2020高考数学逆袭：专题五解析几何

专题五解析几何
第1讲直线与圆
[全国卷3年考情分析]
(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
考点一直线的方程
1．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()
A．1或3 B.1或5
C．3或5 D.1或2
2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p 的值是()
A．24 B.20
C ．0 D.－4
3．坐标原点(0，0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，85
4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为_________________．
考点二 圆的方程
[例1] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .
(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．
1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B.⎝⎛⎭⎫－2
3，0 C ．(－2，0) D.⎝
⎛⎭⎫－2，23
2．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→
＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )
A. 5
B.6
C.7
D.22
3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为45
5
，则圆C 的标准方程为________．
考点三 直线与圆的位置关系 题型一 圆的切线问题
[例2] (1)(2019·永州模拟)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A ．8x －6y －21＝0 B.8x ＋6y －21＝0 C ．6x ＋8y －21＝0
D.6x －8y －21＝0
(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________．
题型二 直线与圆相交问题
[例3] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．
1．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y
2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，
PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )
A.⎝⎛⎭⎫12，14
B.⎝⎛⎭⎫14，12
C.⎝⎛⎭
⎫
34，0
D.⎝
⎛⎭
⎫
0，
34
2．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝
25
5
，则直线l 的方程为________________．
3．已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1―→·BA 2―→
； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．
4. 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )
A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0
B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0
C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0
D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0
[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S
【课后专项练习】
A 组
一、选择题
1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B.充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )
A ．(3，3)
B ．(2，3)
C ．(1，3)
D ．⎝
⎛⎭
⎫
1，
32
3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切 B.相交 C ．外切 D.相离
4．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[4，8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－32，32)
B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)
C ．(－22，22)
D ．[－32，3 2 ]
6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→
，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )
A ．－2 B.－1 C ．0 D.1
二、填空题
7．过点C (3，4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为________．
8．已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π
3
，则实数a ＝________．
9．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．
三、解答题
10．已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．
11．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
12．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
B组
1．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的3倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；
(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；
(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→
，求实数t 的取值范围．
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
[全国卷3年考情分析]
(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )
A.x 22＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 24＋y 2
3
＝1 D.x 25＋y 2
4
＝1 (2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线
y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆
x 23p ＋y 2
p
＝1的一个焦点，则p ＝
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P
是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A.2x ±y ＝0
B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0
D.2x ±y ＝0
1．椭圆x 25＋y 2
4＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长
最大时，△FMN 的面积是( )
A.55
B.655
C.855
D.455
2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴
的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→
|＝4，则双曲线C 的方程为( )
A.x 26－y 2
5＝1 B.x 28－y 2
12＝1 C.x 28－y 2
4＝1 D.x 24－y 2
6
＝1
3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．
考点二 圆锥曲线的性质
[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A
是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3
6
的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )
A.2
3 B.12 C.13
D.14
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→
＝0，则C 的离心率为________．
(3)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别
交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22
x D.y ＝±
32
x
2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，
过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→
，则椭圆E 的离心率为( )
A.23
B.34
C.53
D.74
3．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)有相
同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()
A.2＋1
B.3＋1
C.5＋1
D.2＋2
4．已知F1，F2是双曲线y2
a2－x2
b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的
一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．
考点三直线与圆锥曲线
题型一直线与圆锥曲线的位置关系
[例3]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p ＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求|OH| |ON|；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
题型二 直线与圆锥曲线的弦长
[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为3
2的直线l 与C 的
交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .
(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→
，求|AB |.
1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与
椭圆C 有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－1
4，0，求线段AB 长度的取值范围．
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－1
2上的动点，过D 作C 的两条
切线，切点分别为A ，B .
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，5
2为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．
3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，3
2，点M 是
x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若AM ―→＝2MB ―→
，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47
相切于点N ，求|MN |.
【课后专项练习】
A 组
一、选择题
1．(2019·济南模拟)已知双曲线x 29－y 2
m ＝1的一个焦点F 的坐标为(－5，0)，则该双曲线
的渐近线方程为( )
A ．y ＝±4
3x
B.y ＝±34x
C ．y ＝±5
3x
D.y ＝±35
x
2．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )
A.552＋2
B.522＋1
C.522－2
D.522－1
3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 2
2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O
为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )
A.324
B.322
C.22
D.32
4．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，
以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )
A. 2
B.3 C ．2 D.5
5．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的
短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1|
|AF 2|
＝( )
A.13
B.12
C.23
D.3
6．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF ―→＝3FB ―→，则k ＝( )
A.1
B.2
C.3
D.2
二、填空题
7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．
8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27
＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．
9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C
交于A ，B 两点，且AF ―→＝3FB ―→，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四
边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．
三、解答题
10．(2019·天津高考)设椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短
轴长为4，离心率为
5 5.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．
12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点
D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点
E ，连接D
F 1.
已知DF 1＝52
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求点E 的坐标．
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.
2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0)．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最
大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．
3.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52
|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)若点M ⎝⎛⎭
⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．
4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P 在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．
第3讲圆锥曲线的综合问题
[全国卷3年考情分析]
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：
(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明．
第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
考点一 圆锥曲线中的最值问题
[例1] (2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM
的斜率之积为－12
.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .
①证明：△PQG 是直角三角形；
②求△PQG 面积的最大值．
(2019·河北省九校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM ―→·PN ―→的最小值．
考点二 圆锥曲线中的范围问题
[例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝⎛⎭⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的
取值范围．
1．(2019·洛阳模拟)已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．
(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；
(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2
的取值范围．
2．已知A ，B 分别为曲线C ：x 2a 2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .
(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB ︵的三等分点，试求出点M 的坐标．
(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43
时，求椭圆的离心率的取值范围．
考点三 圆锥曲线中的证明问题
[例3] (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22
＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .
(2019·福州市第一学期抽测)已知点A ⎝
⎛⎭⎫1，－32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，O 为坐标原点，直线l ：x a 2－3y 2b 2＝1的斜率与直线OA 的斜率乘积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)不经过点A 的直线y ＝32
x ＋t (t ≠0且t ∈R )与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：|AM |＝|AN |.
【课后专项练习】
1．(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为
2
2，右焦点
为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接
AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.
2．(2019·广东六校第一次联考)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22
，点(－2，1)在椭圆D 上．
(1)求椭圆D 的方程；
(2)过椭圆D 内一点P (0，t )的直线l 的斜率为k ，且与椭圆D 交于M ，N 两点，设直线OM ，ON (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk ，求实数λ的取值范围．
3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l 1与x 轴交于点M ，直线l 2：4x －3y ＋6＝0与抛物线C 没有公共点，动点P 在抛物线C 上，点P 到l 1，l 2的距离之和的最小值等于2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点M 的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B ，设MA ―→＝λMB ―→ ⎝⎛⎭⎫13≤λ<1，
求|AB |的取值范围．
4．(2019·重庆七校联考)椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为
1
2，其左焦点到点P(2，
1)的距离为10.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP 平分．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP的面积取最大值时，直线l的方程．
第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
考点一 定点问题
[例1] (2019·郑州市第一次质量预测)设M 点为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x
轴上的投影为N .动点P 满足2PN ―→＝3MN ―→，动点P 的轨迹为E .
(1)求E 的方程；
(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右
顶点)，且满足|DA ―→＋DB ―→|＝|DA ―→－DB ―→|，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．
1．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
2．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆x 2＋y 2＝45
相切于点M ⎝⎛⎭⎫25，45. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且P A ―→·PB ―→＝0，求证：直线l 过定
点．
考点二定值问题
[例2]已知椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，过A(2，0)，B(0，1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y2＝4x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点．
(1)求点M到其准线的距离；
(2)求证：直线AB的斜率为定值．
考点三探索性问题
[例3](2019·重庆市学业质量调研)如图，已知椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1(－2，0)及F2(2，0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记△GF 1D的面积为S1，△OED(O为坐标原点)的面积为S2.试
问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？请说明理由．
(2019·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【课后专项练习】
1．(2019·开封模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，△MF 1F 2为等腰直角三角形，且其面积为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．
2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12
，P 是C 上的一个动点，且△F 1PF 2面积的最大值为4 3. (1)求C 的方程；
(2)设C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线P A ，PB 分别交直线x ＝2于M ，N 两点，过点F 1作以MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．
3．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．
(1)求p 的值；
(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN ―→＝MA ―→＋MB ―→，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．。