数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()

p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1

||n p x nx C n n

-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅

且(*)r e x 为2

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯

解：*1 1.1021x =是五位有效数字；

*20.031x =是二位有效数字；

*3385.6x =是四位有效数字；

*456.430x =是五位有效数字；

*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343

V R π= 则何种函数的条件数为

又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=

⨯≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -= ……

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=- 100Y ∴的误差限为31102

-⨯。

7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。

解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求

1211N N dx x ++⎰？ 解 1

21arctan(1)arctan 1N N dx N N x

+=+-+⎰ 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤,

则21(*)102

x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm

10．设212

S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：21,02

S gt t =

> 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加 当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：

02 1.41y =≈ 又

1101n n y y -=- 又21101y y =-

计算到10y 时误差为81102⨯，这个计算过程不稳定。

12．计算61)f =≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

, 3(3-, ， 99- 解：设6(1)y x =-，

若x =* 1.4x =，则*11102

x -ε()=⨯。

计算y 值，则

若通过3(3-计算y 值，则

计算y 值，则

计算后得到的结果最好。

13．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-

计算，求对数时误差有多大？

解

()ln(f x x =, (30)ln(30f ∴=-

设(30)u y f ==

则*

u =29.9833

故

若改用等价公式

则(30)ln(30f =-

此时，