6.1单叶解析函数的映射性质

2 以z = −1为中心,半径为 1 的圆外放大.
2
4. 共形映射 定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具 有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是共 形的, 或称w = f (z)在z0是共形映射. 如果映射w = f (z) 在D内的每一点都是共形的, 就称w = f (z)是区域D内
= arg(2z + 2) z=−1+2i = arg(4i) = π .
2
Baidu Nhomakorabea
伸缩率 f ′(z) = 2 (x +1)2 + y2 , ( z = x + iy ), 当 f ′(z) < 1, 即(x +1)2 + y2 < 1 时, 缩小, 反之放大。
4 故在以z = −1为中心,半径为 1的圆内缩小,
最后只需证明f (z) − w在D内的每个零点z*都是单零点.
因为w ≠ w0 , 所以z ≠ z*.
[ ] [ ] 而
f (z) − w0
' z= z0
= 0，则
f
(z) − w
' z ≠ z0
≠
0.
ε
w = f (z)
δ
z0 g
w0 g
l
定 理 设函数f (z)为D内单叶解析函数, 6.那1.么1在D内任一点f '(z) ≠ 0.
lim
t1 →t0
z1 − z0 t1 − t0
=
z' (t0 ) ≠ 0.
y
z′(t0 )
.z
(t1
C )
因此,
lim arg
t1 →t0
z1 t1
− z0 − t0
= arg z' (t0 ),
0
. z(t0 )
x
它为曲线C在z = z0处的切线与实轴的夹角.
函数w = f (z)把简单光滑曲线C映射成过w0 = f (z0 ) 的一条简单曲线Γ: Γ : w = f (z(t)) (a ≤ t ≤ b). 由于 dw = f ' (z(t))z'(t),则Γ也是一条光滑曲线.
ϕ ' (w0 ) =
1 .
f ' (z0 )
二、导数的几何意义
1. 曲线的切线与实轴的夹角
设w = f (z)是区域D内单叶解析函数. 设 z0 ∈ D, w0 = f (z0 ). 由定理6.1.1知 f ' (z0 ) ≠ 0. 考虑在D内过z0的一条简单光滑曲线C : z = z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)， 其中x(t), y(t)是z(t)的实部和虚部. 设z(t0 ) = z0 (t0 ∈[a,b]).
证： 假设存在z0 ∈ D,使得f '(z0 ) = 0, 则由引理6.1.1知, 对充分小的ε > 0, 存在δ > 0,使在f (z0 )的邻域 0 <| w − f (z0 ) |< δ内的任一点w,在0 <| z − z0 |< ε 内至少有z1, z2满足f (z1) = f (z2 ) = w, 与f (z)的单叶矛盾.
注：定理6.1.1的逆不成立. f (z) = ez在z平面上任一点导数不等于零, 但它不是z平面上单叶函数.
定 理 假设w＝f (z)在z = z0解析且f '(z0 ) ≠ 0, 6那.1么.2存在z0的一个邻域,使f (z)在其内为单叶解析.
Γ1
w0
Γ
单叶解析函数的保角性 用单叶解析函数作映射时, 曲线间的夹角的大小 及方向保持不变.
3. 导数的模的几何意义
伸 缩 率
称|f
'
( z0
)|=
lim
z → z0
f
(z) z
− −
f (z0 ) z0
为曲线C经
函数映射后在z0处的伸缩率.
w = f (z) y (z) z′(t0 ) Δs p
C1
w = f (z)
Γ1
z0
C
w0
Γ
则Γ与Γ1在w0处的夹角恰好等于C与C1在z0处的夹角, 即 arg f ' (z1(t0 ))z1' (t0 ) − arg f ' (z(t0 ))z' (t0 ) = arg z1' (t0 ) − arg z' (t0 ).
C1 z0
w = f (z) C
> 0,
取w,使0 <| w − w0 |< δ.
由于
f (z) − w = [ f (z) − w0] − (w − w0),
ε
w = f (z)
δ
z0 g
w0 g
l
当z ∈l时,
| f (z) − w0 |≥ δ >| w − w0 |> 0,
由儒歇定理, f (z) − w与f (z) − w0在D内的零点个数同为k个.
因此开圆盘 | w1 − w0 |< δ 包含在D1内,
即w0为D1的内点.
4. 反函数
定 理 假设函数w = f (z)在D内单叶解析,
且6.D11.4= f (D), 那么w = f (z)有一个在区域D1内单叶解析 的反函数z = ϕ(w)，满足w0 ∈ D1, z0 = ϕ(w0 ), 那么
3. 保域定理
定 理 假设函数w = f (z)在D内解析,且不恒为常数, 则6.D11.3= f (D)是一个区域,即f (z)确定从D到D1的一个满射.
证： 首先证明D1是开集，即证∀w0 ∈ D1是D1的内点. 设z0 ∈ D满足f (z0 ) = w0. 则由引理6.1.1知, 存在δ > 0,使得任意满足 | w1 − w0 |< δ的复数w1, 存在z1 ∈ D,使得f (z1) = w1.
由于
dz = z' (t) = x' (t) + iy' (t)， dt
则曲线C在z = z0处的切线与实轴的夹角是z'(t0 )
的辐角Argz' (t0 ). 现证明如下:
作通过曲线C在点z0 = z(t0 )及z1 = z(t1)的割线.
arg z' (t0 )与arg z1' (t0 ). 则Γ与Γ1在w0处与实轴正向的夹角分别为 arg f ' (z(t0 ))z'(t0 ) = arg f ' (z0 ) + arg z'(t0 ) arg f ' (z1(t0 ))z1' (t0 ) = arg f ' (z0 ) + arg z1' (t0 ).
证： 显然, f (z) − w0在z0有k个零点. 下面运用儒歇定理完成证明.
由于解析函数零点的孤立性, 可作圆盘D :| z − z0 |< ε ,
其边界为l, 使f (z)在D上解析,
且f (z) − w0与f '(z)除z0外,在D上无其它零点.
那么min | z∈l
f (z) − w0 |= δ
dz 它在w0 = f (z0 )的切线与实轴的夹角是 arg f '(z(t0 ))z'(t0 ) = arg f '(z0 ) + arg z'(t0).
从而Γ在w0的切线与实轴的夹角及C在z0处切线与实轴的 夹角相差arg f ' (z0 ),
这一数值与曲线C的形状及在z0处的切线的方向无关.
. r zC z0
0
x
y (w)
Δσ
.
w
Γ
.R
w0
0
x
例1 试求映射 w = f (z) = z2 + 2z 在 z = −1+ 2i 处的 切线与实轴的夹角，并说明它将z平面的哪一部分 放大？哪一部分缩小？
解 因 f ′(z) = 2z + 2, 故在z = −1+ 2i处, 切线与实轴的夹角为 arg f ′(z) z=−1+2i
z平面上的单叶解析函数.
2. 单叶解析函数的性质
引 理 设函数f (z)在z = z0解析, w0 = f (z0 ). 设6.f1'.(1z0 ) = L = f (k−1) (z0 ) = 0, f (k) (z0 ) ≠ 0(k = 1, 2,L ). 那么f (z) − w0在z0点有k阶零点,且对充分小的正数ε , 存在δ > 0,使得0 <| w − w0 |< δ时, f (z) − w在0 <| z − z0 |< ε 内有k个一阶零点.
的共形映射.
共形映射，保形映射，保形映照，保角映射
第一节 单叶解析函数的映射性质
• 一、单叶解析函数的基本性质 • 二、导数的几何意义
一、单叶解析函数的基本性质
1. 单叶解析函数的定义 假设w = f (z)在区域D内解析,若任意不同两点 z1, z2 ∈ D,有f (z1) ≠ f (z2 ), 那么称f (z)为D内的 单叶解析函数. 如：f (z) = z + α, f (z) = β z(α, β为常数,且β ≠ 0)都是
2. 两曲线的夹角－导数辐角的几何意义
设在D内过z0的两条简单光滑曲线 C : z = z(t) , C1 : z = z1(t) ,
则相交于z0的两条条简单光滑曲线C, C1的夹角,就是
由于¸ 割线的方向与向量
z1 t1
− −
z0 t0
的方向一致,
y .C z (t1 )
. z(t0 )
0
x
则arg当zt11t1−−趋tz0于0 连t0时续,变向动量趋zt11于−− tz极00 与限实, 轴的夹角
则当z1趋于z0时, 割线确有极限位置,
即为曲线C在z = z0处的切线的位置.
但由光滑的条件,
C, C1在交点处的两条切线正向之间的夹角.
函数w = f (z)将C,C1
分别映射成光滑曲线 Γ : w = f (z(t)), Γ1 : w = f (z1(t)).
C1
argz
' 1
(t0
)
−
argz
'
(t0
)
z0
C
则C与C1在z0处与实轴正向的夹角分别为