多元函数的极限

多元函数的极限
摘要:多元函数是是一元函数的推广，由于自变量个数的增加，函数的极限和连续与一元函数相比复杂了很多。

本文研究了多元函数的极限与连续，文章第一部分通过例题的形式总结了求解多元函数极限的几类方法。

而极限与连续是紧密联系的，在本文第二部分中，我们讨论了连续、对单变量连续、以及一致连续之间的关系。

关键词:多元函数;极限;连续
一元函数只有一个自变量，它所能描述的只是客观现实中的很少一部分事物的变化，而更多的情形需要我们考虑多因素影响下事物的变化规律。

例如，矩形的面积依赖于两个量:长和宽;长方体的体积则依赖于三个量:长、宽和高;而空间每一点温度的变化不仅依赖于每一点的位置(x,y,z)，而且还随时间的变化而变化，这时它依赖于四个变量。

因此，为了研究这些比较复杂的问题，我们需要在一元函数的基础上增加自变量的个数。

这就是多元函数。

和一元函数一样，极限与连续是研究多元函数微积分的基础。

自变量由一个变成多个，一方面，多个要以一个为前提。

因此，我们学过的一元函数的极限、连续性与微积分，对多元函数的学习是必不可少的。

另一方面，由单个自变量到多个，也必然会有本质的变化。

变化之一是，一个自变量作为直线上的点是有大小顺序的，而多个自变量，例如两个自变量，作为平面上的点是没有大小顺序的。

本质变化之二是，对直线上固定的一点，其它点趋向于它只有左右两个方向，十分简单，而平面上则有无穷多个方向。

因此，掌握从一元到多元的差异，应该是在学习多元函数中需要特别注意的。

从一元到二元，是需要许多新思想的，但从二元到多于二元，新的思想就不多了，只是形式和计算上会复杂很多。

因此，其它多元函数可以
仿照二元函数的性质来研究。

下面我们从二元函数说起，来研究多元函数的极限和连续。

1 多元函数的极限
1.1重极限
1.1.1定义及性质
2,定义1.1:设f是定义在DR上的二元函数，为D的一个聚点，A是一P0。

,个确定的数。

若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P(;δ)?DPU0时，都有f(P)-A<ε，则称f在D上当时以A为极限，记作f(P)=A.
PP,lim,,0PP,0PD,
,在对于PD不致产生误解时，也可以简单地写作limf(P)=A. PP,0
当P, 分别用坐标(x,y),()表示时，也可以记作Pxy00,0
=A. lim,fxy，，(,)()xyxy,0,0
下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结
原则。

limfPA,定理1.1:的充要条件是:对于D的任一子集E，只要是EP，，0PP,0PD, limfPA,的聚点，就有。

，，PP,0PD,
limfPlimfP推论1:设EDP,,是它们的聚点，若不存在，则也不，，，，
10PP,PP,00PE,PD,1存在。

推论2:设是它们的聚点，若存在极限 EEDP,,,120
lim,fPA,limfPA,limfP ,但，则不存在。

AA,，，，，，，
1212PP,PP,PP,000PE,PD,PE,12
limfP推论3:极限存在的充要条件是:对于D中任一满足条件PP,，，，
n0PP,0PD,
且的点列P，它所对应的函数列fP都收敛。

limPP,,,，，,,nnn0,,n
二元函数极限的四则运算:
lim,,lim,fxyAgxyB,, 若,则，，，，xyxyxyxy,,,,,,，，，，，，，，0000 lim,,fxygxyAB,,,，， 1、:; ，，，，，，xyxy,,,，，，，00
lim,,fxygxyAB, 2、 ; ，，，，xyxy,,,，，，，00
fxy,，，A 3、 lim,0B ,,，，xyxy,,,，，，，00gxyB,，，
1.1.2 求极限的几种方法
在多元函数微分学的学习中, 求函数的二重极限是学生普遍感到困fxy,，，难的间题之一。

原因在于二重极限定义中动点趋向于点的方式Pxy,Pxy,，，，，000
是任意的, 因而平面上点趋向于。

的方式有无穷多,比起一元函数的极限只PP0 有左、右两个单侧极限来说, 要复杂的多。

多元函数的极限可能不存在，如果极
限存在，如何求极限值呢,下面我们来讨论求解多元函数极限的方法，先从二
元
函数求起。

1)、利用定义直接求解 (
22例1.1:求() limxxyy，，(,)(2,1)xy,
22,，，,,,xxyy
22,,,，,，,,(4)2(1xxyy解:
,,，,，,，,，，,,(2)(2)(2)2(1)(1)(1)xxxyyyy
,,,,,，，,，,,,,,，,,xxy22yy
先限制在点(2,1)的的方邻域 ,,1
内讨论，于是有 (,)xyxy,,,,,,,～,,,,,,,,
,，,,,,，,,,,,，,yyy314145 ,，，,,,,，,，,xyxy2(2)(1)5
,,,,，,,,，,xy2157
所以
22,，，,,xxyy7
,,,,,,，,,,,,xy
,,，,,,,，,,,,，xy
,,,min1,,设为任给的正数，取则当,,,,,,,,,xyxy2,1,(,)(2,1),,,,,,,14,, 时，就有
22 ,，，,,,,,,xxyy77214,,,
22因此()=7 limxxyy，，(,)(2,1)xy,
1例1.2 求 xy，lim23cos，，22xy,,0,0，，，，xy，
1解:当时， xy,0,0,,，，,,,,，,,,,,,，,,,23)cosxyxyxy，，，，22xy，,所以对任给正数，取=，当时，且时，有 ,,,,,,xy,,,xy,0,0,,,，，，，5 1，即 ,，，,,,23)cosxy22，xy
1xy，=0 lim23cos，，22xy,,0,0，，，，xy，
一般情况下，如果我们要求极限，就必须知道“A”的值，还要找出，"", 对于一些简单的多元函数，可以很容易的找出“A”和。

然而在很多情况下，"",
22xy,直接套用定义来求极限并不容易。

例如f(x,y)=,，要求
xyxy,0,0,，，，，22xy，
，我们很难直接用定义求出来，那么我们就需要想其他的方法。

lim,fxy，，xy,0,0,，，，，
(2)通过变形化简求极限
例1.3
22xy，求 lim22xy,,0,0，，，，11，，,xy
22解:当时，，因此 xy,0,0,110，，,,xy，，，，
222222()(11)xyxy，，，，xy，
limlim,222222xyxy,,,0,0,0,0，，，，，，，，11(11)(11)，，,，，,，，，xyxyxy
22,，，，,lim112xyxy,，，，，,0,0
一般的，当分母出现根号，并且PP,时，分母的值为0，那么我们首先想0 到是分母有理化，再求极限。

大家知道，求解一元函数极限要相对于多元函数简
单很多，那么我们能不能用求一元函数极限的方法来求二元极限呢, (3)利用
无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量
当时，，而g(x,y)为有界变量，那么当xyxy,,,fxy,0,，，，，，，00
时， xyxy,,,fxygxy,,0,,，，，，，，，，00
113例1.4 求 xy，limsincos，，xy,,0,0，，，，xy
113解:当时，，并且，是有界变量， xy,0,0,()0xy，,,,,,sincos，，，，xy 所以
113 =0 xy，limsincos，，xy,,0,0，，，，xy
(4) 利用极限的夹逼性准则若在的某邻域内，成立不等式 xy,，，00
，且 uxyvxywxy,,,,,，，，，，，
,那么 lim,lim,uxywxyA,,，，，，xyxyxyxy,,,,,,，，，，，，，，0000 lim,vxyA,，，xyxy,,,，，，，00
22xy，例1.5 limxy,,0,0，，，，,,，,,xy
222xyxy，，,,，,,) 解:由于 0,,,,,，,,xy,,，,,,,，,,xyxy
当时，，因此 xy,0,0,,,，,,,xy0，，，，
22xy，lim=0 xy,,0,0，，，，,,，,,xy
(5)利用极坐标变换将二重极限转换成一元极限
xa,，,,cos,fxyA,,要证明,可令，然后将放大成
lim,fxyA,，，，，,xyab,,,，，，，yb,，sin,,,
fxyAF,,,,只与有关的函数，即，若 ,，，，，
，F,,,,0,0,则lim,fxyA, ，，，，，，xyab,,,，，，，
22xy，，22例1.6 求 limxy，，，,,0,0，，，，xy
222222xyxyxyln，，，，，22 解:I== limxy，
lime，，,xy,0,0,,0,0，，，，xy，，，，另，则 xy,,,,,,cos,sin ，2222422242 ,,00lnsincosln2ln,，,,,xyxy,,,,,,，，，，
2222所以 limln0xyxy，,，，xy,，，，，,0,0
0所以 I= e,1
上面我们讲了几种求二元函数极限的方法，但是不是所有的二元函数都能求极限。

那么在什么情况下二元函数的极限是不存在的呢,
1.1.3 重极限存在性的判定方法
(1)若当P 沿着D 中的连续曲线C 趋于时, f( p) 的极限不存在，则P0
不存在。

limfP，，PP,0
33xy，例1.7 证明fxy,cos,在时极限不存在 xy,0,0,，，，，，，2xy，
22 证明:当yxx,,1沿着曲线趋于时，由于 xy,0,0，，，，，，
31,,2222，而fxxxxx,1cos1,,，,，，，，，，,,x,,
31,,22222fxxxxx不存在，所以 ,,，,lim,1limcos1，，，，，，,,xx,,00x,, 33xy，limcos不存在 2xy,,0,0，，，，xy，
(2)若当P 分别沿着D 中的不同曲线趋于时, f( p) 的极限都存在, 但P0
不相等, 则不存在。

limfP，，PP,0
xyfxy,,例1.8 讨论当xy,0,0,时是否存在极限。

，，，，，，22xy，
解:当动点xy,沿着直线y=mx而趋于定点0,0时，由于此时，，，，
m，因而有 fxyfxmx,,,,，，，，21，m
m lim,lim,,,fxyfxmx，，，，2xyx,,,0,00，，，，1，mymx,
这一结果说明动点沿着不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限也不同，因此所讨论的极限不存在。

(3)、若在D 中存在一个点列{ Pn} ,，且，使limPP,PPn,,,1,2,n0n0,,n
得不存在，则不存在。

limfPlimfP，，，，n,,PP,n0
2xy例1.9 讨论是否存在 lim23xy,,0,0，，，，，32xy
n,1，，1解:取:， xyPxy,,为,,，，nnnnnnn
则当时，趋于，且 Pxy,,0,0xyn,0,0,1,2,,n,,，，，，，，，，nnnnn 1则 fPfxy,,,，，，，nnnn,，312，，
2xy显然不存在，所以不存在。

limlimfP，，n23xy,,,n,0,0，，，，，32xy(4)若D中存在两个点列与，，且QPlimlimPQP,,,,,,nnnn0,,,,nn
使得:与都存在，但不相等，则PPQPn,,,,,1,2,limfPlimfQ，，，，
nn00nn,,,,nn
不存在。

limfP，，PP,0
22xy例1.10 证明lim不存在 33xy,,0,0，，，，，xy
1''''xy,证明:设，p为 xy,,0,，，nnnnnn
4,11''''''''333xy, ，Q为 xyn,,,,，，nnnnnnn
''''''xy,0,0,xy,0,0,则当时，p，Q，且 n,,，，，，，，，，nnnnnn
''Pxy,0,0,，，，，nnn ''''Qxyn,0,0.1,2,,，，，，nnn
213,,,3而，则
lim0,lim1fPfQ,,fPfQn0,1,,,，，，，，，，，,,nnnn,,,,nn,, 22xy所以不存在。

lim33xy,,0,0，，，，，xy
以上我们介绍了求二元函数极限以及判定二元函数极限是否存在的几种方法，在我们研究的极限中，两个自变量x,y同时以任何方式趋于lim,fxy，，xyxy,,,，，，，00。

这种极限我们称为重极限。

下面我们考察x与y依一定的先后顺序相继趋xy,00
于与时f的极限，这种极限称为累次极限。

xy00
1.2 累次极限
定义1.2:设是的聚点，是的聚点，二元函数f在集合EEERx,,yExy,0x0y 上有定义。

若对每一个，存在极限，由于此yEyy,,DEE,，lim,fxy，，
y,0xyxx,0xE,x极限一般与y有关，因此记作
,yfxy,lim,，，，，xx,0xE,x
而且进一步存在极限
Ly,lim, ，，yy,0yE,y
称此极限为二元函数f先对x后对的累次极限，记作 ,xyy,，，，，00
Lfxy,limlim, ，，yyxx,,00yExE,,yx
或简记为 Lfxy,limlim,，，yyxx,,00
类似地可以定义先对y后对x的累次极限
Kfxy,limlim,，，xxyy,,00。