特殊三角形 练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。
2. 整数边长的直角三角形有__________组。
3. 锐角三角形的内角和为__________度。
4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。
三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。
解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。
2. 在等边三角形ABC中，边长为6。
连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。
解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。
四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。
结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。
浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)
浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
(基础题)冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图钢架中，∠A=a，焊上等长的钢条P1P2， P2P3， P3P4， P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，∠P5P4B=95°，则a等于（）A.18°B.23.75°C.19°D.22.5°2、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A.9B.6C.4D.33、已知一个直角三角形两边的长分别为3和4.分别以此三角形的三边为边作正方形，则这三个正方形面积的和为（）A.50B.32C.50或32D.以上都不对4、在中，斜边AB=2，则的值是（）A.6B.8C.10D.125、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A.7B.8C.9D.106、已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（）A.16B.20C.16或20D.147、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（）A.3B.C.6+D.6﹣8、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC的长是（）A. B.3 C. D.9、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm10、如图，在中，，且.若，，则的长度为（）A. B. C. D.811、已知等腰三角形的两边长是4和10，则它的周长是（）A.18B.24C.18或24D.1412、在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点P在坐标轴上，若使得△AOP 是等腰三角形的点P恰有6个，则满足条件的a值有（）A.2个B.3个C.4个D.5个13、如图所示，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1 = 40°，则∠AED的度数是（ )A.70°B.68°C.65°D.60°14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，，如果OE=2，那么对角线BD的长为（）.A.4B.6C.8D.1015、如图，在△ABC中，AO⊥BC，垂足为O，若AO=4，∠B=45°，△ABC的面积为10，则AC边长的平方的值是（）A.16B.17C.6D.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是的中线，，把沿着直线对折，点C落在点E的位置，则的形状是________．17、如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________．18、已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为________.19、一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为________ .20、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D，若△APC与△APD的周长差为，四边形BCPD的周长为12+ ，则BC等于________.21、在△ABC中，AB=AC=10，cosB= ，如果圆O的半径为2 ，且经过点B、C，那么线段AO的长等于________．22、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为________．23、如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径.若双曲线的对径是4，则k=________.24、在矩形ABCD中,AB=4,AD=9点F是边BC上的一点,点E是AD上的一点,AE:ED=1:2,连接EF、DF,若EF=2 ,则CF的长为________。
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷1(解析版)
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意.故答案为：A.2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是()A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25【答案】D【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是。
A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D.3．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故答案为：B．4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【答案】C【解析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．①当xcm为腰时，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴该等腰三角形底边长为2cm.故答案为：C.5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A ，B 两点．若花瓶高16cm ，底面圆的周长为24cm ，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）A ．20cmB ．8√13cmC ．16√13cmD ．40cm 【答案】D【解析】将圆柱体展开如图，点A 为展开图长方形一边的中点，BC 为底面圆周长的一半，∴BC =12cm ，在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，∴AB =√AC 2+BC 2=√162+122=20cm ， ∴需要金色铁丝的长度最少为20×2=40cm ， 故答案为：D ．6．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相较于O ，若OB=2则B 点到AQ 的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．32【答案】C【解析】 △ABC 是等边三角形∴△BAP ＝△ACQ ＝60°，AB ＝AC ∵在△ABP 和△ACQ 中∵AB ＝AC ，△BAP ＝△ACQ ，AP ＝CQ ∴△ABP△△CAQ （SAS ） ∴△ABP ＝△CAQ ，∵△BAQ ＋△CAQ ＝60°∴△BAQ ＋△ABP ＝60° ∵△BOQ ＝△BAQ ＋ABP ∴△BOQ ＝60° 如图：过点B 作BE△AQ 于点E ，∴△BEA=90°，在Rt△BEO 中，△AOE=60°， ∴△OBE=30°， ∴OE=12BO=1，∴BE=√BO 2−OE 2=√22−12=√3即B点到AQ的距离等于√3.故答案为：C.7．如图，在四边形ABCD中，△DAB＝△BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【答案】B【解析】连接BD，∵△DAB＝△BCD＝90°，∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，∴S3+S2=S4+S1=135；∴S4=135-48=87.故答案为：B8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB=AD=DC，过点D作DE⊥AD，交AC 于点E.设∠BAD=α，∠CAD=β，∠CDE=γ，则（）A．2α+3β=180°B．3α+2β=180°C．β+2γ=90°D．2β+γ=90°【答案】D【解析】∵AB=AD=DC，∠BAD=α，∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD=β，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠CAD+∠AED=90∘∵∠CDE=γ，∠AED=∠CDE+∠C∴∠AED=γ+β∴2β+γ=90∘故答案为：D.9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△ADB＝△AEB；④S四边形BCDE＝12BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵△BAD=△BAC+△CAD=90°+△CAD，△CAE=△DAE+△CAD=90°+△CAD，∴△BAD=△CAE，∴△ABD△△ACE（SAS），∴CE=BD，△ABD=△ACE，故①正确；∴△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°-（△BCG+△CBG）=180°-90°=90°，∴BD△CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD，所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD，故②错误；∵△ABD△△ACE，∴△ADB=△AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE，∴△AEC与△AEB相等无法证明，∴△ADB=△AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故答案为：C.10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，△PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为()A．16√2B．64C．32D．36【答案】C【解析】过点C作CE△y轴于点E，过点B作BF△x轴于点F，延长FB交CE于点D，∴△OFD=△EOF=△OEC=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴OF=DE，OE=DF，∵点B（3，-3），点A（6，0），∴OF=AF=BF=DE=3，∵△PBC是等腰直角三角形，∴PB=BC，△PBC=90°，∴△FPB+△FBP=90°，△FBP+△DBC=90°，∴△DBC=△FPB，在△FBP和△DCB中{∠BFP=∠BDC ∠FPB=∠DBC PB=BC∴△FBP△△DCB（AAS），∴BF=DC=3，PF=BD，∴CE=DE+CD=3+3=6；在△COE中OE=DF=√OC2−CE2=√102−62=8∴BD=PF=DF-BF=8-3=5，∴OP=OF+PF=3+5=8，∴S△COP=12OP·DF=12×8×8=32.故答案为：C二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．下列条件：①△C ＝△A －△B ；②△A ：△B ：△C ＝5△2△3；③a ＝35c ，b ＝45c ；④a△b△c ＝1△2：√3，则能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个． 【答案】4【解析】①∵△C=△A -△B ，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ②∵△A ：△B ：△C ＝5：2：3，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ③∵a= 35 c ，b= 45c ，∴a 2+b 2=c 2，∴△c=90°，故△ABC 是直角三角形；④∵a ：b ：c ＝1：2：√3，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△B=90°，故△ABC 是直角三角形. 故答案为：4.12．如图，把长方形纸条依次沿着线段EF 、HI 折叠，且EF ∥HI ， 得到“Z”字形图案．已知∠DFE =60°，AE =2cm ，要使点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），则AB = cm ．【答案】10【解析】如图，连接DH ，FK ，点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），点M 为EH 延长线上一点．在长方形纸条ABCD 中，∠A =∠ADC =90°，AB ∥CD ， ∴∠DFE =∠BEF =60°，EH ∥FI ， 由折叠可知：∠GEF =∠BEF =60°， ∴∠AEG =60°， ∴∠AHE =30°，∴AE =12EH ，∵EH ∥FI ，∴∠EHI +∠GEF =180°， ∴∠EHI =120°， ∴∠MHI =60°，由折叠可知：∠JHI =∠MHI =60°， ∴∠EHK =60°， ∵∠GEF =60°， ∴∠EKH =60°，∴ΔEHK 是等边三角形， ∴EH =HK =EK ，∵AE =12EH ，AE =2cm∴EH =HK =EK =4cm ，由折叠可知：AE +EH +HK =AB ， ∴AB =2+4+4=10cm ， 故答案为：10.13．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分△CAB 交BC 于D ，DE△AB 于E ，且AB ＝8cm ，则△BED 的周长是 .【答案】8cm【解析】∵△C ＝90°，AD 平分△CAB ，DE△AB ， ∴CD ＝DE ，在△ACD 和△AED 中， {AD =AD CD =DE，∴△ACD△△AED （HL ）， ∴AC ＝AE ，∴△BED 的周长＝DE+BD+BE ， ＝BD+CD+BE ， ＝BC+BE ， ＝AC+BE ， ＝AE+BE ， ＝AB ，∵AB ＝8cm ，∴△BED 的周长是8cm. 故答案为：8cm. 14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．【答案】76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ， 则x 2=122+52=169， 解得：x =13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76． 故答案为：76.15．如图，在Rt△ABC 中，AC ＝BC ＝1，D 是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .【答案】12或√2−1【解析】∵Rt△ABC 中，AC=BC=1， ∴△CAB=△B=45°，∵△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ， ∴△ECD=90°，△CDE=△CED=45°，①AF=FD 时，△FDA=△FAD=45°， ∴△AFD=90°，△CDA=45°+45°=90°=△ECD=△DAE ， ∵EC=CD ，∴四边形ADCE 是正方形， ∴AD=DC ，∴AF= 12AC= 12×1= 12；②AF=AD 时，△ADF=△AFD=67.5°，∴△CDB=180°-△ADE -△EDC=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=△CDB ， ∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD= √2−1， ∴AF=AD= √2−1，故答案为： 12或 √2−1.16．如图，已知△ABC 中，△ACB=90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE=AC ，△BAE=15°，则△COE= 度．【答案】75【解析】∵△ACB=90°，CE=AC ，∴△CAE=△AEC=45°， ∵△BAE=15°，∴△CAB=60°，∴△B=30°，∵△ACB=90°，O 为AB 的中点，∴CO=BO=AO= 12AB ，∴△AOC 是等边三角形，△OCB=△B=30°，∴AC=OC=CE ， ∴△COE=△CEO= 12×（180°-30°）=75°.故答案为：75.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形． （3）请你在图3中画出△ABC 的边BC 上的高AD ，△ACB 的角平线CE 【答案】（1）解：如图（1）解：如图 （2）解：如图， （3）解：如图AD ，CE 就是所求作的图形.18．如图，ΔABC 为任意三角形，以边AB 、AC 为边分别向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ，CD 、BE 相交于点P.（1）试说明：ΔDAC ≌ΔBAE ； （2）求∠BPC 的度数. 【答案】（1）解：∵ΔABD 和ΔACE 都是等边三角形， ∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠EAC =60°， ∴∠DAC =∠BAE =60°+∠BAC ， 在ΔDAC 和ΔBAE 中，{AD =AB∠DAC =∠BAE AC =AE，∴ΔDAC ≌ΔBAE(SAS).（2）解：由（1）得∠ADC =∠ABE ，∴∠BPC =∠PBD +∠PDB =∠ABD +∠ABE +∠PDB =∠ABD +∠ADC +∠PDB =∠ABD +∠ADB ， ∵∠ABD =∠ADB =60°， ∴∠BPC =120°. 19．已知 △ABC ， AB =AC ，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上.设 ∠BAD =α ， ∠CDE =β .（1）如果 ∠B =60° ， α=20° ， β=10° 那么 △ADE 是什么特殊三角形？请说明理由. （2）猜想 α 与 β 之间有什么关系时，使得 AD =AE ，并进行证明. 【答案】（1）解： △ADE 等腰三角形，理由是： ∵AB =AC ， ∠B =60° ， α=20° ， ∴∠BAC =∠B =∠C =60° ∴∠DAE =60°−α=40° . ∵∠ADC =∠B +α=80° ， ∴∠ADE =∠ADC −β=70° .∵∠AED =∠C +β=70° ， ∴∠ADE =∠AED ∴AD =AE∴△ADE 是等腰三角形（2）解：要使 AD =AE ，则需 ∠ADE =∠AED ， ∵∠ADE =∠ADC −β=∠B +α−β ， ∠AED =∠C +β ，又∵∠B =∠C ， ∠ADE =∠AED ， ∴∠B +α−β=∠C +β . ∴α=2β .20．如图，在等边△ABC 中，AB =AC =BC =10厘米，DC =4厘米，如果点M 以3厘米/秒的速度运动从点C 到点B 运动.（1）经过多少秒后，△CDM 是等边三角形？（2）若点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动.点N 和点M 同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，△BMN 是一个直角三角形？（3）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都是顺时针沿△ABC 三边运动，经过20秒，点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是多少厘米/秒？ 【答案】（1）解：设经过t 秒后，△CDM 是等边三角形，则CM=3t ， ∴CM =DC =4， ∴3t =4，∴t =43，答：经过43秒后，△CDM 是等边三角形；（2）解：设运动时间为t 秒，△BMN 是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BNM =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BN =2BM ，∴3t =2×(10−3t)，∴t =209；②当∠BNM =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BMN =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BM =2BN ，∴10−3t =2×3t ，∴t =109，综上，当t =209或t =109时，△BMN 是直角三角形；（3）解：分两种情况讨论：若点M 运动速度快，则3×20−10=20V N ， 解得：V N =2.5；若点N 的运动速度快，则20V N −20=3×20， 解得：V N =4；答：点N的运动速度是2.5厘米/秒或4厘米/秒.21．已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，作CD⊥AB，AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC=6，BC=8.（1）求证：CE=CF；（2）求证：MN∥AB；（3）请你连接DN，并求线段DN的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，∵∠CEF=∠AED，∴∠EAD+∠CEF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF；（2）证明：如图，连接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N为EF的中点，∴CN⊥EF，∴∠ANC=90°，∴ΔACN是直角三角形，∵M是AC的中点，∴MN=12AC.∵AM=12AC∴AM=MN，∴∠MAN=∠MNA.∵AF平分∠CAB∴∠MAN=∠NAD，∴∠MNA=∠NAD，∴MN∥AD；（3）解：延长CN交AB于点G，连接DN，∵MN ∥AG ，M 是 AC 的中点，∴N 是 CG 的中点，∴MN =12AG ， 在 Rt △CDG 中， DN =12CG ； ∵∠ACB =90° ， AC =6，BC =8 ，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ， 即： 6×8=10CD ，∴CD =245， ∴AD =√AC 2−CD 2=√62−(245)2=185 ， ∵MN =12AC ， ∴AG =AC =6，∴DG =AG −AD =6−185=125， ∴CG =√CD 2+DG 2=√(245)2+(125)2=12√55， ∴DN =12CG =65√5 . 22．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E 、D 、F ，使得AE ＝BD ＝CF ，过点E作EP△DF ，垂足为点P（1）求证：△BDE△△CFD ；（2）求△DEP 的度数；（3）当点E 、D 、F 分别在三边BA 、CB 及AC 的延长线上时，过点E 作EP△DF ，垂足为点P ，若AE ＝BD ＝CF ＝2，若△BDE 的周长为19，求DP 的长.【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴△B=△C=60°，AB=BC ，∵AE=BD=CF ，∴AB -AE=BC -BD ，即BE=CD ，∴△BDE△△CFD （SAS ）；（2）解：由（1）得△BDE△△CFD ，∴△BED=△CDF ，又∵△EDC=△B+△BED，∴△ EDP+△CDF=△B+△BED，∴△ EDP=△B=60°，∵EP△DF，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30° ；（3）解：∵△ABC边长为6，AE=BD =2，∴BE=AB+AE=8，又∵△BDE的周长为19，∴ DE=19-BD-BE=9，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC=△ACB=60°，BA=CB，∴△EBD=180°-△ABC=180°-△ACB=△DCF=120°，又∵BD=AE，∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，∴△BDE△△CFD（SAS），∴△DEB=△FDC，∵△EBC=△EDB+△DEB=60°，∴△EDB+△FDC=60°，即△EDP=60°，又∵EP△DF ，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30°，∴DE=2DP，∴DP= 4.5.23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，△A＝60°，△B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，△A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM△l于M，DN△l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN 的最大值．【答案】（1）①（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°−60°−40°=80°，如图，当EC＝EA时，△AEC＝60°，当FC＝FB时，△BFC＝100°，当BC＝BG时，△B＝40°．如图，当AC＝AR时，△CAR＝20°，当CA＝CW时，△C＝80°，如图，当BC＝BQ时，△CBQ＝20°，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如图2中，作AG△l于点G．∵CD为AB边上的高，∴△CDB＝△CDA＝90°．∴△ACD＝90°﹣△A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD为△ABC的“友好分割线”，∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵△BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN△l于N，∴△DNE＝△AGE＝90°．∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，{∠AGE=∠DNE DE=AE∠DEN=∠AEG∴△DNE△△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，△CMF＝△AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值为8．【解析】（1）根据“友好分割线”的定义可知，如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．故答案为：①；24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，△ABC＝120°，△ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积.（2）√22（3）解：由题意可知：△ABP△△DBP，∴BA＝BD，△ABP＝△DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，△BAD＝60°，∴△ABP＝△DBP＝30°，∴△PBC＝90°，∵△CPB＝45°，∴△APB＝180°﹣45°＝135°，∴△DPC＝90°，∵△ABC＝120°，△ACB＝45°，∴△BAC＝15°，∴△CAD＝45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP＝DP＝√2，∴AD＝2，延长BP交AD于点E，如图，∵△ABP＝△PBD，∴BE△AD，PE＝12AD＝AE＝1，∴BE＝√AB2−AE2=√4−1＝√3，∴PB＝BE﹣PE＝√3﹣1，∵△CPB＝△PCB＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝√2PB＝√6﹣√2，∴S△PDC＝12×PC•PD＝12×（√6﹣√2）× √2＝√3﹣1.【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2+a2＝2a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2+b2＝c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，则满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，联立解得{a=1b=√2，则Rt△ABC的面积为：√22；故答案为：√22；。
2019-2020初中数学八年级上册《特殊三角形》专项测试(含答案) (20)
浙教版初中数学试卷2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2分)在△ABC中，分析下列条件：①有一个角等于60°的等腰三角形；②有两个角等于60°的三角形；③有3条对称钠的三角形；④有两边相的三角形. 其中能说明△ABC是等边三角形的有（）A．①B．①②C．①②③D．①②③④2．(2分)如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，ED 垂直平分AC，交AC边于点D，交BC 边于E. ∠C= 35°，则∠BAE为（）A． 10°B．15°C．20°D．25°3．(2分)下列说法中，错误的是（）A．等边三角形是特殊的等腰三角形B．等腰三角形底边上的中线是等腰三角形的对称铀C．有一个角为 45°的直角三角形是等腰直角三角形D．等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角4．(2分)已知等腰三角形的周长为 12，一边长为 3、则它的腰长为（）A． 3 B． 4.5 C．3或4.5 D．以上都不正确5．(2分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠A=40°，则∠1=（）A．30°B．40°C．45°D．60°6．(2分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．43B．33C．23D．37．(2分)下列说法错误的是（）A．三个角都相等的三角形是等边三角形B．有两个角是60。
的三角形是等边三角形C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形8．(2分)设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，下图中能表示它们之间关系的是（）A．B．C．D．9．(2分)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一条直角边和一个锐角分别相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．斜边和一个锐角对应相等10．(2分)在△ABC 中，AB =AC，∠A=70°，则∠B的度数是（）A．l10°B．70°C．55°D．40°11．(2分)等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边上的高所在的直线C．顶角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线12．(2分)等腰三角形的周长为l3，各边长均为自然数，这样的三角形有（）A．0个B．l个C． 2个D．3个二、填空题13．(2分)若一个边三角形的边长为 6，则它的面积为 .14．(2分)三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 .15．(2分)如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点8200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为．16．(2分)已知△ABC的三边长分别是8 cm，10 cm ，6 cm，则△ABC的面积是 cm2．17．(2分)如图，锐角△ABC中，∠BOC=140°,两条高BD、CE交于点0，则∠A= ．解答题18．(2分)在△ABC 中，AB= AC= 6，BC= 5，AD⊥BC 于 D，则 CD= ．三、解答题19．(7分) 如图，在5×5 的正方形网格中，小正方形的边长为 1，横、纵线的交叉点称为格点，以AB为其中一边作等腰三角形，使得所作三角形的另一个顶点也在格点上，可以作多少个？请一一作出.图1 图2 C20．(7分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为 BC 边上的一点，∠BAD = ∠CAD ，BD = 6cm ，求BC 的长.21．(7分)已知：如图，在△ABC 中，AD 是么BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ．试说明∠BAF=∠ACF 成立的理由．22．(7分)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．(1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2）证明：DC BE ．23．(7分)如图，某人从点A 出发欲横渡一条河，由于水流影响，实际上岸地点C 偏离欲到达的地点B 有140 m （AB ⊥BC ），结果他在水中实际游了500 m ，求这条河的宽度为多少米?24．(7分)如图①所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2 m ，房间高2．6 m ，所以不必从高度方面考虑方案的设计)，按此方案，可使该家具通过图②中的长廊搬人房间，在图②中把你设计的方案画成草图，并通过近似计算说明按此方案可把家具搬人房间的理由．(注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)25．(7分)试判断：三边长分别为222n n +,21n +、2221n n ++(n>O)的三角形是否是直角三角形?并说明理由．26．(7分)如图，在△ABC 中，AB=AC=41 cm ，D 是AC 上的点，DC= 1cm ，BD=9 cm ，求△ABC 的面积．27．(7分)一艘潜艇在水下800 m处用声纳测得水面上一艘静止的轮船与它的直线距离为l000m，潜艇的速度为20m／s,若它向这艘轮船方向驶去(深度保持不变)，则经多少时间它会位于轮船正下方?28．(7分)已知：如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE中点，G是AB的中点．试说明GF⊥DE．29．(7分)如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，请说明：(1)△BCF是等腰三角形；(2)△ABD≌△ACF；(3)BD=2CE．30．(7分)如图，在△ABC中，CA=CB，CD是高，E、F分别是AB、BC上的点，求作点E、F关于直线CD的对称点(只要求作出图形)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．A9．A10．C11．C12．D二、填空题13．14．平行15．480 m16．2417．40°18．2．5三、解答题19．如图所示．可以作8个20．∵∠BAD=∠CAD ，∴AD 是∠BAC 的平分线．∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∴AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD=CD=12BC ． ∵BD=6cm ，∴BC=12(cm)21．略22．（1）解：图2中ABE ACD △≌△．证明如下： ABC △与AED △均为等腰直角三角形，AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=．BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAE CAD ∠=∠，ABE ACD ∴△≌△．(2）证明：由（1）ABE ACD △≌△知45ACD ABE ∠=∠=，又45ACB ∠=， 90BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=，DC BE ∴⊥．23．480m24．如图放置，可求得 1.41 1.45≈<，所以能通过25．是直角三角形，理由略26．184．5 cm 227．30s28．先说明EG=DG ，再利用三线合一说明29．(1)利用△CBE ≌△FBE 来说明；（2）利用ASA 说明；(3)利用CF=2CE 而CF=BD 来说明30．略。
冀教版数学八年级上册-第十七章-特殊三角形-巩固练习(含答案解析)
A(3，4)．连接 OA，若在直线 a 上存在点 P，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的
点 P 的坐标是________.
11.若等腰三角形的顶角为
，则它腰上的高与底边的夹角是________度．
12.现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得 A、B
【解析】【解答】解：当腰为 6 时，则三角形的三边长分别为 6、6、5，满足三角形的三边 关系，周长为 17； 当腰为 5 时，则三角形的三边长分别为 5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为 16； 综上可知，等腰三角形的周长为 16 或 17． 故选 C． 【分析】分腰为 6 和腰为 5 两种情况，再求其周长． 6.【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得， 3cm 作腰，6cm 作底或 12cm 作底，则三边分别为 3cm，3cm，6cm，不能构成三角形， 3cm，3cm，12cm，不能构成三角形； 6cm 作腰，3cm 作底或 12cm 作底，则三边分别为 6cm，6cm，3cm，能构成三角形， 6cm，6cm，12cm，不能构成三角形； 12cm 作腰，3cm 或 6cm 作底，则三边分别为 12cm，12cm，3cm，能构成三角形， 12cm，12cm，6cm，能构成三角形， 故最多能组成 3 个等腰三角形， 故选：C． 【分析】由题意，可分情况：3cm 作腰，6cm 作底或 12cm 作底；6cm 作腰，3cm 作底或 12cm 作底；12cm 作腰，3cm 或 6cm 作底；再根据三角形的三边关系定理：任意两边之和 大于第三边，判定等腰三角形的个数． 7.【答案】B
的关键是学生熟练掌握三角形内角和定理．
二、填空题
10.【答案】 (8，4)或(－2，4)或(－3，4)或(－ ，4) 【解析】【解答】∵A（3，4）， ∴OB=3，AB=4，
中考数学专题练习：特殊三角形 (含答案)
中考数学专题练习：特殊三角形（含答案）1．（·柳州)如图,图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,点D在BC上,且AD平分∠BAC,则AD的长为( )A．6 B．5 C．4 D．33．在直角三角形中,如果有一个角是30°,那么下列各比值中,最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( )A．3∶4∶5 B．1∶1∶ 2C．5∶12∶13 D．1∶3∶24．（·扬州)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC5．（·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条A．3 B．4 C．5 D．66．（·宿迁)若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．67．等腰三角形的一个内角为40°,则它的顶角的度数为_______________．8．（·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于__________．9．（·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE＋DF＝______．10．（·内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∴△BDE是等腰三角形．参考答案1．C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B7．100°或40°8.2.5 9.2 310．证明：如解图,∵DE∥AC,∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2,∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD,∴∠2＋∠B＝90°,∠3＋∠BDE＝90°,∴∠B＝∠BDE,即BE＝DE,∴△BDE是等腰三角形．。
特殊三角形(直角三角形)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:问题2：30。
角所对的直角边是直角三角形斜边上的中线等于BC = -AB问题3：已知：如图，在RtA ABC中，ZC=90°, ZA=30°.求证：2.你是怎么思、考的？特殊三角形（直角三角形）人教版一、单选题（共9道，每道□分）2.如图,在RtA ABC中，ZACB=90°, AB=4, CD是AB边上的中线,则CD的长为（A.lB.2C.3D.8答案:B解题思路：在Rt△九BC中，Z.4C5=90°, CD是九8边上的中线, 可知CD = ^AB f '：AB=4, ；・CD=2・故选B.试题难度：三颗星知识点：直角三角形2.如图是屋架设计图的一部分，其中ZA=30°,点D 是斜梁AB 的中点，BC, DE 垂直于横梁 AC, AB=16m,则 DE 的长为（ ）答案:B解题思路：•：BC, QE 垂直于横梁川C,・•・乙DEA=/BCA=9y,・・・D 为斜梁九8的中点，九8=16,・•・ ZD = ±13=1x16 = 8, 2 2在 Rt △且DE 中，Z.4=30°, AD=8・•・ Z)£=l.W=-x8 = 4(m)・ 2 2故选B.3.如图，在RtA ABC 中，ZACB=90°, D 是AB 的中点，过点C 作EF 〃AB, 若ZBCF=35°,则ZACD 的度数是（）A.65°C.45°D.35°难度：三颗星知识点：直角三角形A.2mB.4mC.6mD.8mB.55°答案：B解题思路：\'EFl)AB f・•・乙B=ZBCFT 乙BCF=3T・・・Z5=35°在RtAACB中，仞是斜边•站上的中线/. CD=BD•I ZBCD=/B=35。
•・• Z-4C5=90°・•・ZACD=ZACB-ZBCD=55O故选B・试题难度：三颗星知识点：直角三角形4.如图，在△ABC44, ZA=60°, BE±AC,垂足为E, CF丄AB,垂足为F, BE, CF交于点M.若CM=4, FM=5,则BE 等于（）A.14B.13C.12D.9答案：C解题思路：如图,答案:C 解题思路:\'BE1AC, CF1AB, ・・・ZQFW90。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
特殊三角形(综合测试三)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:看到等边三角形想什么？①等边三角形三条边________ ,三个角__________ :②等边三角形“三线合一〃.问题2：看到直角和30。
角想什么？问题3：看到直角和直角三角形斜边上的中线或中点想什么？问题4：看到等腰三角形想什么？①等腰三角形两腰________ ,两个底角 __________ ;②等腰三角形“三线合一〃.问题5：等腰直角三角形两直角边 ______ ,两底角都是_________特殊三角形（综合测试三）人教版一、单选题（共6道，每道16分）1.如图，在AABC中，ZC=90°, ZA=30°, AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则AC与DC的关系是（）A.AC=2DCB.AC=3DCAC=-DCC. 2D.无法确定答案：B 解题思路:如图，•・• DE垂直平分AB:.AD=DB:.ZDBA=ZA=30°VZC=90°, ZJ=3O°,・•・ ZABC=60°,・・・ZC肋=30。
，在RtABCD中，ZC=90°, ZCBD=30°,・•・ BD=2DC:.AD=2DC・・・AC=3DC故选B・试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线性质定理2.如图，在ZkABC中，AB=AC, ZA=12O°, EF垂直平分AB,垂足为E, EF交BC于F, 连接AF.若BC=12cm,则EF等于（）答案:A 解题思路:A.2cm C.4cmB.3cm D.6cmA在厶ABC中，MB三4C, ZB4C=120。
，・•・ Z5=ZC=30°TEF垂直平分•站・・.AF=BF/.Z1=Z5=3O°/.ZC4F=90°在R X AACF中，ZG4F=90°, ZC=30°,・•・ CF=2AF・•・ CF=2BF/. BC=3BFV5C=12/. BF=4在RtABEF中，ZBEF=90。
特殊三角形综合测试(人教版)(含答案)
特殊三角形综合测试（人教版）试卷简介:针对等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定及性质进行综合考查，训练同学们几何做题过程中画图，见到什么想什么，辨析结构的能力.一、单选题(共10道，每道10分)1.在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC,AB于点D,E,则△AEC的周长等于( )A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b答案：A解题思路：根据题意画出图形，∵DE垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=a，∴EC+AE=a，∵AC=b．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=a+b，故选A．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,则∠BAC的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：如图，延长AD交BC于点E．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∵∠ADC=125°，∴∠DCE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到,交AC于点D.若AC=12,则的面积为( )A.6B.9C.12D.18答案：D解题思路：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴由旋转可知：，，∴，∴为等腰直角三角形，∴即．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质4.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1,则DB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：在等边△ABC和等边△DEF中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，DE=DF=EF，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴∠ADF=90°，同理∠EFC=90°，∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），∴AD=BE．在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴BD＝2BE，∴BD＝2AD．∵AB=1，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形5.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,则PE+PF 与BD的大小关系为( )A.PE+PF>BDB.PE+PF=BDC.PE+PF<BDD.无法确定答案：B解题思路：如图，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，（出现多个垂直考虑等面积法），，，∵，即∵AB=AC，∴BD=PE+PF．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质．6.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,按如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.则∠MEC的度数为( )A.30°B.36°C.45°D.60°答案：C解题思路：如图，连接AM．∵三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°，60°角的三角板，∴∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，∴∠DAB=90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∴AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，∴∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°∵M点为BD的中点，∴AM=DM=BM，∴△DEM≌△ACM（SAS），∴ME=MC，∠6=∠5，∵∠AMD=90°，∴∠6+∠EMA=90°，∴∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∴∠MEC=45°．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质7.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于点O,连接BC,则∠BOC的度数为( )A.120°B.125°C.135°D.150°答案：A解题思路：如图，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AC=AE，AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，∠3=60°，∴∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠EAB=∠CAD．∴△EAB≌△CAD（SAS）．∴∠1=∠2∵∠2+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB+∠3=120°，即∠BOC=120°．故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质8.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BN,CM为高,P是BC的中点,连接MN,MP,NP,则以下结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.②④答案：B解题思路：结论①：∵BN，CM为高，∴∠BMC=∠BNC=90°，∵P为BC的中点，∴NP=MP，①正确；结论②：当∠ABC=60°时，∵∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC∵BN，CM为高，∴，∴AM=AN，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN=60°，∴∠AMN=∠ABC∴MN∥BC，②正确；结论③：在Rt△ABN中，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=30°，∴AB=2AN，∴BN≠2AN，③错误；结论④：由③可知AN:AB=1:2，同理可得：AM:AC=1:2，∴AN:AB=AM:AC，④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质9.如图,在△ABD中,C是BD的中点,∠BAC=90°,∠CAD=45°.若AC=2,则AB的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：1．思路点拨看到中点，想到以下几种方法：与直角三角形结合利用直角三角形斜边中线等于斜边一半；与等腰三角形结合利用“三线合一”；另外就是倍长中线或者类倍长中线，结合题目中的条件，发现可以利用倍长中线法．2．解题过程如图，延长AC至点E，使得CE=AC，连接DE．∵C是BD的中点，∴BC=DC，又∵∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD（SAS）∴∠E=∠BAC=90°，DE=AB，∵∠CAD=45°，∴∠ADE=45°，∴AE=DE，∵AE=2AC，∴AB=2AC，∵AC=2，∴AB=4．3．易错点对中点这个条件不敏感，所以需要同学们对于中点的几种用法进行总结，并能够结合题干条件选择合适的方法解决问题．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质10.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在AB,BC边上,且AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G.下列结论:①AE=CD;②∠AFC=120°;③△ADF是等边三角形;④.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④答案：D解题思路：结论①：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，又∵AD=BE∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正确；结论②：由①知△ABE≌△CAD∴∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=120°，故②正确；结论③：∵∠FAD<∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD≠60°，∴△ADF不是等边三角形，故③错误；结论④：由②知∠AFC=120°∴∠AFG=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∴，即．故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选D．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质第11页共11页。
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元综合测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下面说法错误的个数有（）（1）全等三角形对应边上的中线相等．（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠P AQ 的大小是（）A．70°B．55°C．40°D．30°4．如图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．已知射线OC平分∠AOB，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且PM＝PN，PE ⊥OA于点E，若∠PNO＝110°，则∠EPM的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD ＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC二．填空题（共6小题，满分24分）11．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有对．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是；△BEC面积的最大值为．13．如图，△APT与△CPT关于直线PT对称，∠A＝∠APT，延长AT交PC于点F，当∠A ＝°时，∠FTC＝∠C．14．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．16．如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，当BD+BE有最小值时，则△BDE的面积为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．18．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D 重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．19．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：；（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．20．如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．21．如图，△ABC在正方形网格中，已知网格的单位长度为1，点A，B，C均在格点上，按要求回答下列问题：（1）分别写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠ABD，当△BDC是等腰三角形时，求：∠DBC 的度数．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：（1）全等三角形对应边上的中线相等．正确；（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等．正确；（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等．错误；（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等．错误；故选：B．2．解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．3．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．4．解：第一个图形不是轴对称图形，第二、三、四个图形是轴对称图形，故选：A．5．解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BP A，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确；只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．6．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．7．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，由题意可知，BC＝BE，∴∠BEC＝∠ACB＝65°，∴∠CBE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠CBD＝∠CBE＝25°．故选：A．8．解：连接MN，∵射线OC平分∠AOB，PM＝PN，∴OP⊥MN，∠MOP＝∠NOP，∴∠MPO＝∠NPO，在△MOP与△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（ASA），∴∠OMP＝∠PNO＝110°，∴∠EPM＝∠OMP﹣∠OEP＝110°﹣90°＝20°．故选：A．9．解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．10．解：A．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，故A不符合题意；B．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴AD⊥BC，故B不符合题意；C．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴∠BAD＝∠CAD，故C不符合题意；所以排除A，B，C，故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分）11．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB（AAS）；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD（AAS）；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE（AAS）；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），综上所述，共有6对全等的直角三角形．故答案是：6．12．解：∵B、E关于AD对称，∴AE＝AB＝4，则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；又∵B、E不重合，∴CE＜5，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF＝AF﹣AC＝4﹣3＝l，即CE最短为l，即CE的取值范围为：1≤CE＜5；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用面积可知AB×AC＝BC×AG，∴AG＝2.4，∵AE＝AB＝4，∴EG＝4﹣2.4＝1.6，∴△BCE的面积最大值为：1.6×5×＝4，∴△BCE的面积的最大值为4；故答案为：1≤CE＜5；4．13．解：∵△APT与△CPT关于直线PT对称，∴∠A＝∠C，TA＝TC，∠APT＝∠CPT，∵∠A＝∠APT，∴∠A＝∠C＝∠APT＝∠CPT，∵∠FTC＝∠C，∴∠AFP＝∠C+∠FTC＝2∠C＝2∠A，∵∠A+∠APF+∠AFP＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为：36°．14．解：AD＝CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD＝CD．15．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．16．解：过点B作BE⊥CF于点N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四边形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延长BA到M．使得AM＝AB，则B，M关于AC对称，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小时，M，N，D三点共线，此时D为AC的中点，△BDE的面积为：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分56分）17．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．18．（1）证明：连接AE．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ，∵AB⊥l2，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴P，A，Q三点在同一条直线上，∴点A是PQ的中点．（2）解：结论QN＝BD，理由如下：连接PB．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∵l1∥l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7+∠9＝90°，∴∠8+∠10＝90°，∴∠9＝∠10，又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB∥CD，∴∠6＝∠9，∴∠5+∠6＝∠9+∠10，即∠OBP＝∠ODN，∵O是线段BD的中点，∴OB＝OD，又∠BOP＝∠DON，在△BOP和△DON中，∴△BOP≌△DON（AAS），∴BP＝DN，∴BE＝DN，∴QN＝DQ+DN＝DE+BE＝BD．19．解：（1）结论：AC＝CD．理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．（2）（1）中结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．20．解：如下图所示：（答案不唯一）．21．解：（1）由图知，A（0，3）、B（﹣4，4）、C（﹣2，1）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5，答：△ABC的面积为5；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．22．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．23．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．①当BD＝CD时，∠C＝∠CBD＜∠ABC，故不成立；②当BD＝BC时，∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠ABD+∠A+∠ABD＝180°，∴3∠A+2∠ABD＝180°，4∠A＝180°，∴∠A＝45°，∴∠ABD＝22.5°，∴∠ABC＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ACD＝45°；③当CB＝CD时，∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD，设∠ABD＝x，∴∠A＝2x，∴∠CBD＝∠CDB＝3x，∴∠ABC＝∠C＝4x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+4x+4x＝180°，∴x＝18°，∴∠DBC＝54°；综上所述：∠DBC的度数为54°或45°．。
特殊三角形培优专项训练(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．9【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．6【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（）A．10B．4C．D．8【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB．【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故选：D．6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4B．6C．8D．12【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝S Rt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝S Rt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC＝6﹣6+6＝6，故选：B．7．（勾股定理与整体思想）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故选：C．8．（等边三角形“手拉手”模型）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列六个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题；③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到结论；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正确；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正确；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN为等边三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正确；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正确．正确的有：①②③④⑤⑥，共6个．故选：D．9．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5B．4C．3D．2【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC ＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，∴＝，故⑤正确，故选：A．10．（折叠与勾股定理求长度）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF ＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．11．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC 内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，当DE⊥AC时，则DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③错误，故选：A．二．填空题12．（中垂线性质定理与特殊角的应用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DE＝2，则AC的长为．【分析】利用线段垂直平分线的性质，说明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求出∠BEA和∠BDC的度数，利用特殊的直角三角形的性质求出BE、DB的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案为：3+．13．（特殊三角形的判定）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．14．（赵爽弦图）如图由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S2的值是．【分析】先设一个直角三角形的面积为x，然后结合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积关系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：设一个直角三角形的面积为x，∵图中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案为：20．15．（直角三角形的分类讨论）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝．【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，综上所述，PB的值为：1或．16．（将军饮马）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出P A的最小值，可得结论．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠P AB+∠P AC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2P A，∴当P A⊥BC时，P A的值最小，此时P A＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．17．（角平分线与将军饮马）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，则：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到结论；（2）作点A关于BD的对称点A′，根据等腰三角形的性质得到点A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案为：2；（2）作点A关于BD的对称点A′，∵BD是Rt△ABC的角平分线，∴点A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案为：2．18．（折叠与直角三角形分类讨论）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，△DEF为直角三角形，则CF＝．【分析】分两种情况讨论，当∠EFD＝90°时和当∠EDF＝90°时，然后利用折叠的性质和含30°角的直角三角形三边关系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折叠得，∠E＝∠A＝30°，①如图1，当∠EFD＝90°时，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如图2，当∠EDF＝90°时，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝2，综上所述，当△BFC为直角三角形时，CF＝2或．故答案为：2或．三．解答题19．（“两定一动”型等腰三角形分类讨论）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD ＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定与角度转化）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，点D是线段AH 上的一个动点，连接CD，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至点E，连接DE交BC于点F．（1）连接BE，求证：△ACD≌△BCE；（2）当α＝15°时，判断△BEF是什么三角形？并说明理由．（3）在点D运动过程中，当△BEF是锐角三角形时，求α的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；（2）根据三角形内角和定理求出∠ADC，根据全等三角形的性质求出∠CEB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CED，结合图形计算，得到答案；（3）根据三角形内角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根据锐角的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由题意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作类等腰三角形分类讨论）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，△ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个△ABC的4等分线的示意图．（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．）【分析】（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个△ABC的4等分线的示意图；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如图2，取三边的中点D，E，F，并连接，得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②如图，作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，所以△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形与方程思想）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；（2）证明P A＝PQ，构建方程求出m即可．（3）证明DE＝EQ，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴P A＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形动点问题）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP 的长．【解答】解：（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，∴h＝OB＝4，即点P到直线AB的距离是4，故答案为：4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP＝4；综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．24．（特殊三角形综合题）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF ＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．。
浙教版八上第2章特殊三角形专题2.8 最短路径问题专项训练(30道)(含解析)
最短路径问题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共12小题）1．（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）A．cm B．4cm C．cm D．5cm2．（2022春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．A．14B．12C．10D．83．（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．A．15B．C．12D．184．（2022秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）A．米B．米C．米D．5米5．（2022秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）A．B．5C．D．6．（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）cm．A．10B．50C．120D．1307．（2022秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）A．4B．5C．6D．78．（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π取3）m．A．30B．28C．25D．229．（2022春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝7cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝1cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）A．10cm B．C．D．10．（2022秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm11．（2022秋•青岛期末）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）A．B．C．D．12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．A．8B．10C．12D．13二．填空题（共8小题）13．（2022春•德城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 cm．14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在CD上，CE＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m．15．（2022春•仁怀市月考）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A 村、B村到河边的距离分别为2km和7km，且AB两村庄相距13km，则铺设水管的最短长度是 km．16．（2022秋•锦江区校级期末）在一个长6+2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．17．（2022秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA ＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 米．18．（2022春•德州期中）如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 ．19．（2022秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 cm．20．（2022秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．三．解答题（共10小题）21．（2022春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM的长为75m．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．22．（2022秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？23．（2022秋•江北区期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．（2）请根据数学知识说明理由．24．（2022秋•二道区期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB＝12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ；（2）求该金属丝的长．25．（2022秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，长方形对角线为c．一只蚂蚁从A点爬行到C点．（1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；（2）如果把右边的正方形EFBC沿EF翻转90°得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从A点到C点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）26．（2022秋•罗湖区期中）（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？27．（2022秋•元宝区校级期中）一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问：丝带共有多长？28．（2022秋•东明县期中）东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集团，玉皇化工集团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经常看到如图储存罐，根据需要，在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径为6米，高24米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，则梯子至少要多长？29．（2022秋•福田区期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB＝∠A′O′B′＝90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：（1）A′B′＝ cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1＝ cm；（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2＝ cm（π取3）；（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3， 1.4）30．（2022秋•安岳县期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：（1）选择图1或图2中任一个图形来验证勾股定理；（2）利用勾股定理来解决下列问题：如图3，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为16cm，在杯外离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口3cm．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？最短路径问题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共12小题）1．（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长，【解答】解：如图，它运动的最短路程AB（cm）．故选：C．2．（2022春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．A．14B．12C．10D．8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为12cm，求出AB的值；再在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD的长，AD即为所求．【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB＝6cm．∵BD＝8cm，在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，∴AD10（cm），即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．故选：C．3．（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．A．15B．C．12D．18【分析】将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，则先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，再利用勾股定理求A'C的长即可．【解答】解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF ＝A'C，根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度，如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D，由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），CD＝12﹣4+4＝12（cm），由勾股定理得：A'C15（cm），故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选：A．4．（2022秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）A．米B．米C．米D．5米【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2＝22+1.52＝6.25，∴AC＝2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故选：D．5．（2022秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）A．B．5C．D．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB5；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，∴AB；∵5，∴蚂蚁爬行的最短距离是5．故选：B．6．（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）cm．A．10B．50C．120D．130【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB50（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，故选：B．7．（2022秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】过B作BD⊥AC于D，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则AD＝4，BD＝3，∴A，B间的最短路程d5，故选：B．8．（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，∴CF＝15m，在Rt△CDF中，DF25（m），故他滑行的最短距离约为25m．故选：C．9．（2022春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝7cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝1cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）A．10cm B．C．D．【分析】利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1中，MN10（cm），如图2中，MN10（cm），∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，故选：A．10．（2022秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，则AA′15（cm）．故选：D．11．（2022秋•青岛期末）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）A．B．C．D．【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断．【解答】解：如图，有两种展开方法：方法一：PA cm，方法二：PA cm．故需要爬行的最短距离是cm．故选：C．12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．A．8B．10C．12D．13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ13cm．故选：D．二．填空题（共8小题）13．（2022春•德城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 25 cm．【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB25（cm）；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB5（cm）；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB5（cm）；∵25＜55∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．故答案为：25．14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在CD上，CE＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 4 m．【分析】根据题意可得，AD＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．【解答】解：将半圆面展开可得：AD＝12m，DE＝DC﹣CE＝20m，在Rt△ADE中，AE4（m），即滑行的最短路线长为4m，故答案为：4．15．（2022春•仁怀市月考）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A 村、B村到河边的距离分别为2km和7km，且AB两村庄相距13km，则铺设水管的最短长度是 15 km．【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；利用了轴对称的性质可得AP＝A′P，在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出AE的长，再在Rt△A ′CB中利用勾股定理算出A′B的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解．【解答】解：作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短；过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，过A作AE⊥BC于E，则四边形AA′CE和四边形AMNE是矩形，∴EN＝AM＝2，EC＝AA′＝2+2＝4，A′C＝AE，在Rt△ABE中，依题意得：BE＝BN﹣EN＝7﹣2＝5，AB＝13，根据勾股定理可得：AE12，在Rt△B A′C中，BC＝BE+EC＝5+4＝9，A′C＝12，根据勾股定理可得：A′B15，∵PA＝PA′，∴PA+PB＝A′B＝15（km），故答案为：15．16．（2022秋•锦江区校级期末）在一个长6+2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 2 米．【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+等腰直角三角形的两腰，∴长为6+22+2﹣210（米）；宽为4米．于是最短路径为2（米），故答案为：2．17．（2022秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 4 米．【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG＝3米，AP＝AB＝5米，∴PG＝4米，∴BG＝8米，∴PB4（米）．故这只蚂蚁的最短行程应该是4米．故答案为：4．18．（2022春•德州期中）如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 ．【分析】根据题意画出图形，过A作EA⊥CD于E，连接AB，则AB长为最短距离，求出OD＝OC，∠DAC＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出AE＝DE＝EC＝1，根据勾股定理求出即可．【解答】解：如图展开：过A作EA⊥CD于E，连接AB，则AB长为最短距离，∵四边形DFGC是正方形，DC＝BC＝2，∴OD＝OC，∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ECA＝45°，∵AE⊥DC，∴DE＝EC，∵∠DAC＝90°，∴AE＝DE＝EC DC＝1，在△AEB中，∠AEB＝90°，BE＝1+2＝3，EA＝1，由勾股定理得：AB，故答案为：．19．（2022秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 15 cm．【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．【解答】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，∴AB15cm，故答案为：15．20．（2022秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 100 cm．【分析】作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A′G 为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G100cm．∴最短路线长为100cm．故答案为：100．三．解答题（共10小题）21．（2022春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM 的长为75m．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN45（m），∴AN＝AB﹣BN＝125﹣45＝80（m），在Rt△AMN中，AM100（m），∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝100+75＝175（m）；（2）∵AB＝125m，AM＝100m，BM＝75m，∴AB2＝BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC，∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝75m．22．（2022秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解析展开a，b，c与d在同一平面内，如图所示．由题意可知，甲蚂蚁走的路径为A1B，（cm）．乙蚂蚁走的路径为A2B，（cm）．因为，所以A1B＞A2B，故乙蚂蚁先到达目的地．23．（2022秋•江北区期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ③ ；最长的方案是 ① ．（2）请根据数学知识说明理由．【分析】（1）根据“化曲面为平面”，且利用“两点之间线段最短”可知，爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①；（2）分别求出三种方案蚂蚁爬行的路程，比较即可求解．【解答】解：（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．故答案为：③；①；（2）爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．理由如下：‘’设立方体纸盒的棱长为a，则a＞0．方案：①A→B→C→E蚂蚁爬行的路程为：AB+BC+CE＝a+a+a＝3a；方案；②A→C→E蚂蚁爬行的路程为：AC+CE a＝（1）a；方案；③A→D→E蚂蚁爬行的路程为：a．∵a＜（1）a＜3a，∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①．24．（2022秋•二道区期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB＝12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 C ；（2）求该金属丝的长．【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）因为圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故答案为：C；（2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB＝12，∴该长度最短的金属丝的长为2AC＝226．25．（2022秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，长方形对角线为c．一只蚂蚁从A点爬行到C点．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．
浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元测试题含答案
浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试题第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列图案是轴对称图形的是( )2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为( )A．45°B．55°C．65°D．70°3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( )A．AD与BD B．BD与BCC．AD与BC D．AD，BD与BC4．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是( )A．1 B. 2 C. 3 D．25．若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( ) A．5 B．7 C．5或7 D．66．如图所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°7．如图所示，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )A．SSS B．ASA C．SSA D．HL8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )A．44°B．60°C．67°D．77°9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝45°，P是BC边上的动点，则AP 的长不可能是( )A．3.5 B．3.7 C．4 D．4.510．如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( )A．10 cm B．8 cmC．12 cm D．20 cm请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是____________________．12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于点D，则∠DBC＝________°.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．14．直角三角形的两条边长分别为3，4，则它另一边的长为________．15．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.16．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝________.三、解答题(本题共8小题，共66分)17．(6分)如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.19．(6分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD ＝12，求四边形ABCD的面积．20．(8分)如图所示，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，连结DE，EF，FD，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．21．(8分)如图所示，请将下列两个三角形分别分成两个等腰三角形．(要求标出每个等腰三角形的内角度数)22．(10分)在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′，并把它们拼成如图所示的形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．23．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC边上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：(1)∠AEC＝∠C；(2)BD＝2AC.24．(12分)如图所示，O是直线l上一点，在点O的正上方有一点A，满足OA＝3，点A，B位于直线l的同侧，且点B到直线l的距离为5，线段AB＝40，一动点C在直线l 上移动．(1)当点C位于点O左侧时，且OC＝4，直线l上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．(2)连结BC，在点C移动的过程中，是否存在一点C，使得AC＋BC的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．答案1．A 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A11．两直线平行，内错角相等 12．20 13．HL 14．5或7 15．6316． 317．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)． ∵DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEB ＝∠FEC ＝90°， ∴∠B ＋∠EDB ＝∠C ＋∠F ＝90°， ∴∠EDB ＝∠F (等角的余角相等)． 又∵∠EDB ＝∠ADF (对顶角相等)， ∴∠F ＝∠ADF ，∴AD ＝AF ， ∴△ADF 是等腰三角形． 18．证明：如图，连结AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴∠EAD ＝∠FAD .在△AED 和△AFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS )，∴DE ＝DF .19．解：∵∠A 为直角，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2. ∵AD ＝12，AB ＝16，∴BD ＝20.∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252，且BC 2＝252，∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴∠CDB 为直角，∴△ABD 的面积为12×16×12＝96，△BDC 的面积为12×20×15＝150，∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246. 20．证明：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ， ∴BF ＋AB ＝AC ＋AE ，即FA ＝EC . ∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE . 又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE .(2)由△AEF ≌△CDE ，得∠FEA ＝∠EDC . ∵△DEF 是等边三角形，∴∠DEF ＝60°.∵∠BCA ＝∠EDC ＋∠DEC ＝∠FEA ＋∠DEC ＝∠DEF ， ∴∠BCA ＝60°.同理可得∠BAC ＝60°， ∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 21．解：如图所示．22．证明：如图所示，在Rt △ABC 中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°. 又∵∠ACC ′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC ′＝180°， ∴B ，C (A ′)，B ′在同一条直线上． 又∵∠B ＝90°，∠B ′＝90°，∴∠B ＋∠B ′＝180°，∴AB ∥C ′B ′.由面积相等得12(a ＋b )(a ＋b )＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即a 2＋b 2＝c 2.23．证明：(1)∵AD ⊥AB ， ∴△ABD 为直角三角形． ∵E 是BD 的中点，∴AE ＝BE ＝DE ，∴∠B ＝∠BAE .∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠AEC ＝2∠B . 又∵∠C ＝2∠B ，∴∠AEC ＝∠C . (2)由(1)的结论可得AE ＝AC . ∵AE ＝12BD ，∴AC ＝12BD ，即BD ＝2AC .24．解：(1)存在．由勾股定理可求得AC ＝5.当点P 使得△ACP 为等腰三角形时，如图①所示，OP 1＝4，OP 2＝5－4＝1，OP 3＝CP 3＋OC ＝AC ＋OC ＝5＋4＝9.在Rt △AP 4O 中，AP 42＝OP 42＋OA 2，设OP 4＝x ，则(4－x )2＝x 2＋32，解得x ＝78，∴OP 4＝78.综上所述，OP 的长为4或1或9或78.(2)存在．如图②所示，作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 与直线l 相交于点C ，则A ′B 为AC ＋BC 的最小值．过点A ′作A ′E ∥l ，过点B 作BE ⊥A ′E 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点D .在Rt △ABD 中，AB ＝40，BD ＝5－3＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝6.在Rt △A ′BE 中，A ′E ＝AD ＝6，BE ＝5＋3＝8， ∴A ′B ＝BE 2＋A ′E 2＝82＋62＝10， ∴AC ＋BC 的最小值为10.。
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。
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特殊三角形综合练习卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )
A．线段B．等腰三角形C．直角三角形D．圆
2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( )
A．17 B．22 C．13 D．17或22
3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( )
1BD D．BC=2BD
A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=
2
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；
②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( ) A．2个B．4个C．6个D．8个
9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2=MB2等于( )
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．
12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．
14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，
AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．
15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；(2)_____________；(3)_____________．
16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．
18．(6分)如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.
19．(6分)如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD 的度数．
20．(8分)如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．
21．(8分)如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．22．(10分)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，
BE交AC于点F，AD交CE于点H．
(1)说明：△BCE≌△ACD；
(2)说明：CF=CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由．
23．(10分)如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线l1,l2,l3上，且l1,l2之间的距离为2，l2,l3之间的距离为3，求AC的长．
24．(12分)如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．说明：
(1)BD=DE+EC：
(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其他条件不变，则BD与DE，EC
的关系又怎样?请写出结果，不必写过程．
(3)若直线AE绕点A旋转到图(3)时(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关
系如何?请直接写出结果．
参考答案
第2章水平测试
1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C l0．A ll ．36° 12．6cm 或12cm 13．4 14．6.5 l5．解：答案不唯一，∠E=30°，∠ABD=∠DBC=30°，BD ⊥AC 等 l6．5 17．解：BD=CE 或BE=CF 说明△BDE ≌△CDF 18．解：作PF ⊥OB 于F ，∴PF=PE ∵OC 平分∠AOB ∴∠l=∠2 ∵PD ∥0A ∴∠2=∠3 ∴∠l=∠3 ∴PD=OD=4 ∴PE=PF=2
1PD=2 19．解：∵△ABC 是等边三角形 ∴AC=BC ∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=90°∴BC=CD ∴AC=CD ∴∠CAD=∠ADC=2180A ∠-︒ =2
30180︒-︒
=75°∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=75°+60°= l35°20．解：∵△ABC 为等边三角形 ∴⎪⎭⎪⎬
⎫
=∠=∠=BE CD AC AB 21⇒△ABE ≌△ACD ∴AE=AD ∴∠DAE=∠BAC=60°∴△ADE 为等边三角形 21．解：∵BD=BE ∴∠l=∠2=2180B ∠-︒ ∵CD=CF ∴∠3=∠4=2
180C ∠-︒ ∵∠EDF+∠2+∠3=180°∴∠EDF=180°-(∠2+∠3)= 180°-（2180B ∠-︒+23180∠-︒ ）=2
1
（∠B+∠C ）=21(180°-∠A)= 2
1（180°-80°）=50°
22．解：(1) ∵△ABC 和△CDE 都是正△ ∴BC=AC ，∠BCE=∠ACD=120° CE=CD ∴△BCE ≌△ACD(SAS)
(2)∵△BCE ≌∠ACD ∴∠CBF=∠CAH 又∵BC=AC ，∠BCF=∠ACH=60°∴△BCF ≌∠ACH(ASA) ∴CF=CH(3) △CFH 是等边三角形，理由：∵CF=CH ，∠FCH=60°∴△CFH 是等边三角形 23．解：分别过A ，C 作AE ⊥l 3，CD ⊥l 3，垂足分别为E ，D 由题意可知AE=3，CD=2+3=5 又∵AB=BC ，∠ABE=∠BCD ∴Rt △AEB ≌△CBD(AAS) ∴AE=BD=3 ∴CB 2=BD 2+CD 2=32+52=34 ∴AC 2=AB 2+CB 2=34×2=68 ∵AC ＞0 ∴AC=68=172
24．解：(1) ∵△ABC 为等腰直角三角形 ∴∠BAE+∠EAC=90°∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ∴∠ADB=∠AEC=90°∠BAE+∠ABD=90°∴∠EAC=∠ABD ∵AB=AC ∴△ABD ≌△CAE ∴BD=AE ，AD=EC ∴BD=AD+DE=EC+DE (2)BD=EC+DE 仍成立 (3)BD=EC+DF 仍成立。