中科大张斗国老师乙型光学第一章光的波动模型-2012

dr v dt k
向原点汇聚的球面波
轴上一点发散和汇聚的球面波,在平面上的相位分布
XOY平面 XOY平面
S (0,0, z0 )
S
P( x, y,0) P( x, y,0)
O
Z
S (0,0, z0 )
S
Z
O
z0
z0
( P) kr t 0
r ( x 0) 2 ( y 0) 2 (0 z0 ) 2 x 2 y 2 z0 2
（0，0，z0）发出的球面波在（x，y，0）平面的振动为
U ( x, y,0)
A x 2 y 2 z0
2
cos[ k x 2 y 2 z 0 t 0 ]
2
（0，0，-z0）发出的球面波在（x，y，0）平面上的振动亦为
U ( x, y,0)
A x 2 y 2 z0
在接收屏上，振幅为常数
对于位相来说：
( P) k z k z 1 ( / z )
2 2
2
k (| z | / 2 | z | )
2
如果 k / 2 | z | 或 z 2 k / 2 z 可忽略
2
2
远场条件
( P) kz
U ( P) A( P)*exp(i ( p))
1 2 A( P) E0 /[| z | 1 z ] E0 /[| z | (1 ( )( ) )] 2 z
2
对于振幅来说：
如果
z
2
2
近轴条件，傍轴条件 可以忽略
( / z)
振幅为
2
A( P) E0 / | z |
第一章
光的波动模型
定态光波及其数学描述 平面波和球面波 波的复振幅表达式 光程与相位 傍轴条件与远场条件
杨氏干涉实验
泊松亮斑
光线模型无法解释新的光学现象，势必要求提出新的物理模 型来描述光的行为。
波动光学的建立
• 1678年，Huygens提出光的波动学说。 • 1801年，T．Young在光通过双孔的实验中，首次 观察到了光的干涉现象。 • 1808年，Malus观察到了光的偏振现象，说明光是 横波。 • 1815年，A. Fresnel用波动理论导出了光的圆孔、 圆屏衍射公式，并被D. Arago以实验验证。 • 1865年，Maxwell提出电磁波理论，断言光是电磁 波。 • 1887年，Hertz(1857-1894)证实光是电磁波。 光的电磁波模型 (http://zh.wikipedia.org/wiki/海因里希· 鲁道夫· 赫兹)
简谐波的数学描述
• 最简单的是简谐波，其 振动可以用三角函数表 示，在一维情况下，为
x
表示沿x方向传播的余弦波
x U ( P, t ) A( P ) cos[2 (t ) 0 ] v
U ( P, t ) A( P) cos[ t kx 0 ] U ( P, t ) A( P) cos[kx t 0 ]
2
cos[ k x 2 y 2 z 0 t 0 ]
2
向（0，0，z0）点汇聚的球面波为
U * ( x, y,0) A x y z0
2 2 2
cos[k x y z0 t 0 ]
2 2 2
向（0，0，-z0）点汇聚的球面波为
U * ( x, y,0) A x 2 y 2 z0
( x, y, z) k ( x sin 1 y sin 2 z sin 3 ) 0
通常取一平面在z=0处，则该平面上的相位分布(波函数)
( x, y,0) k ( x sin 1 y sin 2 ) 0
xoy平面
z
0
如果平面波沿z向传播，其波面垂直于z轴。轴上某 一点z处的波面在t时刻的相位为
三维空间的相位分布
如果波源为O（0，0，0），波面为
( P) kr t 0
kr t 0 k (r dr ) (t dt ) 0 dr v 从原点发出的发散球面波 dt k
如果波面为
( P) kr t 0
相位保持不变！！
A(P )
振幅的空间分布
位相的空间分布 均与时间t无关
(P )
3．定态光波按波面分类 • 波面：波场空间中相位相同的曲面构成光 波的等相位面，即波面或波阵面。可根据 波面的形状将光波分类。
相位相同的空间点应满足下述方程（相同 时刻）
( P) Const.
场点
P( x, y, z) xex ye y zez
t k
相位传播的速度，相速度
波的周期性
• 时间周期性：波场中任一点的物理量，随 时间做周期变化，具有时间上的周期性 • T：时间周期；ν＝1/T：时间频率，单位 时间内变化（振动）的次数
• 空间周期性：某一时刻，波场物理量的分布， 随空间作周期性变化，具有空间上的周期性 • 波长λ：空间周期； ：空间频率， ~ 1/ 单位距离内的变化次数，波数
2
2 2v
k 2 /
( P, t ) t kx 0
2π时间内的频率，圆 频率（角频率） 2π长度内的波数，角波数 （圆波数），波矢
波的相位，与时间和空 间相关
( P, t ) kx t 0
U ( P, t ) A( P) cos[ ( P, t )]
(nm)
波 105 长 4
10 103 102 1 1A 10 1 10 10
2
(Hz)
γ射线
E (MeV)
10
22
频 率
1021 1020 1019 10 1017 1016 1015 10
14 13 18
107 光 106 子 105 能 10 4 103 10 2 10
2
cos[k x y z0 t 0 ]
2 2 2
4．光波的复振幅描述
• 由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦 或正弦函数，所以可以用复数来描述光波 的振动
~ i[ ( P ) t ] U ( P, t ) A( P)e
指数取正号
A( P)e
i ( P ) it
X
2

Y
3
1

Z
k k (cos ex cos e y cos ez )
k k (sin 1ex sin 2e y sin 3ez )
波场中一点（x,y,z)处的相位为
( x, y, z) k r 0
k k (sin 1ex sin 2e y sin 3ez ) r xex yey zez
振动取决于相位，所以振动的传播就是 相位的传播。
• 波场的量值由相位决定 • 振动的传播其实就是相位的传播，在传播 的过程中，相位保持不变。
E (r r , t t ) E (r , t )
E (r , t ) E0 ( P)cos[t kz 0 ]
k ( z z) (t t ) 0 kz t 0 z vp k z t 0 k
2．定态光波的描述
电磁波都是矢量波，应该用矢量表达式描述。但对符合上 述条件的定态光波，通常用标量表达式描述。
x
y y
x
kz
其实是在一个取定的平面内描述定态光波的 振动
定态光波（光场）的标量表达式
U ( P, t ) A( P) cos[t ( P)]
A( P) cos[ ( P) t ]
(t, z) kz t 0
t 在下一时刻， t dt
设该波面的位置为 z z dz
k
k
z
t, z t dt , z dz kz t 0 k ( z dz) (t dt ) 0
kdz dt
沿+z向传播
dz 2 V 2 dt k
~* ~ I ( P) A ( P) U ( P)U ( P)
2
5．远场条件、近轴条件
• （1） 轴上物点发出的球面波 接收屏与物平面相距较远
A( P) E0 / z E0 /[| z | 1 z ]
2 2 2
r
z
2
2
x 2 y 2
可作为平面波处理
指数上的位相因子决定了函数的周期性，每当位相因子改变 pi时，指数函数反号，这种变化时不可省略，位相因子只有 远小于pi的项才可省略。
远场条件
2 / | z | z
可以推得
z
2
2
近轴条件
远场条件包含近轴条 件 近轴条件下，轴上物点发出的球面波为
E0 x 2 y 2 ~ U ( x, y ,0) exp[ik (| z | ) i 0 ] |z| 2| z |
（1）平面波：波面是平面
• （a）振幅为常数 • （b）空间位相为直角坐标的线性函数
( P) k r 0
k x x k y y k z z 0
波面
rLeabharlann Baidu
k
k
k r Const.
满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面
r1
r2
k
波矢的方向角表示
• 在数学中常用方向余弦表示矢量的方向， 即用矢量与坐标轴间的夹角表示 • 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角 表示矢量的方向
2
2n
本章小结
1：定态光波表达式：
U ( P, t ) A( P) cos[ ( P) t ]
A(P )
振幅的空间分布 位相的空间分布
（a）振幅为常数 （b）空间位相为直角
(P )
1
量
x射线 紫外光
101 102 103 104 105 106 107 108 109
1μm 103 10 4 105 1mm 106 107 108 1m 109
1010 1011 1km 1012 1013 10
14
可见光
红外光
10 1012 1011 10 109 108
10 10
相速度

如果波面的表达式为
(t, z) kz t 0
其相速度为
dz V dt k
向-z方向传播
（2）球面波：波面是球面
振幅
A( P) a / r
空间位相
( P) kr 0
( P) kr 0 Const.
波面为球面 振幅沿传播方向衰减 从点源发出或向点源汇聚
远场条件下，轴上物点发出的球面波为
( x, y, 0) E0 exp[ik | z | i ] U 0 |z|
7．波的相位与光程
• 平面波，在一维情况下，相位为
( P) kx 0 k 0 2 2 kx nx ns 0 0
ns为介质中波的光程 相位由光程决定
e
• 定态光波的频率都是相等的，可以不写在表 达式中。 • 定态部分，即与时间无关部分为
~ i ( P) U (P) A( P)e
复振幅包含了振幅和位相，直接表示了定态光 波在空间P点的振动，或者说复振幅表示了波 在空间的分布情况。所以，凡是需要用振动描 述的地方，都可以用复振幅代表。
• 光波场在P点的强度
10
无线电波
短波
电视、调频波 标准广播 长波
7 6
10 10 4 103
5
1010 1011
1.1 光波场
• • • • • • 光是交变电磁波 波长~500nm，频率~1014Hz 从传播的角度看，是波动，是振动的传播 用速度、方向、振幅等参数描述 从物理量分布的角度看，是空间场 时间、空间是描述波的重要参量
• 波场具有空间、时间两重周期性
1.2 定态光波
• 1．定态光波 具有下述性质的波场为定态波场 • （1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 • （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化， 在空间形成一个稳定的振幅分布。
• 满足上述要求的光波应当充满全空间， 是无限长的单色波列。但当波列的持续 时间比其扰动周期长得多时，可将其当 作无限长波列处理。 • 任何复杂的非单色波都可以分解为一系 列单色波的叠加。