4.大学物理场强电势求法

0
R

dE
Ex dEx dE sin
dq



sind


0 4 0R 2 0R
Eo


i 2 0 R
dq y

d o
x
R
dE
dE
dq
解：2)
dq Rd
dE dq ;沿径向
4 R2 0
对称性分析与 1) 有何不同？
U内

q
4 0R

恒量
U外

q
4 0r

1 r
2. 均匀带电圆环轴线上的电势分布：
U

4
q
(R2

x )2
1 2
0
三 .面向问题

(1) 源对称 高斯定理 E 场强积分法 U
(2) 源非对称 叠加法 U 电势梯度 E
(3)源复杂 综合应用
注意:
问题条件 数理基础 严谨推导 归纳总结 发散思维
dV
矢量性
正交坐标 分解合成
对称性 简化计算
积分 统一变量
离散
q qi Ei E Ei
连续 q dq dE E dE
典型带电体的电场强度分布

点电荷：
E
均匀带电圆环轴线上： E
qr
4 0 r
1
3
有限长均匀带电线段：
40 (
dE dq ;沿径向
4 R2 0
有无对称性？ sin sin( - )

E y

dEy

0
E


i

dE x

i
0

sin 2d
0
4 R

i 8 R
0
0
练习2 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场。
y
R
思考: (1) 用哪种方法求解?



EE
(4)由电势梯度求： Q U E
1)求出电势分布 U U ( x , y ,z ) （用叠加法求）
2)由电势梯度求场强 E U
直角坐标：
E


U
i

U
j

U
k
x y z
柱坐标：
E


U

ˆ

1
U

ˆ

U
k
z

无限长均匀带电柱面： E内 0 ,
均匀带电球面：
E内 0 ,
qxi
R2

x
2
)
3 2
E外
E外


qr
4qr0r 2
4 0 r 3
无限大均匀带电平面： E (带电平面） 2 0
（3）由高斯定理求
1)分析对称性
源 q对称
场E 对称（大小，方向）
2)选取高斯面 S 使 S上 E 和 cos 分区均匀或为0
Ui或dU
3)由场叠加求总场 U U Ui , U dU
4）讨论和总结
注意:
dq


dl dS
dV
零势点 同前 标量性 代数和 积分 统一变量
离散 q qi Ui U
连续 q dq dU U
典型带电体的电势分布
1. 均匀带电球面(含点电荷)场中电势分布：
球坐标:
E


U
rˆ

1
U

ˆ

1
U

ˆ
r r r sin
3）讨论和总结
二 . U 的计算
(1) 场强积分法
Q

E
选U0和L
U

E dr
1) 求出场强分布
E E( x, y,z )
用高斯定理求
2）选零势点和积分路径 零势点：统一且使U 确定
一. E 的计算
(1) 由定义求:
QF E
如:点电荷
1)
F

qq0
4 0r
3
r
2)
E

F q0

q
4 0
r
3
r
(2)由叠加原理求：
1)源电荷分解为典型电荷集合
2)写出典型场 Ei或dE
3)由场叠加求总场 E
4）讨论和总结
注意
dq


dl dS
积分路径： 便于计算
cos C
源电荷有限 选U 0 源电荷无限 不选U 0
3）由电势定义
实际问题 U地 0
零势点 零势点
Ua E dl E cos dl
计算
Ua
a
a
4）讨论和总结
(2) 叠加法
1)源电荷分解为典型电荷集合
2)选零势点写出典型电荷的
3)由高斯定理求出电场的大小

E dS
E cos dS 1
4)s求出电场强度矢量 0
q内
（大小，方向）
5）讨论和总结
E 对称性
大小 方向
注意
高斯面
E
cos
对称性 必要不充分
球、轴、面三种源
q内不均匀 积分
q内 dq
高斯定理


dl dS
dV
dE

xdq
40 ( y2
x
o
叠加法：dq dE dE
(2) dq ?
y
dl
dE
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R

xx
ox
将半球面视为由许多圆环拼成。
dq dS 2ydx
╳ 对否？
dq 2ydl 2R cos Rd √
y
dl
dE
R

xx
ox
(3) dE的大小，方向？
思考： 利用场强叠加原理，求如下带电体的电场分布。
1. 两平行的无限大带电平板内外的电场； 2. 带小缺口的细圆环； 3. 带圆孔的无限大平板； 4. 带有空腔的圆柱体O处； 5. 带有空腔的球体O处。
1
2
o o
a o o

x R
练习1 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1. 均匀带电，线密度为
场强电势 求法

小结：E , U 的计算
一. E 的计算
二 . U 的计算
(1) 定义 (2) 叠加原理
(1) 场强积分法（由定义求） (2) 叠加法
(3) 高斯定理
(4) 电势梯度
三 .面向问题

(1) 源对称 高斯定理 E 场强积分法 U
(2) 源非对称 叠加法 U 电势梯度 E
(3)源复杂 综合应用
2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3. 非均匀带电，线密度为 0sin
y dq


d o
x
R

dE
思路：叠加法
dq dE E
解：1)
dq Rd
dE dq ;沿径向
4 R2 0
y
dq


dE
d o
x
用分量叠加，由对称性：
E y

dEy
E x


dE x

0
Ey
dE y
2
/ 2 cos d
2 dE cos( ) 2
0


j
0 4 0R

2 0R
Eo 2 0 R
dq y


dE
d o
x
R

dE
dq
解：3)
sin 0
dq Rd