2.1.5.1平面直角坐标系中两点间的距离公式-导学案

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北师大版高中数学高一2.1.5平面直角坐标系中的距离公式

【预习评价】
(1)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？提示适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
(2)已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a等于 ( )
A．1
B．－5
|222×＋2－－51|2＝
1 5.
答案 A
知识点三两平行直线间的距离 1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平
行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0
之间的距离 d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
【预习评价】 (1)两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么要求？提示两条平行直线的方程都是一般式，并且 x，y 的系数分别对应相等．
＝
|6a＋a23＋＋11|，
解得 a＝－13或－79.
答案－13或－79
题型三两平行线间的距离【例 3】求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直
线的方程．解方法一设所求直线的方程为 5x－12y＋m＝0， ∵两直线间的距离为 2，∴ 52|＋6－－m|122＝2， ∴m＝32 或 m＝－20. ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标 1.了解坐标法及利用坐标法解决简单的几何问题； 2.理解点到直线的距离公式的推导过程；会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线距离(难点)；3.掌握两点间距离公式及点到直线距离公式，能用两点间距离公式及点到直线距离公式解决实际问题(重点)．

平面直角坐标系中两点间的距离公式

平面直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。

勾股定理是数学中的一个基本定理，描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边平方的关系。

首先，假设平面直角坐标系中的两点分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)。

我们可以根据勾股定理计算AB的距离。

勾股定理的公式如下：AB²=(x2-x1)²+(y2-y1)²根据该公式，我们可以计算两点之间的距离。

以下是一个示例，以便更好地理解：假设点A的坐标为A(3,4)，点B的坐标为B(6,8)。

我们可以计算两点之间的距离。

先计算两点在x轴方向上的差值：x2-x1=6-3=3再计算两点在y轴方向上的差值：y2-y1=8-4=4根据勾股定理，计算AB的平方：AB²=(3)²+(4)²=9+16=25最后，计算AB的距离：AB=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5从上述示例可以看出，由于平面直角坐标系中的两点可以移到任意位置，所以两点之间的距离计算公式是通用的。

除了直接使用勾股定理，我们还可以使用中点公式和距离公式来计算两点之间的距离。

中点公式：在平面直角坐标系中，中点公式可以用来计算两点连线的中点坐标。

中点公式如下：中点坐标=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)为了计算两点之间的距离，我们可以首先使用中点公式计算出连线的中点坐标，然后再使用中点和两个点之间的距离公式计算距离。

距离公式：中点公式和两点之间的距离公式之间的关系如下：两点之间的距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)因此，使用中点公式计算出中点坐标后，我们可以再使用该距离公式来计算两点之间的距离。

总结起来，在平面直角坐标系中，计算两点之间的距离的步骤如下：1.根据给定的两点坐标，计算两点在x轴和y轴方向上的差值。

2.使用勾股定理计算出两点之间的平方距离。

3.对平方距离取平方根，得到最终的距离。

北师大版数学高一学案 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式

1.5平面直角坐标系中的距离公式学习目标 1.了解坐标法及利用坐标法解决简单的几何问题；2.理解点到直线的距离公式的推导过程；会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线距离(难点)；3.掌握两点间距离公式及点到直线距离公式，能用两点间距离公式及点到直线距离公式解决实际问题(重点).知识点一两点间的距离公式1.两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.2.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.【预习评价】(1)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？提示适用.当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.(2)已知点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5，则a等于()A.1B.－5C.1或－5D.－1或5解析由两点间距离公式得，(a＋2)2＋(3＋1)2＝52，∴(a＋2)2＝9，∴a＝1或a＝－5，故选C.答案 C知识点二点到直线的距离公式1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.2.公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d【预习评价】(1)在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式.(2)点(2，5)到直线y＝2x的距离为()A.15B.25C.35D. 5解析直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得|2×2－5|22＋（－1）2＝15.答案 A知识点三两平行直线间的距离1.概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d【预习评价】(1)两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|A2＋B2时对两条直线应有什么要求？提示两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.(2)两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于( ) A.75 B.715 C.415D.23解析 l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0，由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415. 答案 C题型一两点间距离公式的应用【例1】已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. 解方法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练1】已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( ) A.13 B.12 C.3D.2解析由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42， |CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D题型二点到直线的距离【例2】求过点P (1，2)且与点A (2，3)，B (4，－5)的距离相等的直线l 的方程. 解方法一由题意知k AB ＝－4，线段AB 的中点为C (3，－1)，所以过点P (1，2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.此直线符合题意.过点P (1，2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2－1－2＝x －13－1，即3x ＋2y －7＝0.此直线也符合题意.故所求直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 方法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋b ，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝72.所以所求直线l 的方程为： y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72，即4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.规律方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.(3)几种特殊情况的点到直线的距离：①点P 0(x 0，y 0)到直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |； ②点P 0(x 0，y 0)到直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.【训练2】 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(2)已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，313(2)解析由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案－13或－79题型三两平行线间的距离【例3】求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程. 解方法一设所求直线的方程为5x －12y ＋m ＝0， ∵两直线间的距离为2，∴|6－m |52＋（－12）2＝2，∴m ＝32或m ＝－20.∴所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二设所求直线的方程为5x －12y ＋c ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋c 52＋（－12）2＝|c －6|13，由题意得|c －6|13＝2，则c ＝32或c ＝－20.∴所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 规律方法 (1)针对这种类型的题目一般有两种思路：①利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.【训练3】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________.解析(1)由题意得63＝m1，∴m＝2.将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式得：|－1＋6| 62＋22＝540＝104.(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，由题意知：|3－c|22＋12＝|c＋1|22＋12，得c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案(1)104(2)2x－y＋1＝0方向1利用距离公式求最值【例4－1】 (1)已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________. 解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝（x －0）2＋（y －1）2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0，1)的距离，即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝|8－1|62＋82＝710.答案 710(2)两条互相平行的直线分别过点A (6，2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .①求d 的取值范围；②求当d 取最大值时，两条直线的方程. 解 ①设经过A 点和B 点的直线分别为l 1.l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝（－3－6）2＋（－1－2）2＝310，∴d 的取值范围为(0，310]； ②由①知d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0. 方向2 对称问题【例4－2】求点P (－5，13)关于直线l ：2x －3y －3＝0的对称点P ′的坐标. 解设P ′的坐标为(x 0，y 0)，则线段PP ′中点Q 的坐标为(x 0－52，y 0＋132).∵Q 在直线l 上，∴2·x 0－52－3·y 0＋132－3＝0，即2x 0－3y 0－55＝0.① 又∵PP ′⊥l ，∴k l ·k PP ′＝－1，即23·y 0－13x 0＋5＝－1，即3x 0＋2y 0－11＝0.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－11，∴P ′的坐标为(11，－11). 方向3 在解析法中的应用【例4－3】建立适当的平面直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 解设△ABC 是等腰三角形，以底边CA 所在直线为x 轴，过顶点B 且垂直于CA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则C (－a ，0). 直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，直线BC 的方程为x －a＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0，设底边AC 上任意一点为P (x ，0)(－a ≤x ≤a )，则点P 到AB 的距离|PE |＝|bx －ab |a2＋b2＝b （a －x ）a 2＋b2，点P 到BC 的距离|PF |＝|bx ＋ab |a 2＋b2＝b （a ＋x ）a 2＋b2，点A 到BC 的距离h ＝|ba ＋ab |a 2＋b2＝2ab a 2＋b2，所以|PE |＋|PF |＝b （a －x ）a 2＋b2＋b （a ＋x ）a 2＋b2＝2ab a 2＋b2＝h .因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 规律方法 (1)点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x0·（－AB ）＝－1（AB ≠0），A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0，求得. (2)直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1.P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程.(3)解决最值问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(4)用解析法解题，即用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.用解析法解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，注意利用图形的对称性建系，简化运算过程.课堂达标1.已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)、B(a，0)和C(a2，32a)，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.斜三角形解析∵|AB|＝2|a|，|AC|＝（a2＋a）2＋（32a－0）2＝3|a|，|BC|＝（a2－a）2＋（32a－0）2＝|a|，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC为直角三角形.答案 C2.已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1解析由点到直线的距离公式，得|a－2＋3|2＝1，即|a＋1|＝2，所以a＝2－1或a＝－2－1.又因为a＞0，所以a＝2－1.答案 C3.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________.解析d＝|3－(－2)|＝5.答案 54.直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l 的方程为________.解析显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；l 不垂直于x 轴时，设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1， ∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0.综上，l 的方程为x ＝1或x －y －1＝0.答案 x ＝1或x －y －1＝05.(1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标；(2)求过点P (1，2)且与原点距离最大的直线方程.解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴P 点坐标为(2，2). (2)由题意知与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大，∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.课堂小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.4.对称问题最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平分两条件列方程组可求解对称点坐标.。

两点之间距离公式教案

两点之间距离公式教案一、教学目标1. 让学生理解两点之间距离公式的推导过程。

2. 让学生掌握两点之间距离公式的应用。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间距离公式的推导和应用。

2. 教学难点：理解并推导两点之间距离公式。

三、教学准备1. 教师准备PPT，包含两点之间距离公式的推导过程和应用实例。

2. 准备一些练习题，用于巩固所学知识。

四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾平面直角坐标系的相关知识。

2. 推导两点之间距离公式：教师讲解并演示两点之间距离公式的推导过程，学生跟随教师一起推导。

3. 应用实例：教师展示一些应用实例，引导学生运用两点之间距离公式解决问题。

4. 练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。

5. 总结：教师引导学生总结本节课所学内容。

五、课后作业1. 请学生完成课后练习题，巩固两点之间距离公式的应用。

2. 鼓励学生自主探究，发现生活中的两点之间距离公式应用实例。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对两点之间距离公式的理解和掌握程度。

2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识的应用能力。

3. 课后作业：评估学生完成课后作业的质量，了解学生对知识的巩固程度。

七、教学拓展1. 引导学生思考：两点之间距离公式在实际生活中的应用，如地图测量、建筑设计等。

2. 介绍相关知识：平面几何中其他距离和面积公式的学习，如直线距离、多边形面积等。

八、教学反思1. 反思教学效果：评估学生对两点之间距离公式的掌握程度，思考教学中需要改进的地方。

2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法，提高教学效果。

九、教学计划调整1. 根据学生掌握情况，调整后续课程的教学内容和难度。

2. 针对学生存在的问题，制定相应的辅导措施，提高学生学习能力。

十、教学总结1. 总结本节课的教学成果，回顾两点之间距离公式的推导过程和应用实例。

2. 强调两点之间距离公式在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。

《平面直角坐标系中的基本公式》导学案

《平面直角坐标系中的基本公式》导学案一、学习目标1、理解并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式。

2、能够运用两点间的距离公式解决相关问题。

3、理解并掌握平面直角坐标系中中点坐标公式。

4、会运用中点坐标公式解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）两点间的距离公式及其应用。

（2）中点坐标公式及其应用。

2、难点（1）两点间距离公式的推导。

（2）距离公式和中点坐标公式的综合应用。

三、知识链接1、平面直角坐标系的概念在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O 为坐标原点。

2、点的坐标对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a, b) 叫做点 P 的坐标。

四、学习过程（一）两点间的距离公式1、思考：在平面直角坐标系中，已知点 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，如何求 A、B 两点之间的距离？2、推导过点 A 向 x 轴作垂线，垂足为 M(x₁, 0)；过点 B 向 x 轴作垂线，垂足为 N(x₂, 0)。

则 AM ＝｜y₁|，BN ＝｜y₂|，MN ＝｜x₂ x₁|。

在 Rt△ABN 中，根据勾股定理：AB²＝ AN²＋ BN²AN ＝｜y₂ y₁|所以 AB²＝（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²则 A、B 两点间的距离公式为：AB ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²3、示例已知点 A(1, 2)，B(4, 6)，求 AB 的距离。

解：根据两点间的距离公式，可得：AB ＝√（4 1)²＋（6 2)²＝√（9 ＋ 16) ＝ 5（二）中点坐标公式1、思考：在平面直角坐标系中，已知点 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则线段 AB 的中点坐标是什么？2、推导设线段 AB 的中点为 M(x, y)。

高中数学(平面直角坐标系中的距离公式)导学案北师大版必修2 学案

第6课时平面直角坐标系中的距离公式1.掌握两点间的距离公式,能根据距离公式求两点间的距离.2.掌握点到直线的距离公式及其简单应用,理解点到直线的距离公式的推导过程.3.理解两条平行线间的距离公式,会用公式求两条平行线间的距离,综合体会两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式之间的联系.如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.我们来设计下,使公路最短,同时算出最短的路程.这就是今天我们要学习的距离公式.问题1:两点间的距离(1)点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= .(2)坐标法:步骤:①建立,用坐标表示有关的量;②进行有关;③把代数运算结果“翻译”成几何关系.问题2:点到直线的距离将仓库看作一个点P0,将铁路看作一条直线,在平面直角坐标系中,如果已知点P0的坐标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(且A2+B2≠0),则点P0(x0,y0)到直线l的距离为.问题3:使用点到直线的距离公式时要注意的事项(1)从运动观点来看,点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最距离.(2)若给出的直线方程不是一般式,要先化为一般式.(3)直线上的点到该直线的距离为.问题4:两条平行直线间的距离(1)定义:夹在两条平行直线间的长叫作这两条平行直线间的距离.(2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离.(3)公式:若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则.1.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是().B.3+2C.6+3+2.点(2,1)到直线l:x-2y+2=0的距离为().A. B. C.3.已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为.4.求过点(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程.求点到直线的距离求点P(1,2)到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴.两条平行直线间的距离求两平行线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15的距离.距离公式的应用直线l1过点A(0,1),直线l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求直线l1与l2的方程.求点P(a,b)到直线l:+=1的距离.求与直线l:5x-12y+6=0平行且距离为2的直线方程.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,求k的取值X围.1.已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b等于().A.-3B.52.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是().3.已知点A(2,-1),B(,2),若y轴上有一点P满足|PA|=|PB|,则点P的坐标为.4.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东14 km,南18 km处,那么甲、乙两船的距离是多少?(2011年·卷)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为().A.4B.3考题变式(我来改编):第6课时平面直角坐标系中的距离公式知识体系梳理问题1:(1)(2)①坐标系②代数运算问题2:d=问题3:(1)短(3)0问题4:(1)公垂线段(3)d=基础学习交流1.C|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.故选C.2.B由点到直线的距离公式知:d===.故选B.3.BC的中点为M(6,0),|AM|==.4.解:距离原点最远的直线到原点的距离为=,即直线垂直于(2,1)点与原点的连线,斜率为-2,故直线为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.重点难点探究探究一:【解析】 (1)将直线方程化为一般式:x-y-3=0,由点到直线的距离公式得d1==2.(2)(法一)直线方程化为一般式:y+1=0,由点到直线的距离公式得d2==3.(法二)∵y=-1平行于x轴,如图,∴d2=|-1-2|=3.(3)(法一)y轴的方程为x=0,由点到直线的距离公式得d3==1.(法二)如图可知,d3=|1-0|=1.【小结】求点到直线的距离,要注意公式的条件,即先将直线方程化为一般式.对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解.探究二:【解析】(法一)若在直线l1上取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离.l2的方程可化为:3x+4y-15=0,∴d==1.(法二)直线l1、l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,则两平行线间的距离为d===1.【小结】求两平行直线间的距离有两种思路:(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离;(2)直接利用两平行线间的距离公式d=,但注意两直线方程中x,y的系数必须对应相等.探究三:【解析】设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与l2之间的距离d==5,解得k=.∴直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.[问题]直线l1、l2的斜率都一定存在吗?如果斜率不存在呢?[结论]本题出错的原因是忽视了直线方程的点斜式、斜截式的前提条件,这类问题的解决方式应分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论.于是,正确解答如下:(1)若直线l1、l2的斜率都不存在,则l1:x=0,l2:x=5,它们之间的距离为5,满足题意.(2)若直线l1、l2的斜率存在,则可设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与l2之间的距离d==5,解得k=.∴直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.综上,直线l1:x=0,l2:x=5或直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.【小结】本题考查了直线的点斜式方程和两平行直线的距离公式,在处理直线问题时,应当考虑斜率是否存在,注意分类讨论、数形结合的思想始终要有.思维拓展应用应用一:直线l的方程可化为bx+ay-ab=0,∴点P到直线l的距离d==.应用二:由题意可设所求直线方程为5x-12y+c=0.根据两平行直线间的距离公式得=2,解之得c=32或c=-20.所以所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.应用三:y=-2x-k-2化为2x+y+k+2=0,∴0<≤,0<|k+6|≤5.∴-5≤k+6≤5且k+6≠0.∴-11≤k≤-1且k≠-6.基础智能检测1.C|AB|2=(2+1)2+(1-b)2=25,即1-b=±4,∴b=-3或5,故选C.2.B|AB|==,|BC|==3,|AC|==.故选B.3.(0,1)设P点坐标为(0,y),则由两点间的距离公式得|PA|==,|PB|==.由|PA|=|PB|可得y2+2y+5=y2-4y+11,∴y=1,即P(0,1).4.解:以港口为坐标原点,正北、正东方向分别为y轴、x轴的正方向,建立平面直角坐标系, 则甲、乙的坐标分别为(50,30)、(14,-18),∴甲、乙两船的距离为==60 km.全新视角拓展A设C(x,y), 直线AB:x+y-2=0,|AB|=2,点C到直线AB的距离为d=.又因为点C在y=x2上,所以d=.则S△ABC=×2×=2,解得x=0或-1或或.所以满足条件的点有4个.选A.。

高中数学学案北师大版必修2 平面直角坐标系中的距离公式教案

教学设计1．5平面直角坐标系中的距离公式第1课时整体设计教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.推进新课新知探究提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB|＝|x B－x A|，|CD|＝|y D－y C|.②B到原点距离是5.③|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④略．应用示例思路1例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．思路2例1 如图5，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(－4,8)，另一个端点B的纵坐标点3，求这个端点的横坐标，并画出这个点．图5 图6解：设B点坐标为(x,3)，根据|AB|＝13，得(x＋4)2＋(3－8)2＝132，解得x＝8或x＝－16.画点B或B′(如图6)．点评：学生先找点，有可能找不全丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至：到A(－4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)，是以A点为圆心，13为半径的圆上与y＝3的交点，应交出两个点．变式训练已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是有|P A|＝(x＋1)2＋(0－2)2，|PB|＝(x－2)2＋(0－7)2.由|P A|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.即所求点P的坐标为(1,0)．所以|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.例2 求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和．活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．图7设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2＝|BC |2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2，即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步，建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果“翻译”成几何关系．变式训练△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：如图8取线段BC 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(b ，c )，点C 的坐标为(a,0)，则点B 的坐标为(－a,0)，图8可得|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|OC |2＝a 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).知能训练1．在x 轴上求一点P ，使P 点到A (—4,3)和B (2,6)两点的距离相等．2．求在数轴上，与两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标．3．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解答：1．设点P 坐标为(x,0)，由P 点到A (－4,3)和B (2,6)两点的距离相等知，(x ＋4)2＋32＝(x－2)2＋62，解得x ＝54，即点P 坐标为⎝⎛⎭⎫54，0. 2．当在x 轴上时，设点P (x,0)，则(x ＋1)2＋9＝(x －2)2＋16，解得x ＝53，所以点P 为⎝⎛⎭⎫53，0. 当在y 轴上时，设点P (0，y )，则1＋(y －3)2＝4＋(y －4)2，解得y ＝5，所以点P 为(0,5)．综上，到两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，0或(0,5)．3．C 提示：由两点间的距离公式可得|BC |＝|AC |≠|AB |.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，求使不等式x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥22中的等号成立的条件．答案：x ＝y ＝12.[提示：可看作是求到(0,0)，(0,1)(1,0)，(1,1)这四个点的距离的和为22的点的坐标．] 课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．作业习题2—1 A 组10,11,12.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳，这样更有利于学生掌握知识．为了加深知识理解，掌握和更灵活地运用所学知识去主动的发现问题、解决问题，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势．备课资料笛卡儿我们现在所用的直角坐标系，通常叫作笛卡儿直角坐标系．是从笛卡儿(Descartes R ．,1596.3.31—1650.2.11)引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分．法国数学家拉格朗日(Lagrange J ．L.,1736.1.25—1813.4.10)曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力．从那以后，就以快速的步伐走向完善．”笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一．笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家．笛卡儿的父亲是一位律师．当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师．他于1617年进入军队．在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学．后来他回到巴黎，被望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题．他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》《世界体系》《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(包括三个著名的附录：《几何》《折光》和《陨星》)，还有《哲学原理》和《音乐概要》等．其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想．笛卡儿于1649年被邀请去瑞典做女皇的教师．斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了，他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁．笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘．那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达．一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷．他好奇地走到跟前，但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听，有一位能听懂法语的过路人不以为然地看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛．要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案．这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼，出乎意料的是，第二天，笛卡儿真的带着全部问题的答案见他来了；尤其使别克曼吃惊的是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有，于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客．笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语．这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础．而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命：有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵．没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢劫他们钱财的事．笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国．在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹杀不了他对荷兰的美好回忆．正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》，此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝．笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎．开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地——神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓，法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿．(设计者：释翠香)第2课时整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B 2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B 2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B 2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.应用示例思路1例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为 |PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2，则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b 2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程．解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.思路2例1 求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．活动：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则 |0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112C ＝16(已知直线)或C ＝－38. ∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.变式训练已知正方形ABCD 的相对顶点A (0，－1)和C (2,5)，求顶点B 和D 的坐标．答案：B (4,1)，D (－2,3).例2 已知直线l 过两条直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点，且与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，求直线l 的方程．解：直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点为(－1,2)．若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0；若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x ＝－1.所以直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式．2．设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52. 因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 点评：通过这道题，使学生能够进一步理解点到直线的距离问题，能逐步体会用代数方法解决几何问题的优越性．3．在直线2x －7y －6＝0上任取一点，例如取P (3,0)，则点P (3,0)到直线2x －7y ＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此d ＝|2×3－7×0＋8|22＋(－7)2＝1453＝145353. 点评：把求两平行线距离转化为点到直线的距离．4．解法一：同上题解法．解法二：l 1∥l 2又C 1＝－8，C 2＝－10，则d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313. 拓展提升问题：已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0,0)，M (0,3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：点O (0,0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′⎝⎛⎭⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P ⎝⎛⎭⎫－85，－115即为所求，相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855. 课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．作业习题2—1A组第13题；B组第1,2题．设计感想本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备课资料数学史话多产的数学家瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707—1783)在其一生中，为人类作出了卓越的贡献，留下了886篇论文和著作，几乎在数学的每个部门都留下了他的足迹．“聪明来自劳动，天才出于勤奋”，智慧的金花不会为懒汉开放.1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛.1766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究．他的研究工作是大量和杰出的．晚年，他口述其发现，让别人把它笔录下来，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章．在欧拉的886篇著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中有不少是教科书．由于文笔浅显，通俗易懂，引人入胜，甚至在今天读起来也毫无困难．尤其值得一提的是他所编写的平面三角课本，采用了近代记号sin，cos等，实际上他的讲法已经成为最后的形式，三角学到他手里已完全成熟了．欧拉在数学上的贡献多得不胜枚举，经常为人称道和引证的有几个例子．一个是所谓“哥尼斯堡七桥问题”，由于欧拉解决了这个历史上流传甚久的趣题，因而被誉为“拓扑学的鼻祖”．另一个例子是多面体的欧拉公式v－e＋f＝2(v是多面体的顶点数，e是边数，f是面数)．第三个例子，差不多任何关于复数的课本中都不可避免地要提到它，即eix＝cos x＋i sin x.任何科学都有其相关性．尤其在中学时代，学好语文，对于理解和掌握数学知识是非常重要的．作为教育家的欧拉也高度重视这一点．怎样列出代数方程来解文字题，虽是十分古老的题材，但是它在数学发展史上曾起过重大作用，促进了代数学的发展．和牛顿的观点一样，欧拉并不认为解决这类初等数学问题是有损尊严的事，在他的名著《代数基础》中就着意搜集了许多题目．下面就是他的一个题目：“一位父亲临死时叫他的几个孩子按照下列方式瓜分他的财产：第一个儿子分得一百克朗与剩下财产的十分之一；第二个儿子分到二百克朗与剩下财产的十分之一；第三个儿子分到三百克朗与剩下财产的十分之一；第四个儿子分到四百克朗与剩下财产的十分之一……依此类推．问这位父亲共有多少财产？他一共有几个孩子？每个孩子分到多少？”最后发觉这种分法简直太好了，因为所有的孩子分得的数字恰恰相等．中国有句老话说，“一碗水端平”，真是平得不能再平了．这位父亲有九个孩子，他共有财产8 100克朗，每人分到900克朗．(设计者：张新军)。

2.1.5平面直角坐标系中的距离公式(北师大必修2)

2.1.5平面直角坐标系中的距离公式(北师大必修2)阜阳十中校本课程◆高一级部数学学科必修2◆导学案第二章第一节：平面直角坐标系中的距离公式二班准备老师李灿灿复习老师王松§2.1.5两点间的距离公式【例3】给定点a（4,12）和B（2,5），在x轴上找到点P，使PA=Pb，并找到PA的值【学习目标】1。

了解两点间距离公式的推导过程；2、熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；3、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；【要点】两点间距离公式和中点公式的推导。

【学习难点】两点之间的距离公式和中点公式的应用。

【学习方法】自主学习、合作探索、教师及时指导。

[问题情境]思考1:在x轴上，已知点p1(x1，0)和p2(x2，0)，那么点p1和p2的距离为多少？思考2：在y轴上，给定点P1（0，Y1）和P2（0，Y2），点P1和P2之间的距离是多少？思考3:已知x轴上一点p1(x0，0)和y轴上一点p2(0，y0)，那么点p1和p2的距离为多少？设想4：在平面直角坐标系中，你知道原点O和点a与点a（x，y）之间的距离D（O，a）思考5:一般地，已知平面上两点a(x1，y1)和b(x2，y2)，利用上述方法求点a和b的距离。

1.公式：两点a（x1，Y1）和B（X2，Y2）之间的距离表示为abab?(x?x2221)?(y2?y1)【典型例题】【例1】已知点a（1,2）、B（3,4）、C（5,0）证明三角形ABC是等腰三角形。

【例2】已知△abc的顶点坐标是a（2,1），b（-2,3），c（0，-1），求△abc的中线的长度班级名称小组学生评价【目标检测】1.已知：a（1,1）B（5,3）C（0,3）证明：三角形ABC是直角三角形2、已知a（x1，y1）,b（x2，y2），m(x,y)是线段ab的中点，试推导出中点公式。

3.给定点P（a，2），q（-2，-3），m（1，1），和PQ=PM，求a的值。

【总结提升】[家庭作业]教科书77，12，13题[自我评估][我的疑问]教师评价一阜阳十中校本课程◆高一级部数学学科必修2◆导学案第二章第一节：平面直角坐标系中的距离公式二班准备老师李灿灿复习老师王松1.5.2点到直线的距离公式[学习目标：]【例2】已知点a(a，2)到直线x?y?3?0的距离为1，求a的值。

平面直角坐标系中的距离公式

1.了解平面直角坐标系中的距离公式推导过程；掌握平面直角坐标系中的距离公式，并能熟练应用公式解决有关问题。

2．理解点到直线的距离公式的推导；3．掌握点到直线的距离公式，并能简单应用； 4．讨论，探究两平行直线的距离公式。

1．一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离为|AB |＝|x 2－x 1|．2.说出求平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间距离|AB |的步骤：3.在平面几何中，求点P 到直线l 的距离步骤：（1）.先过点P 作l 的垂线PH, （2）.再求出PH 的长度，（3）. PH 的长度就是点P 到直线l 的距离。

即：在平面直角坐标系中，用坐标的方法求点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离的步骤：其算法框图：2. 用上述方法可以得到点P(x 0,y0)到直线Ax+By+C=0三、预习自测求下列点到直线的距离： (1). (0,0),3240;x y -+= (2). (1,2),0;y ---= (3). (2,3),.x y -=例1.实例分析点到直线的距离公式的推导过程（(3,5),:3450p l x y ---=）变式（1）求原点到直线1:51290l x y --=的距离；（2）求点(1,2)p -到直线2:2100l x y +-=距离。

例2、试推导两平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离公式。

(d=)变式1、求两平行线3210,3260x y x y--=-+=的距离例3、用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

知识规律总结：1.使用点到直线距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式。

2._________________________________________________________________________________________________ ________________________※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测1.已知点(,3)(0)m m>到直线:240l x y-+=的距离为1，则m等于_______. 2.两平行直线12,l l分别过(1,0)A与(0,5)B.若1l与2l的距离为5，求这两直线方程。

2.1.5.1两点间的距离公式2(北师大版)

整理得a2-6a+8=0,
解得a=2或a=4.
答案:2或4
2
3
.
4
5
1
2
3
4
5
5.已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求直线l上一点P,使得
|PA|=|PB|.
解:因为点P在直线l上,所以可设P(t,2-4t).
又A(4,-3),B(2,-1),所以由|PA|=|PB|可得,(t-4)2+(5-4t)2=(t-2)2+(34t)2,
时,|MA|+|AB|+|BM|=|PO|+|OQ|
=|PQ|= [3-(-3)]2 + (-4-4)2 =10;
当点 A 与 B 不重合
时,|MA|+|AB|+|BM|=|PB|+|AB|+|AQ|>|PQ|=10.
所以当点 A 与 B 重合于坐标原点 O 时,|MA|+|AB|+|BM|取得最
小值 10.
1 .5
平面直角坐标系中的距离公式
第1课时
两点间的距离公式
1.掌握数轴、平面上两点间的距离公式.
2.会用公式求两点间的距离.
1.两点间的距离公式
(1)数轴上:一般地,数轴上两点 A,B 对应的实数分别为 xA ,xB ,则
|AB|=|xB -xA |.
(2)平面直角坐标系中:一般地,若两点 A,B 对应的坐标分别为
设 B,C 两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
因为点 M 是 BC 的中点, 所以点 M 的坐标为
由两点间的距离公式,得:
2
2
|BC|= (0-) + (-0) = 2 + 2 ,

2.1.5平面直角坐标系中的距离公式学案(高中数学必修2北师版)

1．5 平面直角坐标系中的距离公式(1)若两点A (－5,1)，B (6,1)，它们的距离是多少呢？(2) 若A (x 1，y 1)，C (x 2，y 1)，B (x 2，y 2)，能否求出|AC |，|BC |，|AB |?【提示】 (1)|AB |＝|6－(－5)|＝11.(2)能，|AC |＝|x 2－x 1||BC |＝|y 2－y 1|由勾股定理得|AB |＝|AC |2＋|BC |2 ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有两点A ，B 间的距离公式，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(1)点(x 0，y 0)到x 轴，y 轴的距离怎样用坐标表示？ (2)点(x 0，y 0)直线x ＝a ，y ＝b 的距离是多少？ (3)如何求点到直线的距离呢？【提示】 (1)到x 轴距离|y 0|，到y 轴距离是|x 0|. (2)|x 0－a |，|y 0－b |.(3)转化为点点距，即过点作直线的垂线，求点与垂足的距离即可．已知点P (x 0，y 0)，直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 到直线l 的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.为等腰梯形．【思路探究】根据两腰相等利用两点间的距离公式解决．【自主解答】设D 点的坐标为(x ，y )，若|AB |＝|CD |且AD ∥BC ，则{ (0＋1)2＋(3－0)2＝(x －3)2＋y 2， y ＝3，解得{ x ＝2， y ＝3，或{ x ＝4， y ＝3.当x ＝4，y ＝3时，k AB ＝k CD ，应舍去．∴D (2,3)．若|BC |＝|AD |且AB ∥CD ，则⎩⎨⎧(－1－3)2＋02＝x 2＋(y －3)2，3－00＋1＝y －0x －3，解得⎩⎨⎧x ＝165， y ＝35，或{ x ＝4， y ＝3.当x ＝4，y ＝3时，k BC ＝k AD ，应舍去．∴D (165，35)．故D 点的坐标为(2,3)或(165，35)．1．本题通过一组对边相等，另一组对边平行来求解，很容易产生增解(x ＝4，y ＝3时，四边形ABCD 为平行四边形)，也很容易遗漏其中的情形(|BC |＝|AD |，AB ∥CD )．处理时，可以画出草图予以解决．2．使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．已知A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使得|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．【解】设所求的点为P (x,0)于是有|P A |＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， |PB |＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由|P A |＝|PB |得x ＝1，所以所求点为P (1,0)，且|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝1；(3)y 轴．【思路探究】 (1)先将直线化成一般式，再代入公式求值．(2)、(3)可考虑点P 坐标的几何意义求解．【自主解答】 (1)把方程y ＝34x ＋14写成一般式3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185.(2)结合图形可知d ＝|－2－1|＝3. (3)结合图形可知d ＝|3|＝3.1．在求本例中(2)、(3)时，我们仍可以使用点到直线的距离公式．2．求点到直线的距离时首先要将直线方程化为一般式．对于点P (x 0，y 0)到垂直于x 轴的直线x ＝a 或垂直于y 轴的直线y ＝b 的距离，可直接用公式d ＝|x 0－a |及d ＝|y 0－b |求出．将本例中(1)中将直线方程改为x ＋2y ＋6＝0.【解】由点到直线距离公式得d ＝|3＋2×(－2)＋6|12＋22＝ 5.|2＋|DM |2. 【思路探究】建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．【自主解答】分别以AB 、AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系(如图)，设M (x ，y )，B (a,0)，C (a ，b ), 则D (0，b )，又A (0,0)．则|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， |BM |2＋|DM |2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2. ∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.1．解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．已知AO 是△ABC 边BC 的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．【证明】以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (x ，y )，由两点间距离公式得 |AB |2＝(x ＋a )2＋y 2， |AC |2＝(x －a )2＋y 2，∴|AB |2＋|AC |2＝2x 2＋2y 2＋2a 2， |AO |2＝x 2＋y 2，|OC |2＝a 2， |AO |2＋|OC |2＝x 2＋y 2＋a 2，∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．忽视斜率不存在的情况致误求经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程．【错解】 ∵所求直线过点A (1,2)，∴可设直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. ∵原点到此直线的距离为1， ∴|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，∴所求直线方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.【错因分析】本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．【防范措施】遇到有关直线斜率问题，当斜率不确定时，一定要考虑斜率存在与不存在两种情况．【正解】 ①当直线过点A (1,2)且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意．②当直线过点A (1,2)且与x 轴不垂直时，由题意可设直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，又由原点到此直线距离等于1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式可以写成|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路几何问题――→坐标系代数问题 ↑ ↓ 几何结论――→ 代数结论1．两点A (－1,1)，B (2,3)之间的距离为( ) A.13 B ．13 C.11 D ．2 3 【解析】 |AB |＝[2－(－1)]2＋(3－1)2＝13. 【答案】 A2．点(1,1)到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．2 B.255 C.55D. 5【解析】 d ＝|1＋2－5|12＋22＝25＝255.【答案】 B3．若点P (1，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 的值为__________．【解析】由|1＋3a －4|12＋(3)2＝1，得a ＝533或33. 【答案】533或334．求过点M (－2,1)且与A (－1,2)，B (3,0)两点距离相等的直线的方程．【解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为y －1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋1＝0. 由|－k －2＋2k ＋1|k 2＋1 ＝|3k ＋2k ＋1|k 2＋1，解得k ＝0，或k ＝－12.故直线的方程为y ＝1，或x ＋2y ＝0. 当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l .一、选择题1．(2013·厦门高一检测)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22 D.322【解析】 d ＝|1＋1＋1|12＋12＝32＝322.【答案】 D 2．(2013·阜阳高一检测)若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．－3C ．1或53D ．－3或173【解析】由题意得|10－12k ＋6|52＋122＝4，解得k ＝－3或173.【答案】 D3．设P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是( ) A. 5 B.7 C. 6 D ．2 2【解析】 |OP |的最小值就是原点到直线x ＋y －4＝0上的距离，d ＝|0＋0－4|2＝2 2.【答案】 D 4．已知定点A (0,1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A ．(－12，12)B ．(12，12)C ．(12，－12)D ．(－12，－12)【解析】当AB 与x ＋y ＝0垂直时，AB 最短， ∴AB 的方程为y ＝x ＋1.由{ y ＝x ＋1 y ＋x ＝0，得交点坐标为B (－12，12)．【答案】 A 5．(2013·宁波高一检测)过点P (1,2)引直线，使A (2,3)、B (4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0【解析】 ∵k AB ＝－4，线段AB 的中点C (3，－1)， ∴过点P (1,2)与AB 平行的直线方程为 y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意．过点P (1,2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.故选D. 【答案】 D 二、填空题6．P 、Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．【解析】直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ |min ＝3.【答案】 3 7．(2013·南京高一检测)已知两点A (0，m )，B (8，－5)之间的距离是17，则实数m 的值为________．【解析】由题意得(8－0)2＋(－5－m )2＝17，解得m ＝10或－20. 【答案】 10或－208．若第二象限内的点P (m,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，则m 的值为________．【解析】由|m ＋1＋1|12＋12＝2，得m ＝－4或m ＝0，又∵m <0，∴m ＝－4. 【答案】－4 三、解答题。

平面直角坐标系中的距离公式两点间的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式教学目标与要求1、知识方面：（1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；（2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。

2、能力方面：培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力3、情感态度价值观方面：培养学生不断超越自我的创新品质教学重点：（1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题教学过程：一、导入新课已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP 。

二、新知探究1、提出问题：（1）如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD 又怎么样求？（2）求(3,4)B 到原点的距离；（3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 的距离12PP 。

2、解决问题（1）由图形观察得出 A B AB x x =-，C D CD y y =-；（2）3,4OM BM ==，由勾股定理可求得OB（3）由图易知11221PQ N N x x ==-∴2221212PP PQ P Q =+12PP ⇒= 3、讨论结果（1）A B AB x x =-，C D CD y y =-；（2）求(3,4)B 到原点的距离是5；（3）12PP =三、例题精讲例1、求下列两点间的距离。

（1）(1,0),(2,3)A B -；（2）(4,3),(7,1)A B -解：（1）AB ==（2）5AB ==例2、已知△ABC 的三个顶点是1(1,0),(1,0),(,22A B C -，试判断△ABC 的形状。

解：∵2AB =，AC ==1BC ==，有222AC BC AB += ∴△ABC 是直角三角形。

2.1.5平面直角坐标系中的距离公式课件2(北师大版)

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【变式 3】正方形的中心在原点，若它的一条边所在的直线方程为 3x＋4y－5＝0，求这个正方形的其他边所在的直线的方程．解法一根据正方形的性质，可设已知直线对边的直线方程为 3x＋4y＋λ1＝0，与已知直线邻边的直线方程为 4x－3y＋λ2 ＝0. 由于正方形中心到四边距离相等．故 d＝ |3－2＋5|42＝ 3|2λ＋1| 42＝ 3|2λ＋2| 42， ∴λ1＝5(λ1＝－5 时与所给直线重合)，
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②若 l 过 AB 中点 N(1,1)，则直线方程为 y＝1， ∴所求直线方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
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方法技巧数形结合思想在距离中的应用数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，运用数形结合时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参数，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，本节数形结合主要应用是借助图形来分析点、线之间的位置关系．
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2．用点到直线的距离公式时注意的几点 (1)应用点到直线的距离公式时，直线方程为一般形式． (2)当点 P 在直线上时，点 P 到直线的距离为零． (3)求点到几种特殊直线的距离时，该公式仍适用，但要结合图形记住这些特殊距离． ①点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|；②点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|；③点 P(x0，y0)到平行于 y 轴的直线 x＝a 的距离为 d ＝|x0－a|；④点 P(x0，y0)到平行于 x 轴的直线 y＝b 的距离 d＝|y0 －b|.
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法二 ∵y＝－1 平行于 x 轴，如图， ∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一 y 轴的方程为 x＝0，由点到直线的距离公式得， d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二由图可知，d3＝|1－0|＝1.

平面直角坐标系中两点的距离的公式

平面直角坐标系中两点的距离的公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式教学设计(导学案)

乌审旗职业中学新授课导学案使用班级：72班编者：郝美丰8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．【复习案】1．一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离为： 2．一般地，在数轴上，A (x 1)，B (x 2)的中点坐标x 满足关系式：【新课学案】 1. 距离公式探究一如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ．教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解：（1）以上四个垂足的坐标分别是多少？（2）|AC |与|A 1B 1|关系如何？如何求|A 1B 1|？（3）|BC |等于多少？（4）在直角三角形ABC 中，如何求|AB |？（5）你能表示出|AB |吗？【结论】两点的距离公式探究二求两点之间的距离的计算步骤： S1 给两点的坐标赋值x 1＝？，y 1＝？，x 2＝？，y 2＝？S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 d x ＝x 2－x 1，d y ＝y 2－y 1；S3 计算d ＝d 2x ＋d 2y ；S4 给出两点的距离d ．例1 已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|AB |．解因为x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，所以 dx ＝x 2－x 1＝－2－2＝－4， d y ＝y 2－y 1＝3－(－4)＝7．因此|AB |＝d 2x ＋d 2y＝(－4)2＋72 ＝65 ．练习一求两点之间的距离：（1）A (6，2)，B (－2，5)；（2）C (2，－4)，D (7，2)．2. 中点公式探究三如图所示，若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M(x，y)是A，B的对称中心，即线段AB的中点．过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2．教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：（1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？（2）点M是AB中点吗？M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（4）你能写出点M的坐标吗？【结论】在平面直角坐标系内，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)的坐标满足例2求证：任意一点P(x，y)与点P'(－x，－y)关于坐标原点成中心对称．证明设P与P'的对称中心为(x0，y0)，则x0＝x+(－x)2＝0，y0＝y +(－y)2＝0．所以坐标原点为P与P′的对称中心．练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．例3已知坐标平面内的任意一点P(a，b)，分别求它关于x轴的对称点P′，关于y轴的对称点P′′的坐标．教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：（1）如果点P与P′关于x轴对称，PP′与x轴垂直吗？P′的横坐标是多少？（2）PP′与x轴的交点M是线段PP′的中点吗？M点的纵坐标是多少？（3）你能求出P′的纵坐标吗？怎么求的？（4）由以上分析，点P′的坐标是多少？（5）你能求出P′′的坐标吗？练习三求下列点关于x轴和y轴的对称点坐标：A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．例4已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．解因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D的坐标为(x，y)，则⎩⎨⎧x+22＝－3+52＝1y－22＝0＋22＝1解得⎩⎨⎧x＝0y＝4所以顶点D的坐标为(0，4)．练习四已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点D的坐标．【小结】1．直角坐标系中两点间的．2．直角坐标系中两点的．3．点的对称．【作业】教材P70练习A组第1题，第2题．教材P70练习B组第3题(选做)．。