近世代数课件--2.11 同态与不变子群

N 与 G间的同构映射．因为：
1) f 无歧义
aN bN b a N b a e a b f ( aN ) f (bN )
1 1
这就是说，在 f 之下 G 的象； 2) f 是单映射.上面的过程可逆. 3) f 是满射.给了 G 的一个任意元 a ，在 G 里至少 有一个元 a 满足条件 f ( a ) a ，由定义，
由群 G 的一个子群可以推测整个群 G 的性质．假 如我们有一个不变子群 N ，就同时有两个群可以供 我们利用，一个是 N 本身，另一个是商群 G N ．现 在定理１又告诉我们，G 与 G N 同态，这样帮助推 测 G 的性质． 在一定意义之下，定理１的逆定理也是对的．
11.2 同态映射的核
定义 假定 f 是一个群 G 到另一个群 G 的一个同态 满射． G 的单位元 e 在 之下的所有逆象所作成的 G 的子集叫做同态满射的核, 记为 ker f ,即: 1 ker f f ( e ) { x x G , f ( e ) e}． 记 ker f N ,它有以下性质: (1) ker f N 是不变子群 (2) aN bN f ( a ) f ( b ) (3) x aN f ( x ) f ( a ) (4) f ( aN ) { f ( a )}
f ( aN ) f ( a ) a
， N 的一个元素只有一个唯一
这就是说， 是
G N
到 G 的满射；
4) f 保持运算
f ( aN bN ) f ( abN ) f ( ab ) f ( a ) f ( b ) f ( aN ) f ( bN )
综上所述, G 证完
N G
(由于 H 是子群，ab 1 H ，因此由于 1 下的象， b H ) a 这样，H 是 G 的一个子群．
H
是 H 的在 之
（ⅱ） N 是 N的一个不变子群，由（ⅰ），我们知 道 G 是 G 的一个子群．假定 a 是 G 的任意元， n 是 N 的任意元，而且在 f 之下， 1 1 a n a f ( ana ) N (??) N 是 G 的一个不变子群．证完．
f 假定 G和G 是两个群，并且 G G 同
这里
N ker f
是同态满射的核.
证明: 证明的关键点是构造一个同构映射
f :G N G
(启发: 1.必然联想到 出 f :G N G )
f ( aN ) f ( a ) a
f
2.
f
离同构有多远? 3.写
(a G )
可以证明 f 是一个 G
我们需要证明 an a
1
1
N
,注意
1
f ( ana ) a n a
N
所以
．这样， 1 n a G ， N ana N N 是 G 的一个不变子群．证完．
an a N
1
注: 同态满射的核是不变子群，这一件事实显然 是定理４（ⅱ）的一个特例．
作业: P79: 2,3,4
证明: 1.分两步 1) N 是子群 2) a 1 na N , 对于任意 a G , n N 2. aN bN a 1b N f ( a ) f ( b ) 3. 同学自行给出. 4. 同学自行给出.
11.3 同态基本定理
定理２ 态，那么
G N G
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看， G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候， G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我 们一定找得到 G 的一个不变子群 N ，使得G 的性质和 商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
f
1
( S ) { x x A, f ( x ) S }
刚好包含所有 A 中在 f 之下的像属于 S 的元.
定理３ 假定 G 和G 是两个群，并且 G 与 G 同 态．那么在这个同态满射之下的 （ⅰ） G 的一个子群 H 的象 H 是 G 的一个子群； （ⅱ） G 的一个不变子群 N 的象 N 是 G 的一个不 变子群． 证明 我们用 f 来表示给定的同态满射 （ⅰ）假定 a ，b 是 H 的两个任意元，那么有 a , b H 使得 f ( a ) a ，f ( b ) b 那么在 之下， 1 1 1 ab f ( a ) f ( b ) f ( ab ) H (??)
11.4 子群的同态像和逆(原)像
回忆一个子集关于映射的像与逆像 定义 假定 f 是集合 A 到集合 A的一个映射． 1. S 是 A 的一个子集, f ( S ) { f ( s ) s S } 称为 S 在 f 之下的象，它刚好包含所有 S 的元在 之下的象． 2. S 是 A 的一个子集, S 在 之下的逆象
ab
1
ab
1
由于 H 是 H 的逆象，因而 a ， H ,进一步 b 1 1 1 a b H (??),即: ab a b 1 ab H ．这样， 所以 1 a ，b H ab H H 是 G 的一个子群． （ⅱ） N 既是 G 的一个不变子群，由（ⅰ），我们 知道 N 是 G 的一个子群．假定 a 是 G 的任意元， 是 N n 的任意元，并且在 f 之下， n a a ， n
定理４ 假定 G 和 G是两个群，并且 G 与 G 同态．那 么在这个同态满射之下的 （ⅰ）G 的一个子群 H 的逆象 H 是 G 的一个子群； （ⅱ）G 的一个不变子群 N 的逆象 N 是 G 的一个不变 子群． 证明 我们用 f 来表示给定的同态满射． b （ⅰ）假定 a ， 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下， a a ，b b ， 我们需要证明 ab 1 H .注意
G N
N
群同态．
的一个法则 :
(a G )
( a ) aN
这显然是 G 到 G N 的一个满射．并且,对于 G 的 任意两个元 a 和 b 来说，
( ab ) abN ( aN )( bN ) ( a ) ( b )
所以它是一个同态满射．证完． 上述 称为自然同态.
§11.同态与不变子群
• • • • 11.1 自然同态 11.2 同态映射的核 11.3 同态基本定理 11.4 子群的同态像和逆像
不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端 重要的关系．知道了这几个关系，我们才能看出 不变子群和商群的重要意义．
11.1 自然同态
定理１ 证明 一个群 G 同它的每一Байду номын сангаас商 G 我们规定 G 到