2017秋九年级数学上册小专题八构造基本图形解直角三角

小专题(八) 构造基本图形解直角三角形的实际问题

方法归纳：

1．解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．

2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：

类型1 构造单一直角三角形解决实际问题

1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A 为54°，∠B 为36°，斜边AB 的长为2.1 m ，BC 边上露出部分的长为0.9 m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38)

解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.

在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB

， 则BC ＝AB·sin A ＝2.1sin 54°≈2.1×0.81＝1.701，

则CD ＝BC －BD ＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m )．

答：CD 的长约为0.8 m .

2．(湘潭中考)为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD.已知四边形ABED 是正方形，∠DCE ＝45°，AB ＝100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？(结果保留整数，AB ＝2≈1.41)

解：由题意可知：DE⊥BC 于E ，四边形ABED 是正方形， ∴AD＝DE ＝BE ＝AB ＝100米．

∵在Rt △DEC 中，∠C＝45°，

∴EC＝DE ＝100米，DC ＝2DE≈1.41×100＝141(米)．

∴四边形ABCD 的周长为100＋100＋200＋141＝541(米)．

∴小胖的速度为(5×541)÷20≈135(米/分)．

答：小胖同学该天晨跑的平均速度约为135米/分．

类型2 背靠背三角形

3．(邵阳中考)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm .温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)．

解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC 40

≈0.97， 解得OC≈38.8.

在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ＝38.8BC ≈1.733

， 解得BC≈67.3.

答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm .

4．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°方向，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该

船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离．(参考数据：sin 36.9°≈35

，tan 36.9°≈3

4，sin 67.5°≈1213，tan 67.5°≈125

)

解：设BC ＝x 海里，由题意，易得

AB ＝21×(14－9)＝105(海里)，

则AC ＝(105－x)海里．

在Rt △BCP 中，tan 36.9°＝PC BC

， ∴PC＝BC·tan 36.9°＝34

x. 在Rt △ACP 中，tan 67.5°＝PC AC

， ∴PC＝AC·tan 67.5°＝125

(105－x)． ∴34x ＝125

(105－x)．解得x ＝80. ∴PC ＝34

x ＝60海里． ∴PB＝PC 2＋BC 2

＝100海里．

答：此时轮船所处位置B 与城市P 的距离约为100海里．

类型3 母子三角形

5．(张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 点观测到我渔船C 在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 点，观测我渔船C 在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C 的距离最近？(渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)

解：作CD⊥AB，交AB 的延长线于D ，则当渔政310船航行到D 处时，离渔船C 的距离最近．设CD ＝x ，

在Rt △ACD 中，∵∠ACD＝60°，tan ∠ACD＝AD CD

，∴AD＝3x. 在Rt △BCD 中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，

∴BD＝CD ＝x.

∴AB＝AD －BD ＝3x －x ＝(3－1)x.

设渔政船从B 航行到D 需要t 小时，则AB 0.5＝BD t

， ∴（3－1）x 0.5＝x t

. ∴t＝0.5

3－1＝3＋14

. 答：渔政310船再航行

3＋14小时，离渔船C 的距离最近．

6．(湘西中考)测量计算是日常生活中常见的问题．如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°.(可用参考数据：sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2)

(1)若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；

(2)若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．

解：(1)由题意，得∠ACD＝90°，∠BDC＝45°，

∴BC＝CD ＝20.

答：建筑物BC 的高度约为20米．

(2)设CD ＝x 米，同(1)得BC ＝CD ＝x 米，AC≈1.2x 米，

∵AB＝5米，

∴x＋5＝1.2x ，解得x ＝25.

∴BC＝25米．

答：建筑物BC 的高度约为25米．