2.6 高阶导数
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ₁θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ∆z k记∆z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=ξ∆z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a∴ =b-a,即 =b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则∑1= （ ）(z k-z k-1)有可设ξk=z k，则∑2= （ ）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i + udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π)例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程 z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（ ）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（ ）=(1+i) + 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：dθ=dθ=（ ）=例题1：例题2：解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
经营教育
乐享
[选取日期]
复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
导数的基本公式与运算法则高阶求导
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y
1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4
0,
求
d2 y d x2
高阶(隐函数)导数
习题 : e + y − 5 x = 0 , 求 y' xy 3 解 ： ( e )' + ( y )' − 5 = 0
xy 3
( e ) ⋅ ( xy )' + 3 y ⋅ y'− 5 = 0
xy 2
e
xy xy
⋅ ( x ' y + xy ' ) + 3 y ⋅ y'− 5 = 0
2 2 xy
x = et cos t dy ,求 . 例 设 dx y = et sint
x = t − ln(1 + t ) dy , 求 . 例 设 dx y = t3 + t2
例1 解
设 x − xy + y = 1, 求y' .
4 4
方程两边对x 方程两边对 求导得
4 x − y − xy′ + 4 y y′ = 0
3 3
∴
4x − y y′ = 3 . 4y − x
3
dy 例2 e + xy = sin x 求 dx
y
解 : ( e + xy )' x = (sin x )' x
记作
d y d f ( x) f ′′( x), y′′, 2 或 . 2 dx dx
2
2
d y 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x), y′′′, dx3 . 4 d y ( 4) ( 4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x), y , . 4 dx
∴ f ′( x) = u( x)
v( x )
v( x)u′( x) [v′( x) ⋅ lnu( x) + ] u( x)
高阶导数与高阶微分
由定义3.4知 : y(n)
x= x0
=
f
(n)
( x0
)
=
lim
∆x→0
f
(n−1) ( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(n−1) ( x0 )
= lim f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) .
x → x0
x − x0
y(n) = f (n) (x) = lim f (n−1) (x + ∆x) − f (n−1) (x)
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
9
例 : 设y = ln(1+ x),求y(n).
解 : y′ = [ln(1+ x)]′ = 1 = (1+ x)−1 1+ x
y′′ = [ln(1+ x)]′′ = [(1+ x)−1]′ = (−1)(1+ x)−2
y′′′ = [ln(1+ x)]′′′ = [(−1)(1+ x)−2 ]′ = (−1)(−2)(1+ x)−3 设y(k) = [ln(1+ x)](k) = (−1)(−2)(−k +1)(1+ x)−k = (−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k
解 : y(n) = a0n!
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
5
例 : 设y = ex , 求y(n)与y(n) (0).
解 : y′ = (ex )′ = ex , y′′ = (ex )′ = ex ,, y(n) = ex.
y(n) (0) = y(n) = ex = e0 = 1.
张家口高等数学教材目录
张家口高等数学教材目录一、函数与极限1.1 实数与实函数1.2 函数的极限1.3 极限的性质1.4 函数的连续性1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则二、导数与微分2.1 函数的导数2.2 导数的几何意义2.3 高阶导数2.4 微分与线性近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 高阶导数的应用三、函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 最大最小值与最优化问题3.3 函数的凸凹性与拐点3.4 特殊函数的性质与应用3.5 泰勒公式与函数的近似计算3.6 微分中值定理与L'Hopital法则四、积分与不定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 定积分的计算方法4.3 不定积分与原函数4.4 微积分基本定理4.5 定积分的应用4.6 曲线的弧长与曲线面积五、多重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 二重积分的应用5.4 三重积分的概念与性质5.5 三重积分的计算方法5.6 三重积分的应用六、数学方程与曲线6.1 方程的解与方程组6.2 曲线的参数方程与极坐标方程6.3 极限与无穷6.4 泰勒级数与幂级数6.5 Fourier级数七、微分方程与动力学系统7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶线性微分方程7.3 高阶线性微分方程7.4 非线性微分方程7.5 动力学系统的平衡点与稳定性7.6 二阶线性常系数齐次微分方程的解法八、向量与矩阵8.1 向量的表示与运算8.2 向量的点乘与叉乘8.3 空间直线与平面8.4 矩阵的基本操作8.5 矩阵的逆与转置8.6 线性方程组的求解九、空间解析几何9.1 空间曲线的方程与运动学 9.2 平面与直线的位置关系9.3 空间曲面的方程与几何特性 9.4 空间曲线与曲面的参数方程 9.5 球、圆锥与圆柱的方程9.6 空间几何体的体积与曲面积十、场、偏导数与方程10.1 偏导数与全微分10.2 多元复合函数的求导法则 10.3 隐函数及其导数10.4 多元函数的极值与最优化10.5 二元函数的Taylor公式10.6 偏微分方程的基本概念十一、概率与统计11.1 概率论基本概念与性质11.2 随机变量及其分布11.3 多维随机变量及其分布11.4 随机变量的数字特征11.5 大数定律与中心极限定理11.6 统计分布与参数估计以上是《张家口高等数学教材》的目录，内容涵盖了函数与极限、导数与微分、函数的应用、积分与不定积分、多重积分、数学方程与曲线、微分方程与动力学系统、向量与矩阵、空间解析几何、场、偏导数与方程、概率与统计等重要主题。
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
2.5高阶导数(1-14)
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
一、高阶导数及其运算法则(精)
例9： y x2，求d 2 y.
解：
当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.
解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
高阶函数求导公式
一．高阶函数求导公式有哪些？1、y=c，y'=0（c为常数）。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)（μ为常数且μ≠0）。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x。
4、y=logax，y'=1/(xlna)（a>0且a≠1）；y=lnx，y'=1/x。
5、y=sinx，y'=cosx。
6、y=cosx，y'=-sinx。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2)。
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。
对任意n阶导数的计算，由于n 不是确定值，自然不可能通过逐阶求导的方法计算。
此外，对于固定阶导数的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
高阶导数与隐函数的导数
⎛ 1 ⎞′ − 2x y′′ = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x 2 ) 2
2 ⎛ −2 x ⎞′ 2( 3 x − 1) = y′′′ = ⎜ 2 2 ⎟ (1 + x 2 ) 3 (1 + x ) ⎠ ⎝
− 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
(k )
莱布尼兹（Leibniz）公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 ) 2x ( 20 ) 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) + (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x + 2 e ⋅2 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
y = x + e x 的反函数的导数 . 例3 求
dy 解 方法1 ∵ = 1+ ex dx 1 dx = ∴ dy 1+ ex
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx x dx +e ⋅ 1= dy dy
π
n! 1 (n) n n ( ) = ( −1) a ax + b (ax + b )n+1
常见的导数公式高中
常见的导数公式高中导数（Derivative）是研究数学函数性质的重要工具，它的定义可以采用微积分的概念来表达，特别是可以表达函数曲线的切线斜率。
偏导数则是在多元函数中表达某一变量的变化率而言，而且可以得到最佳值的时候也是很好的应用函数。
对于高中学生来说，有一些导数公式是他们需要掌握的，那么今天我们就来了解具体都有哪些常用的导数公式：首先，常用的一阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的一阶导数为f(x)，表示函数在x点处的斜率，其表示形式为：f(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其次，二阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的二阶导数为f(x)，表示函数在x点处的曲率，其表示形式为：f``(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h再次，多元函数的偏导数公式：如果F(x,y)是某一多元函数，那么它的偏导数可以表示为：F/x=lim(h→0)[F(x+h,y)-F(x,y)]/hF/y=lim(h→0)[F(x,y+h)-F(x,y)]/h最后，高阶导数公式：如果f(x)是某一多元函数，那么它的高阶导数为f(n)(x)，其表示形式为：f(n)(x)=lim(h→0)[f(n-1)(x+h)-f(n-1)(x)]/h我们可以看出，高中学生需要掌握的常见的导数公式主要有一阶导数公式、二阶导数公式、偏导数公式以及高阶导数公式。
这些公式是微积分日常应用中使用较频繁的，因此高中学生在学习微积分时，都有必要学习这些常见的导数公式，以便更好地理解微积分知识。
除了学习常见的导数公式之外，高中学生要注意掌握数学分析基础知识，特别是在函数曲线计算中，要注意抓住重点，比如：函数的斜率、函数的极值，以及函数图形的变化等等。
在实际的应用中，需要准确的理解函数的性质，以便更好的解决问题。
同时，学习微积分的过程切不可急于求成，应该多多练习，通过反复练习，让自己对微积分知识有更深入的理解，才能真正掌握这些知识，有助于高考取得好成绩。
高阶导数的运算法则莱布尼兹公式-北京师范大学数学科学学院
例39 解
设 y eax sinbx (a, b为常数 ), 求y( n) .
y aeax sinbx beax cosbx
eax (a sinbx b cosbx)
b e a b si n ( bx ) ( arctan ) a
第2章 导数与微分
2.1 导数
2.1.4 高阶导数
2018/9/18
北京师范大学
1
2.1.4
高阶导数
1. 高阶导数的概念
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t ) v(t ) [ f (t )] .
若函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 在点 x 处可导，即
n 2 2
b ( arctan ) a
10
x (t ) 设参数方程 所确定的函数二阶可导 ,则 y (t )
d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dx dt ( t ) dx
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
2.1 导数(127)
x 0
2.
5
例35 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 . 解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0.
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
1 ; 4
将上式两边对 x 求导，得
ax 2 2
y a 2 b 2 [aeax sin( bx ) beax cos(bx )]
考研数二高等数学教材要考的范围
考研数二高等数学教材要考的范围高等数学是考研数学科目中的一项重要内容，数二即高等数学二，是考研数学中的一部分。
要顺利通过考研数二高等数学科目，了解教材要考的范围是非常重要的。
本文将介绍考研数二高等数学教材要考的范围，以帮助考生更好地备考。
一、函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限存在准则1.4 函数的连续性与间断点二、导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 微分的概念与性质2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 高阶导数的应用三、不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分公式3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 反常积分的概念与性质四、级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 收敛级数与发散级数4.3 正项级数的审敛法4.4 幂级数的概念与性质五、多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的概念与性质5.3 隐函数的求导法则与全微分5.4 多元函数的极值与条件极值六、重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法七、向量与空间解析几何7.1 向量的概念与性质7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 空间向量的内积与外积八、常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程的解法8.3 高阶常微分方程的解法上述是考研数二高等数学教材要考的范围，考生在备考时应该系统学习、掌握这些内容。
在学习过程中，可以结合教材中的例题和习题进行练习，以加深对知识点的理解和记忆。
同时，要注重理论与实际的结合，关注数学知识在实际问题中的应用。
此外，通过解析历年真题，了解考研数二高等数学的出题特点，对备考也会有所帮助。
在解题过程中，要注重思维方法的培养，提高解题的效率和准确性。
总之，考研数二高等数学教材要考的范围包括了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、级数、多元函数与偏导数、重积分、向量与空间解析几何、常微分方程等内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim
a
v t
t 0
v ( t ) s ( t )
（即：平均加速度
v t
的极限）
2
故，二阶导数的力学意义是：加速度。
韶 关 学 院
定义
如果函数
f ( x )的导数 f ( x ) 在点 x 处可导 , 即 f ( x x ) f ( x ) x .
2 3
(1 x )
f ( 0 )
2x (1 x )
2 2 x0
0;
f ( 0 )
2(3 x
2
1)
2 3 x0
(1 x )
2.
5
韶 关 学 院
例2 解
设 y x
y x
1
( R ), 求 y
(n)
.
y ( x
.
( x ), y
(4)
,
d y dx
4
4
.
3
韶 关 学 院
一般地 , 函数 f ( x )的 n 1阶导数的导数称为 函数 f ( x )的 n 阶导数 , 记作
f
(n)
( x ), y
(n)
,
d y dx
n
n
或
d
n
f (x)
n
.
dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
4
韶 关 学 院
二、 高阶导数求法举例
2
4 、 设 y xe
x
, 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2 5 、 设 y f ( x ) , f ( x ) 存 在 ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6 6 、 设 f ( x ) ( x 10 ) , 则 f ( 2 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解
设 y arctan
y 1 1 x
2
x , 求 f ( 0 ), f ( 0 ).
y (
2( 3 x
1 1 x
2
2
)
2x (1 x )
2 2
y (
2x (1 x )
2 2
)
1)
9 8
a x sin ax 20 a x cos ax 90 a sin ax
12
韶 关 学 院
例8 解一
求 y e cos x 的 三 阶 导 数 .
y e co s x e sin x e co s x e co s( x
x x x x
x
π 2
2
)
8
韶 关 学 院
例5 求下列函数的各阶导数:
( 1 ) y x ( n 为正整数
n
);
(2) y e ;
x
解
( 1 ) y nx y
x
(n)
n1
, y n ( n 1 ) x
(m )
n2
, ,
n! , y
x
0 ( m n ).
x (n)
( 2 ) y e , y e , 对 一 切 n N + , ( e )
( f ( x ) ) lim
x 0
存在 , 则称 ( f ( x ) ) 为函数 f ( x ) 在点 x 处的二阶导数
记作
f ( x ), y ,
d y dx
2
2
或
d
2
f (x)
2
.
f ( x ), y , d y dx f
(4) 3 3
dx
二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数,
1
) ( 1) x
2
2
y ( ( 1 ) x
) ( 1 )( 2 ) x 3
y
(n)
( 1) ( n 1) x
n
(n 1)
若 为自然数
n,则
y
(n)
(x )
n
(n)
u
(n2)
v
(n)
n(n 1) (n k 1) k!
n
u
(nk )
v
(k )
uv
Cnu
k
(nk )
v
(k )
莱布尼兹公式
10
k0
韶 关 学 院
例6
设 y x e
2
2x
,求y
( 20 )
.
解 设 u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
n! ,
y
(n 1)
( n! ) 0 .
6
韶 关 学 院
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合 并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法 证明)
例3 解
设 y ln( 1 x ), 求 y
y 1 1 x
(n)
.
1 (1 x ) 3! (1 x )
);
x x y e co s x e co s( x
π 2 π 2
) ) e co s( x 2
x x
e co s( x
x x
x
π 2
) π 2 );
e co s x 2e co s( x y e co s x e co s( x
)
y cos( x
2
) sin( x 2
2
2
) sin( x 2
2
)
y cos( x 2
) sin( x 3 2
2
)
y
(n)
sin( x n
)
(n)
同理可得
(cos x )
cos( x n
y
( 20 )
(e
20
2x
)
( 20 )
x 20 ( e
2
2x
)
( 19 )
( x )
2 2
20 ( 20 1 ) 2!
2x 2
(e
2x
)
( 18 )
( x ) 0 2x
2 e
x 20 2 e
19
2x
2 e
20 2x
20 19 2!
2
2 e
18
2x
2
( x 20 x 95 )
11
韶 关 学 院
例7. 设y = x2sinax的10阶导数y(10) 解： y = sin (ax)x2, 记 u = sinax, v = x2 由于
y
a
( 10 )
v(3)=v(4)=v(10)=0
C 10 u
0 ( 10 )
x
x
x
π 2 π 2
) ) e co s( x 3
x
π 2
).
解二 解三
直 接 用 莱 布 尼 茨 公 式 ( 5 ) 求 出 y .
y e c o s x e s in x e
x x
x
2 co s( x
π ); 4
x y 2 e co s( x 2
而
(9 )
u
(n)
sin( ax n
2 (8 )
2
)a
n
v
(0)
C 10 u
1
2
v
(1 )
C 10 u
2
v
(2)
10
sin( ax 10
8
2
) x 10 a sin( ax 9
9
)2x
45 a sin( ax 8
10 2
2
)2
韶 关 学 院
§2.6
高阶导数
一、高阶导数的定义
二、 高阶导数求法举例
三、高阶导数的运算法则 四、作业
1
韶 关 学 院
一、高阶导数的概念
问题:变速直线运动的加速度.
设物体作变速直线运动，运动方程为 s=s(t)，则速度 v v ( t ) s ( t ) 而加速度
a lim v (t t ) v (t ) t
e .
x
9
韶 关 学 院
三. 高阶导数的运算法则:
设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 , 则
(1 ) ( u v ) ( 2 ) ( Cu )
(n)
u
(n)
v
(n)
(n)
Cu
(n)
(3) (u v )
(n)
u
(n)
v nu
( n1)
v
n(n 1) 2!
( x ) =____________.
17
韶 关 学 院
练习题答案
一 、 1、 2e
t
cos t ； 2x
2
2 、 2 sec ； 4 、 2 xe
x
2
x tan x ；
3 、 2 arctan x
2
1 x 2 2 2 5 、 2 f ( x ) 4 x f ( x ) ；
4 2
y
y
2! (1 x )