3.4生活中的优化问题举例 (2)

第三章第4节生活中的优化问题举例

课前预习学案

一、预习目标

了解解决优化问题的思路和步骤

二、预习内容

1．概念：

优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：

（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？

4.解决优化问题的基本思路是什么？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()

=，

y f x

根据实际问题确定函数()

=的定义域；

y f x

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.

重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

'=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）难点：在实际问题中，有()0

f x

值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

二、学习过程

1.汽油使用效率最高的问题

阅读例1，回答以下问题：

（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？

（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？

（3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？

2.磁盘最大存储量问题

阅读背景知识，思考下面的问题：

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

阅读背景知识，思考下面的问题：

（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。

（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。

（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？

三、反思总结

通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：

四、当堂检测

已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头。每养1头猪，成本增加100元，如果收入函数是R(q)= (q是猪的数量)，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可用计算器）

课后练习与提高

1.打印纸型号设计原理

某种打印纸的面积为623.7cm2，要求上下页边距分别为2.54cm，左右页边距分别为3.17cm，如果要求纵向打印，长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)？收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。

型号A

5A

4

A

3

Legal16开32开大32开B

4

B

5

宽14.82129.721.5918.4131425.718.2高2129.74235.562618.420.336.425.7

2.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能时所用材料最省？

圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？

§3.4 生活中的优化问题举例

教学目标：

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式

()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意

义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）

值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学

教学过程：

前置测评：

（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题

例1.汽油的使用效率何时最高

材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？

通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？

解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v

这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v

表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f’(90),约为0.67L.