微积分 不定积分的概念及性质

cosxsinx
解:
12sin2 x dx.
12sin2x(cos2xsin2x)2sin2x
cosxsinx
cos2xsin2x
(coxssin x)dx
coxsdxsixndx
sixn co x C s
例 10 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交点 为(0,5)，求此曲线的方程.
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
arctxalnnxC.
例7 求积分
1 2x2 x2 (1 x2
dx )
.
解
1 2x2 x2 (1 x2
dx )
1 x2 x2
x2
(1
x2
dx )
x12dx11x2dx
第二十一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题
逆运算
• 运算是一种对应法则。
• 设A是一个非空集合，对于A中的任意两个元素a，
b，根据某种法则，使A中有唯一确定的元素c与它 们对应，我们就说这个法则是A中的一种运算。
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数.( primitive function )
例 six ncoxs six n 是 cox的 s原 函 数 . lnx1 (x0)
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
定理 原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
解 Q dysec2xsinx, dx
y s e c 2 x s in x d x
ta x c n x o C ,s
y (0 ) 5 , C6, 所求曲线方程为 y ta x c nx o 6 .s
五、 小结
原函数的概念：F (x)f(x)
不定积分的概念：f(x)d xF (x)C
(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
1 dxarcxsC i;n 1x2
(6) cosxdxsix nC;
(7) sinxdxcox sC ;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdxtaxn C;
(9)
dx sin2 x
csc2
xdxco x tC ;
(1 0 ) secxta nx d xsexcC; (1 1 ) cscxco tx d x csx cC ; (12) exdxex C; (13) axdxa x C ;
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 six ncoxs six n Ccoxs
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C，
F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
（2）若 F(x)和G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F(x)G (x)C（ C为任意常数）
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积
(1 ) k d x k x C(k 是常数); (2) xdx x 1 1C(1);
分 表
(3) dxxlnxC;
说明：
x0,
dx x
ln x C,
x 0 ,[l n x )] ( 1 (x) 1,
x
x
dxxln(x)C, dxxln| x|C,
dx x1
1 2
1 cos2
x
dx1tanxC. 2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
化积分为代数和的积分
练习 求积分 tan2 xdx.
解: tan2 xdx. (se2xc1)dx
sec2x1tan2x
se2cxdxx
taxn xC
25
例9 求积分
12sin2 x dx.
称为定积分的线性性质。
基本积分公式
练习 求积分
(1
x)2 x2
d
x.
xdx x1 C
1
解 不能直接利用积分公式，需先1d变x形ln| x| C x
原式1＝ 2xx2＋x2dx
12
(x2
1)dx x
x 2d x2x 1d xdx
2ln|x|xC x
20
例6 求积分
1 x x2
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf(x)dxk f(x)dx.
（ k是 常 数 ， k0)
例5
求积分
3 (1x2
2 )dx.
Байду номын сангаас1x2
解
3 (1x2
2 )dx 1x2
311x2dx2
1 dx 1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
总 结 ： [ a f( x ) b g ( x ) ] d x a f(x )d x b g (x )d x
2. 求已知函数的全体原函数或不定积分的运算 称为积分运算。 3. 已知原函数求导函数,用微分运算；已知导函数 求原函数，用积分运算。微分和积分是互逆的运算。
4. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数 的微分。 5. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函 数，或者其微分等于被积表达式的所有函数,因此
基本积分表（1）～（13） 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
思考题
1, x0 符号函数 f(x)sgnx0, x0
1, x0
在 ( ,)内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
xC, x 0
假设有原函数 F(x) F(x) C,
x0
xC, x 0
但 F (x )在 x 0 处 不 可 微 ， 故假设错误
d f ( x )dxf ( x )
dx
d[ f ( x )dx]f ( x )dx
F (x)d xF (x)C , d(F x)F (x)C .
例 x2dx x？2 d ln x ln？xc
四、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C.
1
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
1arctxa C n. x
练习 求积分
2 x2 x2 (1 x2
dx. )
解:
2 x2
x2 (1
x2
dx )
2(x12(1x2)x2)x2dx
2 x2
11x2
dx
2 x2
dx
1 1x2
dx
2arctaxnC. x
例8 求积分 1co1s2x dx.
解
1
1 cos
2x
dx
12co1s2
10x 0x2c
其中c为任意常数
二、不定积分的几何意义
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 .
显然，求不定积分得到一积分曲线族, 在同一
横坐标 x x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率.
y
0
x0
x
三、 不定积分的性质
微分(求导)运算与求不定积分的运算是互逆的.
幂 23 (?)
( ? )3 8
开方
?3 8
求导
x2 2
x
？运算
sinx coxs
? x ? co x
一、原函数与不定积分的概念
定定义义： 如 果 在 区 间 I内 ， 可 导 函 数 F(x)的 导函数为f(x)， 即 xI， 都 有 F (x)f(x) 或dF ( x) f ( x)dx， 那 么 函 数 F(x)就 称 为 f(x)
在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为 f ( x)在区间 I 内的
不 定 积 分 ， 记 为 f(x )d. x 求和：sum
f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
积 分 变
原 函 数
式量
任 意 常 数
1. 直接函数和反函数是一对概念；原函数和 导函数是一对概念，不可混淆。
决不能漏写积分常数C.
例1 求 x 5d x .
解 x6 x5, 6
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解 arcxta 1n 1x2,
1
1x2dxarctanxC .
例3 某商品的边际成本为 1002x, 求总成
本函数 C ( x) .
解 C (x)(1 0 02x )d x
• 给了A的任意两个元素a和b，通过所给的运算，可 以得到一个结果c。
• 反过来，如果已知元素c，以及元素a，b中的一个
，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法 则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的 逆运算。
• 如：加法与减法，乘法与除法，指数与对数。
• 微分与积分也互为逆运算。
运算与逆运算
所以 f (x)在 ( ,)内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
课后练习题：
P181 1 .(1 )( 2 )( 3 )( 4 )
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （C为任意常数）
说 明 F x c 是 fx 的 全 部 原 函 数 .
函数的全体原函数等于它的某个原函数 加上一个任意常数！
定义 不定积分(indefinite integral)的定义：
ln a
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2 d x
51
x 5
2
1
C
2
7
x2
C.
7
2
根 据 积 (2)分 xd公 x x 式 1 1C
四、 不定积分的性质
(1 ) [f(x ) g (x )]d x f(x)d xg(x)d x;
证 Qf(x)dxg(x)dx f(x)d x g(x)d x f(x)g (x).