北航空气动力学课件第三章共79页

C(t)
t 2
对于定常流动，质量力只有重力，得到 V 2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力） V2 p C 2
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3.1、平面不可压位流的基本方程
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。 在这种情况下整个求解步骤概括为：
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3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动 方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎 样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事 。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件 下求得基本方程的解，困难是相当大的。
1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
初始条件和边界条件为
u v w 0
x y z
dV
f
1 p
dt
在t=t0时刻，
rr V V ( x ,y ,z ) p p ( x ,y ,z )
在物体的边界上 Vn 0
在无穷远处
V V
思考： 为什么需要边界条件？
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3.1、平面不可压位流的基本方程
如果没有无旋条件进一步简化上述方程，求解起来也是很
困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的
速度 V 和压强 p 相互耦合影响，需要一并求出。但是，对于无
旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力
分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为
2、速度势函数的性质
（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量
，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允
许相差任意常数，而不影响流体的运动。
Vsds
V
ds
udx
vdy
wdz
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V ds dx dy dz
Vs
ds
u v w ds ds ds
Vs
x
dx ds
y
dy ds
外边界
x
V
0
y z
内边界
0 n
V
n为物面法向
可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则 解是唯一的。
求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉 普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题
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3.1、平面不可压位流的基本方程
为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问 题，理想不可压缩流体的无旋流动。
这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性 流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的 解还是有相当的可信程度。
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3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；
（2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过 程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来对于理想不可压 缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
V 2 p C (t) t 2
零，即
rV o tV 2 0
存在速度势函数（位函数）为
V u v w
x
y
z
思考： 速度和压力需要耦合求解是什么意思？
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3.1、平面不可压位流的基本方程
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到：
r
V0
运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方程中，
而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。
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3.1、平面不可压位流的基本方程
对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无 旋流动，运动方程的积分形式为
V2 p
（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值
（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值， 部分边界上位函数的法向导数值
空气动力问题大多数属于第二边值问题
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将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为 V∞ ， 内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零
第3章 理想不可压缩流体平面位流
3．1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3．2 几种简单的二维位流
3．2．1 直匀流 3．2．2 点源 3．2．3 偶极子 3．2．4 点涡 3．3 一些简单的流动迭加举例 3．3．1 直匀流加点源 3．3．2 直匀流加偶极子 3．3．3 直匀流加偶极子加点涡 3．4 二维对称物体绕流的数值解
uvw0 x y z
2 2 2
x2y2z2 0
由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大
家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动
学方程。如果对这个方程赋予适当的定解条件，就可以单独解出
速度位函数，继而求出速度值。与压强p没有进行耦合求解，那
么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入
初始条件为 t t 0V V 0 ( x ,y ,z )p p 0 ( x ,y ,z )
边界条件为
0 n
p r
p r
s
V V
固壁面条件 自由面条件 无穷远处
在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度
势函数的偏导数。
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3.1、平面不可压位流的基本方程 （边界条件）
边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外 边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为 无穷远。
按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数， 边界条件分为三种类型：
（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值
z
dz ds
s
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3.1、平面不可压位流的基本方程