第四章轴心受力构件解剖
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第四章 轴心受力构件
一、轴心受力构件的强度和刚度 二、轴心受压构件的整体稳定 三、轴心受压构件的局部稳定 四、实腹式轴心受压柱的设计 五、格构式轴心受压构件的截面设计 六、轴心受压柱的柱头和柱脚
轴心受力构件的应用
桁架
网架
塔架
图 4-1 轴心受力构件的截面形式 (a)热轧型钢截面；(b)冷弯薄壁型钢截面；(c)实腹式组合截面；(d)格构式组合截面
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于M N cr y，得：
d2y
N cr
y
N cr
d2y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y1
N cr
GA
N cr EI
y
0
令k 2
N cr
，则：
EI1 N cr
GA
y k 2 y 0
对于常系数线形二阶齐次方程： y k 2 y 0
d类
板件宽厚比>20
b类
b类
板件宽厚比≤20
c类
c类
截面为双轴对称或极对称的构件
x l0x / ix y l0 y / iy
式中 l0x、l0y—构件对主轴 x 和 y 的计算长度； ix、iy—构件截面对主轴 x 和 y 的回转半径； 对双轴对称十字形截面构件，λx 或λy 取值不得小于 5.07b/t (其中 b/t 为悬臂板件宽厚比)
表 4-3 轴心受压构件的截面分类(板厚 t<40 mm)
截面形式
对x 轴 y对 轴
轧制
a类 a类
轧制， b / h ≤0.8
a类 b类
b/h
轧支，
＞0.8
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焊接，翼缘为焰切边
焊接
轧制 轧制， 焊接(板件宽厚比大于 20)
焊接
格构式
焊接,板件边缘为轧制或剪切
轧制，等边角钢
b类 b类
轧制或焊接 轧制截面和翼缘 为焰切边的焊接 截面
NE
2 EI
l2
2 EA 2
(4-4)
l / i, i I / A
(4-5)
式中 NE ——欧拉临界力；E ——材料的弹性模量；
A ——压杆的截面面积； ——压杆的长细比；
i ——截面的回转半径；I ——截面惯性矩。
2、轴心受压构件的整体稳定计算
轴心受压构件所受应力应不大于整体稳定的临界应力，考虑抗力
焊接、板件 边 缘焰切
焊接，翼缘为轧制或剪切
b类 c类
焊接， 板件宽厚比≤20
c类 c类
表 4-4 轴心受压构件的截面分类(板厚 t≥40 mm)
截面形式
对x 轴 y对 轴
轧制工字形或 H 形截面
t<80mm t≥80mm
b类
c类
c类
d类
焊接工形截面 焊接箱形截面
翼缘为焰切边
b类
b类
翼缘为轧制或剪切边 c 类
0
图 4-6 有初弯曲和初偏心的轴压杆图
v 4-9 轴心压杆的压力－挠度曲线
【例 4-2】 验算如图 4-11(a)所示结构中两端铰接的轴心受压柱 AB 的整体稳定。柱所承受的压力设计值N =1000kN，柱的长度为 4.2 m。 在柱截面的强轴平面内有支撑系统以阻止柱的中点在 ABCD 的平面内 产生侧向位移，见图 4-11(a)。柱截面为焊接工字形，具有轧制边翼 缘，其尺寸为翼缘 2—1 0×2 20，腹板 1—6×200，见图 4-11(b)。 柱由 Q235 A 钢制作。
分项系数 R 后，即为
N A
cr ≤ R
cr
fy
• fy
R
f
轴心受压柱应按下式计算整体稳定
N
A
≤
f
(4-8)
式中 N——轴心受压构件的压力设计值；A——构件的毛截面面积；
——轴心受压构件的稳定系数；f——钢材的抗压强度设计值。
a)
N
eo b) N 0
l l
x y0 y
x
x y
x
y
y
N
N eo
y y1 y2
l
dy2 V dM
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G 材料弹性模量和剪变模量；
与截面形状有关的系数。
Ncr
Ncr
因为： d 2 y2 d 2M
dx 2 GA dx 2
所以： d 2 y d 2 y1 d 2 y2 M d 2 M
柱头
柱头
01l 1l 01l =l1
柱身 柱脚
缀 板
缀 条
柱身 柱脚
y
(a)
x y
x
实腹式柱
x（虚轴）
x （虚轴）
y
y
y
y
（实轴）
（实轴）
x
x
(b) 格构式柱 （缀板式）
(c) 格构式柱 （缀条式）
格构式构件的常用截面形式
格构式构件的缀材布置 （a）缀条柱；（b）缀板柱
一、轴心受力构件的强度和刚度
1、强度计算
σ N ≤f An
2、刚度计算
l0 ≤
i
项次
1 2 3
表 4-1 受拉构件的容许长细比
承受静力荷载或间接承受
构件名称
动力荷载的结构 有重级工作制吊车的
一般建筑结构 厂房
桁架的杆件
350
250
吊车梁或吊车桁架以下的柱
300
200
间支撑
其他拉杆、支撑、系杆等
400
350
(张紧的圆钢除外)
.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
A 稳 定 平 衡 状 态
N
B 随 遇 平 衡 状 态
Ncr
C 临 界 状 态
l
N
N
Ncr
下面推导临界力Ncr
设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形为 y2，总变形y=y1+y2。
由材料力学知：
Ncr
d 2 y1 M
dx 2
EI
剪力V产生的轴线转角为：
其通解为： y Asin kx B cos kx
引入边界条件：x 0，y 0，得B 0，从而：
y Asin kx
Ncr
再引入边界条件：x l，y 0，得：
Asin kl 0
y
解上式，得：
y1 y2
Ncr
A 0 不符合杆件微弯的前提
M=Ncr·y
l
条件，舍去。
x
sin kl 0 kl n（n 1，2，3）
取n 1，得：kl 即：k 2 2 l 2
Ncr Ncr
因：k 2
N cr
2
EI 1 N cr l 2
GA
故，临界力N cr：
2 EI
1
N cr l 2 2 EI
1
l 2 GA
临界应力 cr：
cr
N cr A
2E
1
2
1
2 EA
2
GA
(4 3) (4 4)
1、理想轴心压杆的整体稳定 （欧拉临界力 ）
直接承受动 力荷载的结构
250
项次 1 2
表 4-2 受压构件的容许长细比 构件名称
柱、桁架和天窗架中的杆件 柱的缀条、吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑 支撑（吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑除外）
用以减少受压构件长细比的杆件
容许长细比 150 200
二、轴心受压构件的整体稳定
图 4-4 轴心压杆的屈曲变形 （a） 弯曲屈曲；(b) 扭转屈曲；(c)弯扭屈曲
一、轴心受力构件的强度和刚度 二、轴心受压构件的整体稳定 三、轴心受压构件的局部稳定 四、实腹式轴心受压柱的设计 五、格构式轴心受压构件的截面设计 六、轴心受压柱的柱头和柱脚
轴心受力构件的应用
桁架
网架
塔架
图 4-1 轴心受力构件的截面形式 (a)热轧型钢截面；(b)冷弯薄壁型钢截面；(c)实腹式组合截面；(d)格构式组合截面
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于M N cr y，得：
d2y
N cr
y
N cr
d2y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y1
N cr
GA
N cr EI
y
0
令k 2
N cr
，则：
EI1 N cr
GA
y k 2 y 0
对于常系数线形二阶齐次方程： y k 2 y 0
d类
板件宽厚比>20
b类
b类
板件宽厚比≤20
c类
c类
截面为双轴对称或极对称的构件
x l0x / ix y l0 y / iy
式中 l0x、l0y—构件对主轴 x 和 y 的计算长度； ix、iy—构件截面对主轴 x 和 y 的回转半径； 对双轴对称十字形截面构件，λx 或λy 取值不得小于 5.07b/t (其中 b/t 为悬臂板件宽厚比)
表 4-3 轴心受压构件的截面分类(板厚 t<40 mm)
截面形式
对x 轴 y对 轴
轧制
a类 a类
轧制， b / h ≤0.8
a类 b类
b/h
轧支，
＞0.8
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焊接，翼缘为焰切边
焊接
轧制 轧制， 焊接(板件宽厚比大于 20)
焊接
格构式
焊接,板件边缘为轧制或剪切
轧制，等边角钢
b类 b类
轧制或焊接 轧制截面和翼缘 为焰切边的焊接 截面
NE
2 EI
l2
2 EA 2
(4-4)
l / i, i I / A
(4-5)
式中 NE ——欧拉临界力；E ——材料的弹性模量；
A ——压杆的截面面积； ——压杆的长细比；
i ——截面的回转半径；I ——截面惯性矩。
2、轴心受压构件的整体稳定计算
轴心受压构件所受应力应不大于整体稳定的临界应力，考虑抗力
焊接、板件 边 缘焰切
焊接，翼缘为轧制或剪切
b类 c类
焊接， 板件宽厚比≤20
c类 c类
表 4-4 轴心受压构件的截面分类(板厚 t≥40 mm)
截面形式
对x 轴 y对 轴
轧制工字形或 H 形截面
t<80mm t≥80mm
b类
c类
c类
d类
焊接工形截面 焊接箱形截面
翼缘为焰切边
b类
b类
翼缘为轧制或剪切边 c 类
0
图 4-6 有初弯曲和初偏心的轴压杆图
v 4-9 轴心压杆的压力－挠度曲线
【例 4-2】 验算如图 4-11(a)所示结构中两端铰接的轴心受压柱 AB 的整体稳定。柱所承受的压力设计值N =1000kN，柱的长度为 4.2 m。 在柱截面的强轴平面内有支撑系统以阻止柱的中点在 ABCD 的平面内 产生侧向位移，见图 4-11(a)。柱截面为焊接工字形，具有轧制边翼 缘，其尺寸为翼缘 2—1 0×2 20，腹板 1—6×200，见图 4-11(b)。 柱由 Q235 A 钢制作。
分项系数 R 后，即为
N A
cr ≤ R
cr
fy
• fy
R
f
轴心受压柱应按下式计算整体稳定
N
A
≤
f
(4-8)
式中 N——轴心受压构件的压力设计值；A——构件的毛截面面积；
——轴心受压构件的稳定系数；f——钢材的抗压强度设计值。
a)
N
eo b) N 0
l l
x y0 y
x
x y
x
y
y
N
N eo
y y1 y2
l
dy2 V dM
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G 材料弹性模量和剪变模量；
与截面形状有关的系数。
Ncr
Ncr
因为： d 2 y2 d 2M
dx 2 GA dx 2
所以： d 2 y d 2 y1 d 2 y2 M d 2 M
柱头
柱头
01l 1l 01l =l1
柱身 柱脚
缀 板
缀 条
柱身 柱脚
y
(a)
x y
x
实腹式柱
x（虚轴）
x （虚轴）
y
y
y
y
（实轴）
（实轴）
x
x
(b) 格构式柱 （缀板式）
(c) 格构式柱 （缀条式）
格构式构件的常用截面形式
格构式构件的缀材布置 （a）缀条柱；（b）缀板柱
一、轴心受力构件的强度和刚度
1、强度计算
σ N ≤f An
2、刚度计算
l0 ≤
i
项次
1 2 3
表 4-1 受拉构件的容许长细比
承受静力荷载或间接承受
构件名称
动力荷载的结构 有重级工作制吊车的
一般建筑结构 厂房
桁架的杆件
350
250
吊车梁或吊车桁架以下的柱
300
200
间支撑
其他拉杆、支撑、系杆等
400
350
(张紧的圆钢除外)
.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
A 稳 定 平 衡 状 态
N
B 随 遇 平 衡 状 态
Ncr
C 临 界 状 态
l
N
N
Ncr
下面推导临界力Ncr
设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形为 y2，总变形y=y1+y2。
由材料力学知：
Ncr
d 2 y1 M
dx 2
EI
剪力V产生的轴线转角为：
其通解为： y Asin kx B cos kx
引入边界条件：x 0，y 0，得B 0，从而：
y Asin kx
Ncr
再引入边界条件：x l，y 0，得：
Asin kl 0
y
解上式，得：
y1 y2
Ncr
A 0 不符合杆件微弯的前提
M=Ncr·y
l
条件，舍去。
x
sin kl 0 kl n（n 1，2，3）
取n 1，得：kl 即：k 2 2 l 2
Ncr Ncr
因：k 2
N cr
2
EI 1 N cr l 2
GA
故，临界力N cr：
2 EI
1
N cr l 2 2 EI
1
l 2 GA
临界应力 cr：
cr
N cr A
2E
1
2
1
2 EA
2
GA
(4 3) (4 4)
1、理想轴心压杆的整体稳定 （欧拉临界力 ）
直接承受动 力荷载的结构
250
项次 1 2
表 4-2 受压构件的容许长细比 构件名称
柱、桁架和天窗架中的杆件 柱的缀条、吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑 支撑（吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑除外）
用以减少受压构件长细比的杆件
容许长细比 150 200
二、轴心受压构件的整体稳定
图 4-4 轴心压杆的屈曲变形 （a） 弯曲屈曲；(b) 扭转屈曲；(c)弯扭屈曲