2.6 高阶导数

y
( 20 )
(e
20
2x
)
( 20 )
x 20 ( e
2
2x
)
( 19 )
( x )
2 2
20 ( 20 1 ) 2!
2x 2
(e
2x
)
( 18 )
( x ) 0 2x
2 e
x 20 2 e
19
2x

2 e
20 2x
20 19 2!
x x
π 2
) e co s( x 2
x
π 2
) 2e co s( x π 2
x
π 2
) π 2
13
2e co s( x 2
x
π 2
) e co s( x 2
x
) e co s( x 3
)
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e co s x 3e co s( x 3 e co s( x 2
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§2.6
高阶导数
一、高阶导数的定义
二、 高阶导数求法举例
三、高阶导数的运算法则 四、作业
1
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一、高阶导数的概念
问题:变速直线运动的加速度.
设物体作变速直线运动，运动方程为 s=s(t)，则速度 v v ( t ) s ( t ) 而加速度
a lim v (t t ) v (t ) t
由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解
设 y arctan
y 1 1 x
2
x , 求 f ( 0 ), f ( 0 ).
y (
2( 3 x
1 1 x
2
2
)
2x (1 x )
2 2
y (
2x (1 x )
2 2
)
1)
而
(9 )
u
(n)
sin( ax n
2 (8 )

2
)a
n
v
(0)
C 10 u
1
2
v
(1 )
C 10 u

2
v
(2)
10
sin( ax 10
8

2
) x 10 a sin( ax 9
9
)2x
45 a sin( ax 8
10 2

2
)2
(3 2 x ) ；
2
6 、 207360； 8 、 ( n 1 )! .
7、 n ! ； 二 、 1、 4
3 4
5 2
x
8x
3
；
2 sin 2 x x cos x
2 2
2 、 2 cos 2 x ln x 3、
x
3
x
；
.
(1 x ) 2
2
18
x
x
x
π 2 π 2
) ) e co s( x 3
x
π 2
).
解二 解三
直 接 用 莱 布 尼 茨 公 式 ( 5 ) 求 出 y .
y e c o s x e s in x e
x x
x
2 co s( x
π ); 4
x y 2 e co s( x 2
( x ) =____________.
17
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练习题答案
一 、 1、 2e
t
cos t ； 2x
2
2 、 2 sec ； 4 、 2 xe
x
2
x tan x ；
3 、 2 arctan x
2
1 x 2 2 2 5 、 2 f ( x ) 4 x f ( x ) ；
.
( x ), y
(4)
,
d y dx
4
4
.
3
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一般地 , 函数 f ( x )的 n 1阶导数的导数称为 函数 f ( x )的 n 阶导数 , 记作
f
(n)
( x ), y
(n)
,
d y dx
n
n
或
d
n
f (x)
n
.
dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
4
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二、 高阶导数求法举例
t 0
lim
a
v t
t 0
v ( t ) s ( t )
（即：平均加速度
v t
的极限）
2
故，二阶导数的力学意义是：加速度。
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定义
如果函数
f ( x )的导数 f ( x ) 在点 x 处可导 , 即 f ( x x ) f ( x ) x .
n! ,
y
(n 1)
( n! ) 0 .
6
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注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合 并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法 证明)
例3 解
设 y ln( 1 x ), 求 y
y 1 1 x
(n)
.
1 (1 x ) 3! (1 x )
e .
x
9
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三. 高阶导数的运算法则:
设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 , 则
(1 ) ( u v ) ( 2 ) ( Cu )
(n)
u
(n)
v
(n)
(n)
Cu
(n)
(3) (u v )
(n)
u
(n)
v nu
( n1)
v
n(n 1) 2!
4 2
y
y
2! (1 x )
3
y
(4)


y
(n)
( 1)
n1
( n 1 )! (1 x )
n
( n 1, 0! 1 )
7
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例4 解
设 y sin x , 求 y
(n)
.
y cos x sin( x
2
9 8
a x sin ax 20 a x cos ax 90 a sin ax
12
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例8 解一
求 y e cos x 的 三 阶 导 数 .
y e co s x e sin x e co s x e co s( x
x x x x
x
π 2
u
(n2)
v
(n)
n(n 1) (n k 1) k!
n
u
(nk )
v
(k )
uv


Cnu
k
(nk )
v
(k )
莱布尼兹公式
10
k0
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例6
设 y x e
2
2x
,求y
( 20 )
.
解 设 u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
2 3
(1 x )
f ( 0 )
2x (1 x )
2 2 x0
0;
f ( 0 )
2(3 x
2
1)
2 3 x0
(1 x )
2.
5
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例2 解
设 y x
y x
1

( R ), 求 y
(n)
.
y ( x
2
4 、 设 y xe
x
2
, 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2 5 、 设 y f ( x ) , f ( x ) 存 在 ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6 6 、 设 f ( x ) ( x 10 ) , 则 f ( 2 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
π ); 4
π ). 4
14
y 2 2 e co s( x 3
x
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备用题
设
解:
求
其中 f 二阶可导.
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作
• P67 19 (4) (6)
业
16
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练 习 题
一、填空题： sin t 1、设 y 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . t e 2 、 设 y tan x , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 、 设 y ( 1 x ) arctan x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ .
( f ( x ) ) lim
x 0
存在 , 则称 ( f ( x ) ) 为函数 f ( x ) 在点 x 处的二阶导数
记作
f ( x ), y ,
d y dx
2
2
或
d
2
f (x)
2
.
f ( x ), y , d y dx f
(4) 3 3
dx
二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数,
2
2 e
18
2x
2
( x 20 x 95 )
11
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例7. 设y = x2sinax的10阶导数y(10) 解： y = sin (ax)x2, 记 u = sinax, v = x2 由于
y
a
( 10 )
v(3)=v(4)=v(10)=0
C 10 u
0 ( 10 )
7、设 x
n
a1 x
n1
a2 x
n2
a n1 x a n
(n)
=___________ . 8 、 设 f ( x ) x ( x 1 )( x 2 ) ( x n ) , 则 f
(n1)
( a 1 , a 2 , , a n 都 是 常 数 ) ， 则 y
);
x x y e co s x e co s( x
π 2 π 2
) ) e co s( x 2
x x
e co s( x
x x
x
π 2
) π 2 );
e co s x 2e co s( x y e co s x e co s( x
1
) ( 1) x
2
2
y ( ( 1 ) x
) ( 1 )( 2 ) x 3

y
(n)
( 1) ( n 1) x
n
(n 1)
Leabharlann Baidu
若 为自然数
n,则
y
(n)
(x )
n
(n)
)
y cos( x
2
) sin( x 2
2

2
) sin( x 2
2
)
y cos( x 2

) sin( x 3 2
2
)
y
(n)
sin( x n
)
(n)
同理可得
(cos x )
cos( x n
2
)
8
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例5 求下列函数的各阶导数:
( 1 ) y x ( n 为正整数
n
);
(2) y e ;
x
解
( 1 ) y nx y
x
(n)
n1
, y n ( n 1 ) x
(m )
n2
, ,
n! , y
x
0 ( m n ).
x (n)
( 2 ) y e , y e , 对 一 切 n N + , ( e )