2.3.2第2课时抛物线方程及性质的应用

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第二章 圆锥曲线与方程
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①当 Δ>0，即 k<1，且 k≠0 时，l 与 C 有两个公共点，此时 l 与 C 相交；
②当 Δ＝0，即 k＝1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相 切；
③当 Δ<0 时，即 k>1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相 离．
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[题后感悟] (1)弦长公式：若直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px 有 两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2| ＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2. 另外，要注意直线方程斜率不存在时的情况．
解析： 方法一：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y12＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
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∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3， ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，
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(1)当 a＋1＝0，即 a＝－1 时，方程①是关于 x 的一元一次方程， 解得 x＝－1，这时，原方程组有唯一解xy＝ ＝－ －11 .
(2)当 a＋1≠0，即 a≠－1 时， 方程①是关于 x 的一元二次方程． 令 Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0， 解得 a＝0 或 a＝－45.
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第2课时 抛物线方程及性质的应用
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1.掌握直线与抛物线位置关系的判断． 2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题.
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直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与 抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0. (1)若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
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【正解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝0， 由xy＝2＝02，x， 得xy＝ ＝00， ， 即直线 x＝0 与抛物线只有一个公共点． 若直线的斜率存在，则由错解可知， y＝1 或 y＝12x＋1 为所求的直线方程． 故所求的直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
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解析： 抛物线 y＝ax2 化为标准形式为 x2＝1ay. ∴焦点 F0，41a.取特殊情况，如右图所示，即直
线 PQ 平行于 x 轴时，有 p＝q. ∵|PF|＝|PM|＝p， ∴|PF|＝21a，故1p＋1q＝2p＝4a.
答案： 4a
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第来自百度文库章 圆锥曲线与方程
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(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交 点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
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1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交 抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线 的准线方程为( )
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(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理 的基本方法是点差法或利用根与系数的关系快速地求出中点弦 所在直线的斜率．
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2.已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点 P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
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当 a＝0 时，原方程组有唯一解xy＝＝10 ； 当 a＝－45时，原方程组有唯一解xy＝＝－－52 . 故实数 a 的取值集合是－1，－45，0.
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解析： ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3， ∴xA＋xB＝52. ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xA＋2 xB＝54.
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2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l
与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )
A.－12，12 C．[－1,1]
B．[－2,2] D．[－4,4]
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解析： 准线 x＝－2，Q(－2,0)，设 l：y＝k(x＋2)， 由yy＝2＝k8xx＋，2， 得 k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 当 k＝0 时，x＝0，即交点为(0,0)， 当 k≠0 时，Δ≥0，－1≤k<0 或 0<k≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．
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◎求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直 线方程．
【错解】 设直线方程为 y＝kx＋1， 由yy＝2＝k2xx＋，1， 得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，解得 y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点．
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答案： C
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已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x－2y－1＝ 0 截得的弦长为 15，求此抛物线方程．
利用待定系数法设出抛物线方程，然后与直线方程联立， 利用两点间距离，结合根与系数的关系以及弦长公式求出待定 系数．
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[规范作答] 设抛物线方程为 x2＝ay(a≠0)，……………2 分 由xx2－＝2ayy－1＝0 消去 y，得 2x2－ax＋a＝0. ……………4 分 ∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即 a<0 或 a>8. ………………6 分 设直线与抛物线两交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，………………8 分
答案： C
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3．抛物线 y2＝4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝4 3，则焦点到 AB 的距离为________．
解析： 由方程 y2＝4x 知抛物线关于 x 轴对称． 故可设 A(x0,2 3)，且点 A 在抛物线上． ∴(2 3)2＝4x0，∴x0＝3， ∴直线 AB 的方程为 x＝3. 又抛物线 y2＝4x 焦点坐标为 F(1,0)． ∴焦点 F 到直线 AB 的距离 d＝|3－1|＝2.
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直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l 与C有：
(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．
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[解题过程] 由yy＝2＝k4xx＋1 ，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 (*) 当 k＝0 时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时 y＝1， ∴直线 l 与 C 只有一个公共点14，1， 此时直线 l 平行于 x 轴． 当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k.
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
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解析： 直线 AB 的方程为 y＝x－p2，代入 y2＝2px， 得 y2－2py－p2＝0 ∴y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2， 故抛物线方程为 y2＝4x， ∴准线方程为 x＝－1.
答案： B
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答案： 2
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又∵x1＋x2＝a＋416，x1·x2＝4. ∴|AB|＝ 1＋22[x1＋x22－4x1x2]＝3 5 即 5a＋4162－16＝45， ∴a＝4 或 a＝－36. ∴所求抛物线方程为 y2＝4x 或 y2＝－36x.
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即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－11 ，得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 1＋19 22－4×－22
＝2
230 3.
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第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：由题意易知直线方程的斜率存在， 设所求方程为 y－1＝k(x－4)． 由yy2＝＝k6xx－4k＋1 ，得 ky2－6y－24k＋6＝0. k≠0 时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0① 设弦的两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ∴y1＋y2＝6k，y1·y2＝6－k24k.
综上所述，(1)当 k＝1 或 k＝0 时，直线 l 与 C 有一个公共点； (2)当 k<1 且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k>1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
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[题后感悟] 判断直线与抛物线的位置关系，将直线方程与 抛物线方程联立消去一元，整理成关于x(或y)的方程．注意讨论 二次项系数是否为零．若二次项系数为零，直线与抛物线有一 个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴；若二次项系数不为 零，则通过判别式Δ判断公共点的个数．
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∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 54x1－x22 ＝ 54[x1＋x22－4x1x2]＝14 5a2－8a.………………10 分 ∵|AB|＝ 15，∴14 5a2－8a＝ 15， 即 a2－8a－48＝0，解得 a＝－4 或 a＝12， ∴所求抛物线方程为 x2＝－4y 或 x2＝12y. …………12 分