竞赛组合计数综合题目

a b 的 字 符 串 ， 若 满 足 条 件 ： 字 中 前
i( a b i 1 个字母中字母 ) y 的个数不少于字母
x 的个数，这种字符串的数目为
(a, b)
b a 1 a b 。 b 1 a
下面再来一个例子。 例 14.证明：满足条件 a1 0,| ai ai 1 | 1 的非负整数列 {a0 , a1 , a2 ,..., ak 1} 的个数为

抽屉原理与 Ramsey 定理 例 20.如果有 n 位代表参加一个会议，每一位代表至少认识另外一位代表。则 n 位代表中至
少有两位认识的人数相等。 例 21.任取 11 个整数，证明其中存在两个整数，它们的差可以被 10 整除。 例 22.将 n 个球放入 m(m 3) 个盒子内，其中 n 的球数相等。 例 23.一个旅馆有 90 间房间， 100 个常客。因为事先不知道哪 90 位客人来住，若不住的人 也带走钥匙，问：至少要准备多少把钥匙，才可以使来往的客人到来后都可以打开一个门？
n x n xn i(n) k n k , 且 1 i(n) e xe 。 n! n 1 k 1 k
例 9.序列 {x1 , x2 ,..., x2 n 2 } 中每个 xi {1, 1}, ， 且满足 x1 x2 ... xk 0(1 k 2n 2) 和 x1 x2 ... x2 n 2 0 。计算此种序列的个数（Whitworth,1879 年） 。
k ck k , 2
其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数。 例 15。设 X , Y 为集合，函数 f : X a Y , 其中 | X | n,| Y | m, Z Y , Z 是给定的 Y 的 r 元 子集合（ r m ） 。计算使得 Z f ( X ) 的函数 f 的数目。 例 16.计算从 1 到 10000 中既非完全平方，又非完全立方的数的个数。 例 17.有 r 件不同的东西分给 n 个女孩子和 p 个男孩子，要求女孩子每个人至少得到一件东 西的分法数。 例 18.有 n 个不同的字母，每一个字母用两次，将此 2n 个字母排列起来，使得相邻的两个不 是相同的字母的排列数是多少？ 例 19.设 X 是一个 n 元集合， A 是 X 的子集，如果 | A | 是偶数（奇数） ，则称 A 是 X 的一 个偶（奇）子集。 （空集也是偶子集） 。用 En 和 On 分别表示 X 全体偶子集和 X 的全体奇子 集的全体。证明： （ 1）
清北学堂 2013 寒假培训 组合计数（综合题目）
例 1. 设 m, n 是正整数，且 n 2, 求满足不等式组
x1 m; x1 x2 m 1; ..... x1 x2 ... xn 1 m n 2
的非负整数序列 {x1 , x2 ,..., xn 1} 的个数 f (n, m) 。 例 2. 用 1 2 矩形去覆盖 3 n(n 1, 2,...) 矩形的方法数为 a n 。证明：
L ( a, b)
b a a b 1 。 b a

例 11.网格图中从点 O(0, 0) 到点 M ( n, n)( n N ) 的满足 y x(n x 0) 最短路径数目为
1 2n 2 Tn n n 1
例 12.网格图中从点 O(0, 0) 到点 M (a, b)(b a) 的满足条件 y x 的最短路径数目为
(a, b)
b a 1 a b b 1 a
例 13．网格图上从点 O(0, 0) 到点 M (n, n) 的满足 条件 y x 的最短路径数目为 Catalan 数：
Tn1
1 2n 。 n 1 n
点评： 下面这个结果将网格图上的计数问题发挥到 了极致！它有很多重要应用。 例 14. 由 a 个字母 x 和 b 个字母 y 组成的长度为
En En 1 On 1 | On 1 |; On On 1 En 1 | En 1 |;
这里 En 和 On 分别表示 En 和 On 中所有子集合的元素的总数； （ 2）
n n r r 。 r 0(mod 2) r r 1(mod 2) r
an 1 2 3
3 1 2
0, 3

m
3 1 2 3

,
m
n 2m 1, n 2m.
例 3. 一个凸 n(n 6) 边形的对角线构成的三角形（ k 边形）有多少个？ 例 4（Tainiter 定理，1968 年）. 设 X 是 n 元集合， A X ,| A | m n. 分别求出将 A 写 成 k 个 X 的子集合的并和交的方法数目（其中 A1 A2 和 A2 A1 算作两种表示法） 。 例 5. 设 X 是 n 元集合， A, B X ，计算 在内。 例 6.设 X 是 n 元集合， X i X (i 1, 2,3,..., r ), S { X 1 , X 2 ,..., X r } ，满足
f ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( xi1 , xi2 ,..., xin ),
其中 (i1i2 ...in ) 是 (12...n) 的任何一个排列， 则称 f 为一个对称 Boolean 函数。求对称 Boolean 函数的个数。 例 8. 称函数 f : X a X 是所谓幂等的， 若对于任意 x X f ( f ( x)) f ( x) 。 若 | X | n, 证明幂等函数的个数等于
ai di ,..., a j d j ... （共有 10 个） 。
例 26.某位围棋选手参加围棋比赛，要求在 11 周内每一天至少要安排一场比赛，每一周比 赛不超过 12 次。证明：无论如何安排，必存在相继的若干天中比赛了 21 场。 例 27.由 1 和 2 组成的序列 A {a1 , a2 ,..., a100 } ， 已知从其中任意一个数开始的顺序 10 个和 都不超过 16 ，则存在 k l 使得 ak ak 1 ... al 39. 例 28.若将集合 {1, 2,..., 67} 划分成不交的的 4 部分： S1 , S 2 , S3 , S 4 。则至少存在一个 S i ，其 中的一对元素之差属于 S i 。 例 29.将圆周上编号为 1,2,3 ， 。 。 。 ， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每一个 点上有一个小球。设圆周上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为 S 。计算使得 S 达到 最小值的放安防的概率。 （注意：如果某种方法，经过旋转或镜面反射后可与另外一个方法 重合，则认为是相同的方法） 。 例 30.某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯。已知开关第一次闭合，出现红灯和 出现绿灯的概率都是 1/ 2 。从开关第二次闭起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概 率为 1/ 3 ， 出现绿灯的概率为 2 / 3 ； 若前一次出现绿灯， 则下一次出现红灯的概率为 3/ 5, 出 现绿灯的概率为 2 / 5 。记开关第 n 次闭合后出现红灯的概率为 Pn 。求证：Pn 1/ 2, ( n 2). 例 31（2008 年北大）.排球比单循环赛，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是 北方球队的 9 倍。求证：冠军是一支南方球队（注：每一场比赛获胜得 1 分，失败得 0 分） 。
m(m 1) 。证明：其中必有两个盒子内 2
例 24.大小两个同心圆（见图） 。利用大圆半径把两个同心圆各自分为 200 个扇形。在外盘 中任意选 100 个扇形用红色染之，其余的用蓝色染之，内盘的 200 个扇形任意染红色，或 蓝色。内盘可以转动。证明：内盘可以转动到一个位置，使得内，外盘对应的扇形至少有 100 个是同色的。 例 25. 设 A {a1 , a2 ,..., a20 } 是由 10 个 0 和 10 个 1 组成的序列，
B {b1 , b2 ,..., b20 } 是 由 0 和 1 组 成 的 任 意 一 个 序 列 ， C {b1 , b2 ,..., b20 , b1 , b2 ,..., b20 } 。证明： C 中存在相继的 20
个 元 素 {d1 , d 2 ,..., d 20 } 与 A 至 少 有 10 个 元 素 相 同 ， 即
A, B X
| A B | ，这里 | A B | 和 | B A | 军计算
X i X j (i j ) 。
证明：这样的 r 最大值为 2百度文库
n
n 1
（Kattona,1954）.
例 7.Boolean 函数 f : B a B, 其中 B {0,1} 。若函数 f 在变量置换下不变，即
下面要介绍一组网格图上的几类最短路径计算问题
例 10.计算平面上由整数点决定的格点中从 (0, 0) 到点 ( a, b) 的递增路径个数。 例 11.网格图中从点 O(0, 0) 到 M (a, b),(b a) 的最短路径经过任何一个格点 ( x, y ) 是保持
y x( x 0) （即，路径与直线 y x 不相交）的路径数目为