随机变量的方差
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式相互独立的随机变量，是指两个或多个随机变量完全独立，即当其中一个随机变量发生变化时，另一个随机变量不会受到影响。
它也被称为“完全独立的随机变量”，是概率论中比较重要的概念。
如何用方差公式衡量相互独立的随机变量？方差公式可以用来衡量相互独立的随机变量，方差公式是指：当一组随机变量X1，X2，X3，……，Xn服从某一分布模型，其期望值为μ，则X1，X2，X3，……，Xn的方差公式可以定义为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]。
另外，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用如下的方式计算：σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
计算相互独立的随机变量的方差公式计算相互独立的随机变量的方差公式，可以使用以上提到的两个公式，即：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]和σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
例如，如果有三个相互独立的随机变量X1, X2, X3，则方差公式为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+(X3-μ)^2]。
又例如，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用公式σ^2X+^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]来计算。
相互独立的随机变量的方差公式的应用在统计学和概率论中，方差公式是计算分布和数据的偏差的重要参数。
它能够准确反映样本空间的分布情况。
进一步来讲，方差公式也可以用来计算相互独立的随机变量之间的关系。
例如，通过计算不同变量之间的方差比，我们可以比较这些变量之间的相关性。
另外，它还可以用来估计待检变量的方差，从而检验样本的变异性，这在实际的科学研究中也非常有用。
本文所介绍的方差公式对于研究相互独立的随机变量之间的关系也非常有用。
它能够帮助我们精确地计算和比较变量之间的差异，从而使实验结果更加准确。
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
随机变量的期望与方差计算
随机变量的期望与方差计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机事件的结果。
在实际问题中，我们经常需要计算随机变量的期望和方差，以了解随机变量的平均值和离散程度。
本文将介绍如何计算随机变量的期望和方差，并通过实例进行说明。
一、随机变量的期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x为随机变量的取值，P(X=x)为随机变量取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，投掷结果为1、2、3、4、5、6的概率均等。
我们可以计算骰子的期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5这表示骰子的平均值为3.5。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
例如，假设有一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
我们可以计算X的期望：E(X) = ∫(x * (1/√(2πσ^2)) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2)))dx这个积分可以通过数值计算方法或数学软件进行求解。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值离散程度的指标，它描述了随机变量取值与期望之间的差异。
方差的计算公式为：Var(X) = E((X - E(X))^2)其中，E(X)为随机变量的期望。
方差的计算可以通过以下公式简化：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X=x))例如，假设有一个骰子，我们已经计算出其期望为3.5。
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
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方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
概率与统计中的随机变量的方差
概率与统计中的随机变量的方差概率与统计是一门研究事件发生的规律性以及数理统计方法的学科。
在概率与统计中，随机变量是一种描述随机试验结果的数学模型。
方差是随机变量的重要统计量之一，用来度量随机变量取值的分散程度。
本文将探讨概率与统计中的随机变量的方差，以及方差的计算方法和应用。
一、随机变量的概念随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它是对随机试验结果的数量特征的描述。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量只能取有限或可列无限个值，而连续随机变量可以取无限个值。
二、方差的定义与性质方差是衡量随机变量取值的离散程度的统计量。
对于离散随机变量X，其方差的计算公式为Var(X) = E[(X-μ)²]，其中E表示期望，μ表示随机变量X的均值。
对于连续随机变量X，其方差的计算公式为Var(X) = ∫(x-μ)²f(x)dx，其中f(x)是X的概率密度函数。
方差具有以下性质：1. 非负性：方差必须大于等于0，即Var(X) ≥ 0。
2. 线性性质：对于常数a和b，Var(aX + b) = a² Var(X)。
3. 方差的可加性：对于不相关的随机变量X和Y，Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)。
三、方差的计算方法计算随机变量的方差需要明确随机变量的分布情况，包括离散随机变量和连续随机变量。
对于离散随机变量，可以使用概率分布列来计算方差。
具体步骤如下：1. 计算随机变量的均值μ。
2. 计算随机变量每个取值与均值的差值的平方。
3. 将每个差值的平方与其对应的概率相乘。
4. 将所有结果相加，得到方差。
对于连续随机变量，可以使用概率密度函数来计算方差，具体步骤如下：1. 计算随机变量的均值μ。
2. 计算随机变量每个取值与均值的差值的平方。
3. 将每个差值的平方乘以概率密度函数的值。
4. 将所有结果积分，得到方差。
四、方差的应用方差在概率与统计中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 风险评估：方差可以用来衡量不同投资组合的风险。
概率论方差的计算公式
概率论方差的计算公式
方差是衡量随机变量离其数学期望的平均距离的统计量，它可以帮助我们了解数据的离散程度。
方差的计算公式如下：
设随机变量X的数学期望为μ，则X的方差Var(X)的计算公式为：
Var(X) = E[(X μ)^2]
其中，E表示随机变量的期望值，X表示随机变量的取值，μ表示随机变量的数学期望。
另一种常用的方差计算公式是：
Var(X) = E(X^2) [E(X)]^2。
这个公式也可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X^2的期望值。
在实际计算中，我们可以根据具体的数据和问题选择合适的公
式进行计算。
无论使用哪种公式，计算方差都需要先计算出随机变量的数学期望，然后根据相应的公式进行计算。
需要注意的是，方差的计算公式是概率论中非常基础和重要的内容，对于不同类型的随机变量（如离散型随机变量和连续型随机变量），其计算方式可能会有所不同。
因此在具体计算时需要结合具体问题和随机变量的特点来选择合适的计算方法。
总之，方差的计算公式是概率论中的重要内容，通过合适的计算公式可以帮助我们更好地理解和分析随机变量的离散程度。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。
在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。
一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。
例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。
随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。
二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。
方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。
这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。
例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。
在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。
现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式
方差是统计学领域中最常见的统计度量之一，它可以用来衡量一组数据内数据点的离散程度。
方差是通过计算数据点与其平均数之差的平方值来估计的，而相互独立的随机变量的方差公式可以帮助我们确定一组数据的变化范围。
相互独立的随机变量的方差公式可以被定义为：
方差 = $sum_{i=1}^{n} p_i(x_i-μ)^2$
其中，$x_i$表示第i个数据点，$p_i$表示数据点i的概率，$μ$表示总体数据的平均数。
相互独立的随机变量的方差公式可以用来测量一组数据内数据
点离散程度，以便可以更好地分析数据分布特性，此外，方差还可以用来测量随机变量之间的相关性，从而推断两个变量之间的相关性强弱。
除此之外，相互独立的随机变量的方差公式还可以帮助我们确定一组数据的变化范围。
对于一组数据，其方差的大小反映了其变化的范围，当方差较大时，表明该组数据内数据点的变化范围较大，反之，当方差较小时，表明该组数据内数据点的变化范围较小。
此外，在一组数据中，每个数据点的概率也会影响方差的大小，当每个数据点的概率较小时，方差会更大，反之，当每个数据点的概率较大时，方差会更小。
总而言之，相互独立的随机变量的方差公式是一种有效的统计技术，可以用来评估数据点的离散程度，反映数据集的数据变化范围，
以及识别变量之间的相关性，是统计学领域中不可或缺的一环。
3.2随机变量的方差
一样的，还必须考虑这两个班级学生的两极分
化情况.为了反映随机变量的这种离散程度，我
们引入方差概念.
一、方差的概念
1．定义1 定义3.2.1 设 是一个随机变量，数学期望 E
2 为随机 存在，则称 E ( E ) E ( E ) 存在，如果
2
变量的方差,并记为. D 或Var
这个结论的充分性是显然的，下面证明必要性：
1 1 D 0 P( E 0) P( E ) P( E ) 0 n n 1 n n 1 1 2 n 1 ( ) n
由此知
P( E ) 0
更一般地，若 1 , 2
, n 两两独立，则
D1 n D1 D n
性质4 对任意的常数 C E ，则有 D E( C) 2 事实上 E ( C )2 E ( E E C ) 2
E ( E ) 2 2( E C ) E ( E ) ( E C ) 2 D ( E C ) 2 .
E 2
a
2 2 x a ab b x 2 p ( x)dx 4(b a ) a 3 2 2 2
(b a ) D E ( E ) . 12
7) 指数分布 设 ~ E( ) ，已知 E , 因为
E x p( x)dx x e dx x 2d (e x )
契贝晓夫不等式也可以表示成
P( a ) 1 D
2
由切比雪夫不等式看出， D 越小，事件 发生的概率越小， 越是集中在 的附近取值.由
此可见，方差刻划了随机变量取值的离散程度.
离散型随机变量方差两个公式
离散型随机变量方差两个公式
1.方差的定义公式：
方差定义为随机变量与其均值之间的偏差的平方的期望值。
设离散型随机变量X的概率分布为P(X=x_i)=p_i，其中
i=1,2,3,...n，设X的均值为μ。
则随机变量X的方差Var(X)的计算公式如下：
Var(X) = E[(X-μ)^2] = ∑(x_i-μ)^2 * p_i
其中，E代表期望值，∑代表对所有取值求和。
这个公式表达了随机变量与其均值的偏差的平方与概率的乘积的加权平均。
2.方差的计算公式：
方差的计算公式是将随机变量的取值与基准点（通常为均值）的距离平方与概率的乘积的加权平均。
设离散型随机变量X的概率分布为P(X=x_i)=p_i，其中
i=1,2,3,...n，设X的均值为μ。
则随机变量X的方差Var(X)的计算公式如下：
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = ∑(x_i^2 * p_i) - μ^2
这个公式通过计算随机变量的平方的期望值减去均值的平方，得到随机变量离均值的偏离程度。
这两个公式可以根据具体的情况选择使用。
在实际计算中，可以根据所给的概率分布和基准点的取值来选择使用哪个公式。
一般来讲，如果给定了概率分布的具体取值，可以使用第一个公式来计算方差；如果给定了概率分布的均值，可以使用第二个公式来计算方差。
方差是衡量随机变量离其均值的离散程度的一个重要指标。
它可以反映随机变量的波动程度和离散程度。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
§4.2随机变量的方差
课堂练习
1. 设
1 x , 1 x 0 X ~ f (x) 1 x , 0 x 1 则方差D(X)=( )。
0 , 其 他
2.随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求 (1)EX, (2)DX, (3)EY, (4)DY.
3.
例6.设X~
x 0 x 1
f ( x ) 2 x 1 x 2 ,求EX,DX.
0
其它
1
2
解:(1)EX= xf ( x )dx x xdx x( 2 x )dx
0
1
1
x3
1
(
x2
1
x3
2 )
=1
30
31
(2)E(X2)= x2 f ( x )dx
(4) DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2] (注:EX是常数) =EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2 =EX2-(EX)2
(5) 若X与Y相互独立，则 D X Y D X DY ；
证明： 若X与Y相互独立,则已知
( 2 )E[( X C )2 ] E[( X )2 ] ( 3 ) E[( X C )2 ] E[( X )2 ] ( 4 )E[( X C )2 ] E[( X )2 ]
解: E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2] =EX2-E(2CX)+C2 =EX2-2C E( X)+C2 =[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式反映了统计学中变量之间的相关性，在统计分析中非常重要。
本文将介绍相互独立的随机变量的方差公式及其应用。
首先，让我们来看一下相互独立的随机变量的方差。
它是一种具有平均值和标准差的变量。
方差是一种度量离散变量在不同值之间的距离的方法。
其公式为：
σ2 =（Xi-μ）2 / n
其中，Xi是变量的每个不同值，μ是变量的总体平均值，n是变量的独立样本数量。
该公式的主要意义在于，它反映了变量的离散程度，即变量的值是否比较集中或分散。
其次，相互独立的随机变量的方差也可以用来衡量两个变量之间的相关性。
它可以用来计算变量之间的协方差，从而衡量两个变量之间的相关性：
σXY =（Xi-μX）(Yi-μY) / n
其中，Xi是变量X的每个不同值，μX是变量X的总体平均值，Yi是变量Y的每个不同值，μY是变量Y的总体平均值，n是变量的独立样本数量。
此外，根据此公式，如果协方差大于零，表明变量之间存在正相关；如果为负，表明变量之间存在负相关；如果为零，表明变量之间不存在相关。
最后，相互独立的随机变量的方差公式在数学建模中也受到广泛应用。
它可以用来分析连续变量和离散变量之间的关系，同时也
可以用来衡量变量之间的相关性。
相互独立的随机变量的方差公式给统计学带来了非常大的帮助，可以帮助我们更好地理解变量之间的关系。
综上所述，相互独立的随机变量的方差公式是一种可以衡量变量之间的相关性的重要工具，在统计分析中发挥着重要作用。
它的应用也在数学建模中受到广泛的应用，可以帮助我们更好地理解变量之间的关系。
随机变量的期望与方差
随机变量的期望与方差随机变量是概率论中的重要概念，它描述了在概率试验中可能出现的各种结果以及与这些结果相关联的概率。
在这篇文章中，我们将讨论随机变量的期望与方差，这是两个度量随机变量集中程度的重要指标。
一、随机变量的期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值。
它是描述随机变量平均取值水平的指标。
设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，它们对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的期望值（记为E(X)）可以通过以下公式计算：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn例如，假设我们有一个掷骰子的概率试验，随机变量X表示掷骰子的结果。
骰子的六个面分别标有1到6的数字。
每个面朝上的概率均等，即1/6。
那么X的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5在这个例子中，掷骰子的平均结果为3.5。
二、随机变量的方差随机变量的方差描述了随机变量取值在期望值周围的离散程度。
方差越大，随机变量取值相对于期望值的离散程度越大。
方差的计算公式如下：Var(X) = E((X - E(X))^2)其中，E(X)表示随机变量X的期望值。
该公式的含义是，计算随机变量X取值与期望值之差的平方的期望。
在上述掷骰子的例子中，我们可以计算出随机变量X的方差。
E((X - 3.5)^2) = (1-3.5)^2*(1/6) + (2-3.5)^2*(1/6) + ... + (6-3.5)^2*(1/6) ≈ 2.92所以，随机变量X的方差为2.92。
三、随机变量的期望与方差的意义期望和方差是描述随机变量性质的两个重要指标。
期望告诉我们随机变量的平均取值水平，而方差则描述了随机变量取值的离散程度。
在统计学和概率论中，期望和方差有着广泛的应用。
例如，在保险领域，可以根据过去的理赔数据计算出某种保险险种的平均赔付额。
3.3 概率论——随机变量的方差
DX ( xn EX )2 pn
n1
对于c.r.v. X ,若p.d. f .为 f ( x), DX ( x EX )2 f ( x)dx
由于方差是r.v.( X EX )2的期望，因此方差 DX
也是一个确定的常数，并且 DX 0
D( X Y ) D( X ) D(Y )
此性质可以推广到有限多个相互独立的随机 变量之和的情况.
三、Chebyshev不等式
定理 4 设随机变量 X的期望 EX和方差 DX都存在，
对于任何常数 0，有P( X
EX
)
DX 2
或者
DX P( X EX ) 1 2
注1： Chebyshev不等式给出了大 偏差发生的概率的上界， 方差愈大则上界愈大。
2 3
0 x2 ( x)dx
1
1 x2 xdx 1
0
2
这与我们对分布的直观 认识是一致的
例 6：设c.r.v.X
~
f (x)
1
xb
e a,
2a
求数学期望 EX和方差 DX
解：
EX
xf
( x)dx
x 2a
e
xb a
dx
1 2a
b
xe
xb
a dx
1 2a
b
b x
xe a dx
1 (b a) 1 (b a) b
X2 2 1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
EX1 EX2 0, 但显然， 甲表比乙表走时稳定 。
一、方差的概念
定义3.3：设X为随机变量，若期望 E( X EX )2存在，
随机变量的方差
随机变量的方差
1
4.2 方差
一. 定义与性质 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。
如何定义？
2
1.(p121)定义 若E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为随机变量 X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
可见
2 [ x E ( X )] P{ X xk }, 离散型情形 k D( X ) k 1 2 [ x E ( X )] f ( x )dx, 连续型情形
3
2.推论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
例1：设随机变量X的概率密度为 1 x 1 x 0 f ( x) 1 x 0 x 1 0 其它
5. 正态分布N(, 2)：
D X 2
6
1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续 型随机变量Y，使它们的期望都是2， 方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，
且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2）
7
三.切比雪夫不等式 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意 D( X ) 0，有 P{| X E( X ) | } ; 2 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
i 1 i 1 n n5Βιβλιοθήκη 二.几个常用随机变量的方差
1. 二项分布B(n, p)： 2. 泊松分布p()：
D X np(1 p) D X
1 2 D X b a 12 1 D X 2
随机变量的方差和标准差
P|
x
EX
|
f
|xEX |
( x)dx
1
2
(x
EX
)2
f
(x)dx
DX
2
例4.11 设随机变量X的数学期望为μ，方差为 ，2 则由切
贝绍夫不等式，有
P 3 X 3 P X 3 1 1 0.89 9 然而，假如 X ~ N(, 2 ) 则利用附表1，可得
P
3
X
3
P|
X
|
3
一、随机变量的方差和标准差的 概念和性质
1、方差和标准差的定义 X－EX表示随机变量 X 对数学期 望 EX 的离差；为避免离差符号的影响，人们常使用X 对数 学期望 EX 的平方离差 (X EX )2 它显然也是随机变量；称 (X EX )2 的数学期望
DX E(X EX )2 EX 2 (EX )2
二、切贝绍夫不等式
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意ε>0， 事件{|X－EX|≥ε}的概率有如下估计式——切贝绍夫不等式：
P
X
EX
DX
2
或
P X EX
1
DX
2
证明 (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为{Xi}，
则对于任意ε>0，有
P X EX PX xi
xi EX
1
2 xi EX
( X EX )2 P
X xi
1
2
xi
(X
EX )2 PX
xi
DX
2
,
其中前两个和式∑表示对于满足| xi －EX|≥ε的X 的一切可能 值xi求和，后一个和式∑表示对于X 的一切可能值xi求和．
4.2随机变量的方差
例3 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期
望 和方差 2 ， 则: 证明:
n 1 n 1 1 n E ( X i ) E ( X i ) E ( X i ) , n i 1 n i 1 n i 1 n 1 n 1 1 n 1 2 D( X i ) 2 D( X i ) 2 D( X i ) . n i 1 n n i 1 n i 1
D(X)=D(X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)= npq.
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都 存在, 且D(X ) 0, 则称
X
X E( X ) D( X )
为 X 的标准化随机变量. 显然，
E ( X ) 0, D( X ) 1
1 n E( X i ) , n i 1
1 n 1 2 D( X i ) . n i 1 n
例4 已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且 每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn .求 E(Y2). 解：由已知，则有
E (Y ) E (Y1 ) E (Y2 ) E (Yn ) 0 D(Y ) D(Y1 ) D(Y2 ) D(Yn ) n
若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大.
1) D(X)0，即方差是一个非负实数. 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差 为D(X). 3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征.
(1)若 X 为离散型，概率分布为
P X xk pk , k 1, 2,
两个随机变量方差的计算公式
两个随机变量方差的计算公式在我们学习概率论和统计学的过程中，两个随机变量方差的计算公式可是个重要的知识点。
别一听到公式就头疼，其实弄明白它也没那么难！咱们先来说说什么是随机变量。
比如说，抛硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为 0，这里的 1 和 0 就是随机变量。
那方差呢，简单来说就是描述随机变量取值分散程度的一个量。
两个随机变量方差的计算公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多问题的大门。
先来看公式：若有两个随机变量 X 和 Y，它们的方差分别为 Var(X) 和 Var(Y)，协方差为 Cov(X,Y) ，那么它们的和的方差 Var(X + Y) =Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) ；它们的差的方差 Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y) 。
这公式看起来有点复杂，对吧？我给您举个例子，您就明白啦。
有一天我去菜市场买菜，发现卖苹果的摊位有两种苹果，一种是红富士，一种是国光。
假设红富士苹果的重量是随机变量 X，国光苹果的重量是随机变量 Y。
红富士苹果重量的方差 Var(X) 表示红富士苹果重量的分散程度，国光苹果重量的方差 Var(Y) 同理。
而它们的协方差Cov(X,Y) 呢，就反映了这两种苹果重量之间的某种关联。
假如红富士苹果的平均重量是 300 克，方差是 50 克²；国光苹果的平均重量是 250 克，方差是 40 克²。
而且它们的协方差是 10 克²。
那如果我们把这两种苹果的重量加起来，也就是 Var(X + Y) ，就可以用公式来算啦。
Var(X + Y) = 50 + 40 + 2×10 = 110 克²。
这就意味着，把两种苹果的重量加起来后，整体的重量分散程度是 110 克²。
再比如说，我们想知道红富士苹果重量减去国光苹果重量的方差，也就是 Var(X - Y) 。
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§2.3 随机变量的方差
随机变量X 的数学期望)(X E 是该随机变量X （或其分布）的一种位置特征数，是随机变量X 取值的一个“中心”.但它并没有告诉我们X 的取值相对于这个“中心”的偏离程度，或者说波动程度等方面的信息。
无论在理论上还是实用中，这方面的信息都是非常重要和有意义。
比如，考虑测量误差X ，如果该测量没有系统误差则意味着X 的均值0)(=X E ，这往往是个基本要求，而我们会更关注测量误差围绕其均值0)(=X E 波动的程度。
再比如，考虑某项风险投资的收益X ，除了关注平均收益)(X E 外，还会关注收益的波动情况。
等等。
由于数学期望)(X E 是其取值的一个中心位置，自然地，度量X 取值的波动程度的一个合理的方法是考察X 取值与)(X E 的距离。
一种方式就是考虑X 取值与)(X E 的距离|)(|X E X -的均值|)([|X E X E -。
但是，由于绝对值在数学上处理很不方便，人们就考虑另一种方式：先
把距离|)(|X E X -平方，再取其均值2)(）（X E X E -。
把它作为X 取值散
布程度的度量，这个量就叫做方差。
定义 设X 的期望为μ，且)(2X E 存在，则称2)(μ-X E 为X （或其分布）的方差，记为)(X Var 或)(X D 。
即
2)()(μ-=X E X Var 称方差的平方根)(X Var 为X 的标准差，记为)(X σ。
方差和标准差都是用以刻画随机变量取值的散布程度的特征数，差别主要体现在量纲上。
方差或标准差越小，随机变量取值越集中，反之越分散。
从方差的定义可以看出随机变量方差X 是X 的函数
2))(X E X -（的期望，那么在有了X 的分布列)(i x p 或概率密度)(x p 后，利用上一节介绍的随机变量函数的期望的计算方法，可得
∑∞
=-=12)())()(i i i x p X E x X Var （
或
⎰+∞
∞--=dx x p X E x X Var )())(()(2 方差的计算更多地用以下公式：
22)]([)()(X E X E X Var -=
这个公式的推导留给同学们完成。
这个公式变形为
22)]([)()(X E X Var X E +=
在已知期望和方差的情况下，利用上式可方便地求出)(2X E ，易见对任意随机变量X ，总有22)]([)(X E X E ≥。
上面等式可推广至更一般的情况：对于任一常数c ，有
22])([)())((c X E X Var c X E -+=-
可见，对于任一常数c ，有
)())((2X Var c X E ≥-
并且等号成立当且仅当)(X E c =。
换言之，随机变量X 的期望)(X E 是函数2)()(t X E t f -=的最小值点，且最小值就是X 的方差。
例 随机变量X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=else
x x x p ,020,2-1)(
求)(X Var .
例 随机变量X 的分布列为
N i N
i X P ,,2,1,1)( === 求)(X Var .（这种分布叫做离散均匀分布） 解：2
11)(1+=⋅
=∑=N N i X E N i 6
)12)(1(1)(122++=⋅=∑=N N N i X E N i 22
)]([)()(X E X E X Var -=1212-=N 二．方差的性质
由方差的定义及期望的性质易得方差有如下性质。
1.设c 是常数，则0)(=c Var
2. 设b a ,是常数，则)()(2X Var a b aX Var =+
以上性质的推导请同学们完成。
三．切比雪夫不等式
下面给出概率论中一个重要的基本不等式。
定理（切比雪夫不等式） 设随机变量X 的方差存在，则对于0>ε∀，有 2)()|)((|ε
≤
ε≥-X Var X E X P 或 2
)(1)|)((|ε-≥ε<-X Var X E X P 下面就X 是连续型随机变量的情况给出证明。
设X 具有概率密度)(x p ，记μ=)(X E ，有
⎰ε≥μ-=ε≥-}|:|{)()|)((|x x dx x p X E X P
⎰⎰∞+∞-ε≥μ-μ-ε≤εμ-≤dx x p x dx x p x x x )()(1)()(22}|:|{22
2)(ε
=X Var 。
在概率论，事件}|)({|ε≥-X E X 称为大偏差，切比雪夫不等式给出大偏差发生概率的一个上界。
这个上界与方差成正比。
同时这个不等式是切比雪夫大数定律的基础。
下面用切比雪夫不等式证明：若0)(=X Var ，则1)(==c X P 。
证明：})1|)({|())((1 ∞=<-==n n
X E X P X E X P
)1|)((|lim n
X E X P n <-=∞→ 而1/1)(1)1|)((|2
=-≥<-n X Var n X E X P 从而对+∈∀N n ，1)1|)((|=<-n
X E X P ，故 1))((==X E X P
证毕。
同时可看出结论中的常数c 就是)(X E 。