赛人数的4倍，有10名同学两项比赛都参加了。请 问：只参加游泳比赛而没参加长跑的同学有多少人？
某学校举办绘画作品展，其中有36幅作品不是五年级的，有40 幅作品不 是六年级的，五年级和六年级一共有52幅作品，那么其他中低年级一共 有多少幅作品？
答案
12幅
解析
由容斥原理可知，5年级比6年级多4幅作品，又因为5、6年级一共有52幅
作品，所以5年级有28幅作品，6年级有24幅作品，所以其他年级有36-
苹果
橘子
根据下面的文氏图回答问题： （1）所有喜欢吃西瓜的有几人？ （2）只喜欢吃西瓜的人有几人？ （3）喜欢苹果都爱吃的人分别被统计了几次？
喜欢吃西瓜的20人 喜欢吃苹果的15人
西瓜苹果都爱吃
根据下面的文氏图回答问题： 班级总共有多少人？
喜欢吃西瓜的20人 喜欢吃苹果的15人
西瓜苹果都爱吃
两量重叠问题 A、B总数=A+B-A、B重 文氏图 叠