常微分方程试卷及答案

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《常微分方程》考试参考答案(A卷)

《常微分方程》考试参考答案(A卷)

《常微分方程》考试参考答案(A卷)《常微分方程》考试参考答案(A 卷)一、填空题(每空2分,共30分)1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ,使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题(每题2分,共10分)1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题(每题15分,共60分)1、解:231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为:222(1)(1)x y cx ++=2、解:先求30dx x dt+=的通解:33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法,令原方程解为3()t x c t e -= 解得:3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为:533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解:先求对应齐线性方程:(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为:1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解,这里:2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根,即原方程有形如:2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有:2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为:21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解:令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为:11sin 242y t t c =++ 5、解:由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分:选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数,则实数 c 的取值范围是:A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案:A) c > 1/4解析:当 f(x) 是增函数时,f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c,求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时,f'(x) > 0,即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为:A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案:A) y = (1/3)x^3 + x + C解析:对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分,得到 y = (1/3)x^3 + x + C,其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3),则 f'(x) = ?A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案:B) 2cos(2x - π/3)解析:根据链式法则,对sin(2x + π/3) 求导,得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x,g(x) = ln(x),则 f(g(2)) = ?A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案:A) e^2解析:首先求 g(2) = ln(2),然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算,得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪一项不是常微分方程的特点?A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案:A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数,下列哪一项不是解的性质?A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案:D3. 一阶线性微分方程的一般形式是:A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案:A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \),那么它的通解是:A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

《常微分方程》题库及答案

《常微分方程》题库及答案

《常微分方程》题库及答案一.求解下列方程1.求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2.求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解; 3.解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩; 4.求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解; 5.求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解; 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解; 7.求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程; 8.求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解; 9.求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解; 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解; 11.求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程; 12.求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。

14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。

15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。

16. 求方程y x e dxdy-=之通解。

17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。

18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。

二.1.解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y :2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。

常微分方程期末试题答案

常微分方程期末试题答案

一、填空题(每空2 分,共16分)。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 .22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3.连续是保证方程初值唯一的 充分 条件.),(y x f y '),(d d y x f xy=4.方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5.方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6.变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17.二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8.方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题(每小题 3 分,共 15分)。

9.一阶线性微分方程的积分因子是( A ).d ()()d yp x y q x x+=(A )(B )(C )(D )⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10.微分方程是( B )0d )ln (d ln =-+y y x x y y (A )可分离变量方程(B )线性方程(C )全微分方程(D )贝努利方程11.方程x (y 2-1)d x+y (x 2-1)d y =0的所有常数解是( C ).(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12.阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).n (A )构成一个线性空间(B )构成一个维线性空间1-n(C )构成一个维线性空间(D )不能构成一个线性空间1+n 13.方程( D )奇解.222+-='x y y (A )有一个 (B )有无数个 (C )只有两个(D )无三、计算题(每小题8分,共48分)。

常微分方程试卷答案

常微分方程试卷答案

常微分方程试卷答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B一、 选择题(3分⨯8=24分) 1、( A )是一阶线性微分方程。

A .y y x ='2B .2y y =' C .x y y +='1D . ye y ='2、( B )不是变量可分离微分方程。

A .xyy ++='11 B .1--='y x y y C . 022=+dy x dx y D .0=+x dy y dx3、下列等式中为微分方程的是 ( D )A .()'='+'uv v u v uB .()dx e y d e dx dy x x+=+ C. ()'''v u v u +=+ D.x e y xsin '+= 4、向量组在区间I 上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I 上为零的( C )A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D .既不充分也不必要条件5、若方程0=-''y y λ存在满足()()010==y y 的非零解,则λ为( B )A .2πλ=B .2πλ-=C .πλ=D .πλ-=6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是( B ) A .)(y N x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ B .)(x N x Ny M ϕ=∂∂-∂∂ C .)(y M x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ D .)(y M xNy M ϕ=∂∂-∂∂ 7、微分方程082=-'-''y y y 的通解为 ( B ) A .x x e c e c y 2241--= B .x x e c e c y 2241+=- C .()2241c e e c y x x ++=- D . x x e e y 243-=-8、方程212-='y y 的通过点(0,0)的解的最大存在区间是( A )A .(-∞,+∞)B .(-2,+∞)C .(-∞,2)D .(-2,2) 二、求解方程0)(42=++dx y x y xdy 。

第七章常微分方程练习题(含答案)

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章 常微分方程一、单项选择题1.微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是( b )A.4阶 B .3阶 C .2阶 D .1阶2.微分方程222y x dxdy x +=是( b ) A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3.下列方程中,是一阶线性微分方程的是( c )A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4.方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是( a )A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25.微分方程y y x 2='的通解为( c )A .2x y =B . c x y +=2C . 2cx y =D .0=y6.微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 ( a )A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8.微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是( a )A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9.微分方程2y xy '=的通解为( c )A .2x y e C =+B . x y Ce =C . 2x y Ce =D .22x y Ce =二、填空题1.微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____;2.微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=; 3.微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=;4.微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<; 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰; 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

常微分方程答案

常微分方程答案

《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题(每空5分)12、 z=34、5、二、计算题(每题10分)1、这是n=2时的伯努利不等式,令z=,算得代入原方程得到,这是线性方程,求得它的通解为z=带回原来的变量y,得到=或者,这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.2、解:积分:故通解为:3、解:齐线性方程的特征方程为,,故通解为不是特征根,所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题(每题15分)1、证明:令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。

同样如果以(t)表示第二列,我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。

因此是解矩阵。

又因为det=-t故是基解矩阵。

2、证明:(1),(t- t)是基解矩阵。

(2)由于为方程x=Ax的解矩阵,所以(t)也是x=Ax的解矩阵,而当t= t时,(t)(t)=E, (t- t)=(0)=E. 故由解的存在唯一性定理,得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题:(每小题3分,10×3=30分)1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解:(每小题8分,8×5=40分)1、解:将方程变形为………(2分)令,于是得……(2分)时,,积分得从而…(2分)另外,即也是原方程的解………(2分)2、解:由于……………………(3分)方程为恰当方程,分项组合可得…………(2分)故原方程的通解为……(3分)3、解:齐线性方程的特征方程为特征根…(2分)对于方程,因为不是特征根,故有特解…(3分)代入非齐次方程,可得.所以原方程的解为…(3分)4、解:线性方程的特征方程,故特征根…………………(2分)对于,因为是一重特征根,故有特解,代入,可得……(2分)对于,因为不是特征根,故有特解,代入原方程,可得…(2分)所以原方程的解为…(2分)5、解:当时,方程两边乘以,则方程变为…(2分),即于是有,即……(3分)故原方程的通解为另外也是原方程的解. …(3分)三、解:, ,解的存在区间为…(3分)即令……(4分)又误差估计为:(3分)四、解:方程组的特征方程为特征根为,(2分)对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…(3分)原方程组的的基解矩阵为…………………(2分)………(3分)五、证明题:(10分)证明:设,是方程的两个解,则它们在上有定义,其朗斯基行列式为…………………(3分)由已知条件,得…………………(2分)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义,存在不全为零的常数,使得,由于,可知.否则,若,则有,而,则,这与,线性相关矛盾.(3分)故(2分)《常微分方程》测试题3答案1.辨别题(1)一阶,非线性(2)一阶,非线性(3)四阶,线性(4)三阶,非线性(5)二阶,非线性(6)一阶,非线性2.填空题(1).(2).(3).(4).3.单选题(1).B (2).C (3).A (4).B (5). A (6). B 7. A 4. 计算题(1).解当时,分离变量得等式两端积分得即通解为(2).解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程,确定出原方程的通解为+(3).解由于,所以原方程是全微分方程.取,原方程的通积分为即(4). 令,则,代入原方程,得,当时,分离变量,再积分,得,即:5. 计算题令,则原方程的参数形式为由基本关系式,有积分得得原方程参数形式通解为5.计算题解方程的特征根为,齐次方程的通解为因为不是特征根。

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分,共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程:S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程:有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分,共16分)1.设f(x,y)及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞,且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分,共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题(共45分)1.解:将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解:令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解:这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解:方程改写为这是伯努利方程,令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=(At+B),代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为:S(t)=6.解:系数矩阵A=则,而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解:因故x1=1,x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程,得化简得*这里R(X)= , 显然(当时)方程组*中,线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题(每小题8分,共16分)1.证明:若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之,若仅有依赖于x的积分因子。

数学系常微分方程期末试卷及答案

数学系常微分方程期末试卷及答案

数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程:$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。

2.求通过点(0,1)的特解。

3.求满足初值条件y(0)=2的特解。

解答:1.首先对方程进行整理得到:$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程,我们可以使用常数变易法求其通解。

设通解为y=y(y)y(y),代入原方程中,得到:$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到:$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分,得到:$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到:$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$,对左侧进行积分得到:$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中,y1和y2为积分常数。

对方程两边整理得到:$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。

由于y和y的乘积等于y,因此通解为:$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1),即y(0)=1的特解。

将y=0和y=1代入通解中,得到:1=0+yy(0)由此得到y=1,特解为:$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。

将y=0和y=2代入通解中,得到:2=0+yy(0)由此得到y=2,特解为:$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程:$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。

(完整版)常微分方程试题及答案

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第十二章 常微分方程(A)一、是非题1.任意微分方程都有通解。

( X )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O )4.函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

(O ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X )7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O )8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9.221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3.x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4.x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6.微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

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常微分方程练习试卷一、填空题。

1.方程 x 3 d2x 10 是阶(线性、非线性)微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ,能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设 常 系 数 方程 yy*2 xxx,则此方程的系数ye x 的 一个 特解 y ( x) eexe,, .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的,则 A(t ).8. 方程组 x '2 0.0 x 的基解矩阵为59. 可用变换 将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2.求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。

3. 求解方程 x2( )dt dt4.用比较系数法解方程 . .5.求方程y y sin x 的通解.6.考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程,并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ,求dXA X7.设 A,,试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵,求证:存在一个非奇怪的常数矩阵 C ,使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解,而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解,试用逐渐迫近法证明:在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证:假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解,那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。

(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理

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第十二章 常微分方程(A)一、是非题1.任意微分方程都有通解。

( X )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O ) 4.函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。

( O )6.y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9.221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3.x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4.x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6.微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

常微分方程A卷及答案

常微分方程A卷及答案

安 庆 师 范 学 院《常微分方程》A 卷 一、判断题(8分,每题2分)1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。

( )2、函数221c x e c y +=是微分方程02=-'-''y y y 的通解。

( )3、阶线性齐次微分方程的个解12(),(),,()n x t x t x t 在],[b a 上线性无关的充要条件是()0,[,]W t t a b ≠∈。

( )4、设)(t Φ为X t A X )(='的基解矩阵,则)(t ψ为其基解矩阵存在阶常数矩阵,使C t t )()(Φ=ψ。

( )二、选择题(10分,每题2分)1、 微分方程24()cos y y y y ''''''+-=是( )。

A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程C 四阶非线性方程D 四阶线性方程2、 下列方程中为齐次方程的是 ( )。

A ()y xy y ϕ''=+B tany xy y x x '=+C ()y xy f y '''=+D cos cos ydx xdy = 3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个( )维线性空间。

AB 1n +C 1n -D 2n +4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的( )条件。

A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既不是充分也不是必要条件 5. 方程dx y dt dy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的奇点(0,0)的类型是 ( )。

A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点三、填空题(12分,每空2分)1、向量函数12(),(),,()n X t X t X t 是线性方程组()X A t X '=的基本解组的充要条件是:(1);(2)。

2、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy+=存在只与有关而与无关的积 分因子的充分必要条件是。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x,则此方程的系数α=-1,β=2,γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t),则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1,1,-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2),则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2),切点为(0,0),切线方程为y=kx,点(1,0)的连线斜率为-1/k,因此k=-1,曲线方程为y=-x/(1+x)。

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2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题(每题4分,共20分)1. 形如)()('x Q y x P y += ()(),(x Q x P 连续)的方程是 一阶线性微分 方程,它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3. 形如1111110n n nn n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.4. 2(1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件:x =0,y =1的特解11ln 1y x=++5.5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解(每题5分,共30分) 1.dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u ,则dx dy =dxdu-1 (3)dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5)2.()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解:两边同乘以y x 2得:()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)()()05324=+y x d y x d故方程的通解为:c y x y x =+5324 (5)3.2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解:令p dxdy=,则2p x y +=, 两边对x 求导,得dxdp pp 21+=pp dx dp 21-=, (3)解之得 ()c p p x +-+=21ln 2,所以()c p p p y +-++=221ln 2, (4)且y=x+1也是方程的解,但不是奇解. (5)4. 04)5(='''-x x解:特征方程0435=-λλ有三重根0=λ,42λ=,52λ=- ............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=- . (5)5. 4523x x x t ''''''--=+解:特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-=齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根,故可以取特解行如2xAt Bt =+%代入原方程解得A=1425,B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6. 2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解: 原方程可化为ln dy y y dx x= ………………………1 分离变量可得ln dy dx y y x= ...........................................................3 两边积分可得ln y cx = ...........................................................4 将初值代入上式求得方程的解: ln 2y x = . (5)二、求下列方程(组)的通解(每题10分,共30分)1.求一曲线,使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解: 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点,则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为:dyy xdx - ……………………….3 由题意得 dyy xx dx-= 即11dy y dx x=- 也即 ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ,得2ydx xdy dxx x-+=- ………………….5 即()ln yd d x x=- (7)即ln y cx x x =+ (10)为方程的解。

2. '2'43x x y y x y =+⎧⎨=+⎩ 满足初值条件(0)3(0)3x y =⎧⎨=⎩解:方程组的特征值125, 1λλ==-, (2)对应特征值15λ=的特征向量12u u u ⎛⎫= ⎪⎝⎭应满足11242()042u A E u u λ-⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意常数0α≠, 2u αα⎛⎫= ⎪⎝⎭, 取1α=, 得12u ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (4)对应特征值21λ=-的特征向量12v v v ⎛⎫= ⎪⎝⎭应满足12222()044v A E v v λ--⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对任意常数0β≠, v ββ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 取1β=, 得11v ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (6)所以基解矩阵为: 55()2tt tt e e t ee φ--⎛⎫= ⎪-⎝⎭……………………….8 510511333()()()213233tt tt e e t t t ee ϕφφη---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭55551211333312113333t t t t t t t t e e e e e e e e ----⎛⎫+- ⎪=⎪ ⎪-+⎪⎝⎭33⎛⎫ ⎪⎝⎭=5524t t tt e e e e --⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ (10)3.求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解. 解: 令0()0x ϕ=,于是221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰ (5)2234520111433()[213()],1525xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰ (10)五、应用题(10分)33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至13v =米/秒。

确定发动机停止2分钟后艇的速度。

假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

解:dvF ma mdt==,又1F k v =,由此 1dvmk v dt= 即dvkv dt= ………………….5 其中1k k m=,解之得 ln v kt c =+ 又0t =时,5v =;2t =时,3v =。

故得 13ln 205k =,ln5c = 从而方程可化为 2035()5t v = (7)当260120t =⨯=时,有 120203(20)5()0.233285v =⨯=米/秒 (8)即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

(10)六、证明题 (10分)1、试证: 非齐次线性微分方程组的叠加原理:即: 设12(),()x t x t 分别是方程组)()(1't f x t A x += )()(2't f x t A x +=的解,则)()(21t x t x +是方程组)()()(21't f t f x t A x ++=的解.证明:)()(1't f x t A x += (1))()(2't f x t A x += (2) 分别将)(),(21t x t x 代入(1)和(2) 则 )()(11'1t f x t A x +=)()(2'2t f x t A x += (5)则)()()]()()[(2121'2'1t f t f t x t x t A x x +++=+)()()]()()[()]()([2121'21t f t f t x t x t A t x t x +++=+令)()(21t x t x x +=即证 )()()(21't f t f x t A x ++= (10)2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 B 卷答案理学 院 年级 信息与计算科学 专业一、填空题(每题4分,共20分)1. 0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是M Ny x∂∂=∂∂;其通解可用曲线积分表示为(,)(,)M x y dx N M x y dx dy c y ⎡⎤∂+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰. 2.方程),(y y x y '+'=φ )(可微φ 叫 克莱罗 方程,其通解是()y cx c ϕ=+,其奇解是 ()0,(),x p y xp p ϕϕ'+=⎧⎨=+⎩.3. 形如24y y x ''-=的方程是 2 阶 非齐次 (“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为 2, 2- .4. 若 )(),(t t ψΦ是同一线性方程 X t A dtdX)(=的基解方阵,则它们间有关系 ()(), t C t C Φ=ψ为可逆矩阵 . 5.5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解(每题5分,共30分)1. 32x y x y dx dy += 解: 令u xy= …………….1 则:21u x u dx du x u dx dy +=+=即21u x dx du x =得到22x dxu du =故c xu +-=-11即211xx c y += (4)另外0=y 也是方程的解。

. …………………….5 2.dxdy=x y sin + 解: y = dx e ⎰(⎰x sin dxe -⎰c dx +) (3)=x e [-21e x-(x x cos sin +)+c] =c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。

(5)3.y y y '+'=132。

设tt y t y 13,2+==' (3)dt t dt tt t y dy dx 32616--=-='= (4)C t t x ++=2216, 解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=t t y C t t X 1321622 (5)4. 2100y y y '''++=解:特征方程01022=++λλ有复数根=1λ13i =-+,213i λ=-- ..........3 故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= . (5)5.0xdy ydx +=解: 原方程可化为 0dxy =故xy C = …………………….5 6. 268t x x x e -'''++=解:特征方程2680λλ++=有根=1λ-2,=2λ-4 …………………….1 故齐线性方程的通解为x=2412t tc e c e --+ (3)=λ-2是特征方程的根,故2t xAte -=%代入原方程解得A=14- ……………….4 故通解为x=t t e c e c 521--+214t e - (5)三、求下列方程(组)的通解(每题10分,共30分)1.22xy ay a y e '''++=解:特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a………………..2 当a=-1时,齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根,故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t++,……………………………………..6 当a ≠-1时,齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根,故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at atte c e c --+21+te a 2)1(1+ (10)2. 22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 求其基解矩阵.解: det (λE -A )=0得1λ=3,2λ=-3 (3)对应于1λ的特征向量为u =α⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321, ( α≠0 ) 对应于2λ的特征向量为v =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321β, ( 0≠β ) ……………….5 ∴u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+321,v =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321是对应于1λ,2λ的两个线性无关的特征向量 Ф(t)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--t ttt e ee e 3333)32()32(是一个基解矩阵 (10)3. 求方程2dyx y dx=- 通过点(1,0) 的第二次近似解. 解: 令0()0x ϕ=,于是22100111()[()],22xx y x x dx x ϕϕ=+-=-⎰ (5)22352011111111()[()],3042620xx y x x dx x x x x ϕϕ=+-=--++-⎰ (10)五、应用题(10分)1.求一曲线,过点(1,1), 其任一点的切线在OY 轴上的截距等于2a .解: 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点,则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为:dyy xdx - ……………………….3 由题意得 2dyy xa dx-= 两边同除以2x ,得2dy dxy a x=-- ...............................5 即 2ln ln d y a d x -=- ............................7 即 2y cx a =+ .. (8)将1,1x y ==代入上式得21c a =-。

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