线性代数证明题答案

1 ⋯ 1 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 2 2 2⎟ k −1 k + 1 ⎜ 0 12 0 ⋯ 0 ⎟ k + 1 ⎛ 1 ⎞ k +1 = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = k > 0， 2 ⎜⋮ ⋮ 2 ⎝ 2⎠ ⋮ ⋮ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⋯ 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 即 A 的所有各阶顺序主子式都大于零， A 为正定矩阵，从而 f 为正定二次型。
−1
= B −1 A−1 = B′A′ = ( AB )′
Aξ = λξ ，有 A( Aξ ) = A(λξ ) = λ ( Aξ ) = λ (λξ )
A2ξ = λ 2ξ Ak ξ = λ k ξ
k
再继续施行上述步骤 k-2 次，就有
k k k
故 λ 是 A 的特征值，且 ξ 也是 A 的对应于 λ 的特征向量。
上式两边左乘 A ，注意到 Aα i = 0，i = 1,2, ⋯ , r ，得
(l1 + l 2 + ⋯ + l r + l r +1 ) Aβ = o
又因
Aβ ≠ o ，得 l1 + l 2 + ⋯ + l r + l r +1 = 0 ，代入 (∗) 式得
l1α 1 + l 2α 2 + ⋯ + l r α r = o
5、 （本题 10 分） 证： （1）若|A*|≠0，则 A*可逆，由 AA*=A*A=|A|E，得|A|(A*)-1=0， 于是 A*=0，这与|A*|≠0 矛盾，所以|A*|=0。
（2）若 A 不可逆，即 A = 0 ，由(1)知： A ∗ = 0 ，从而有 A ∗ = A
n
n −1
；
若 A 可逆，由 AA ∗ = A E ， 可得 AA ∗ = A A ∗ = A E = A ， 即 A A∗ = A ，
⎛ 1 ⎜ ⎜1 Ak = ⎜ 2 ⎜ ⋮ ⎜ ⎜1 ⎝ 2
1
2 1 ⋮ 1 2
1
⎛1 1 ⋯ 1 ⎞ ⎜ 2⎟ 2 1 ⋯ 1 ⎟ k + 1 ⎜1 1 2 2⎟ = ⎜ 2 ⎜⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ ⎜ 1 ⋯ 1 ⎟ ⎟ ⎜1 1 2 2 ⎠ ⎝ 2
1
⋯ 1 ⎞ 2⎟ 1 ⋯ 1 ⎟ 2 2⎟ ⋮ ⋮ ⎟ 1 ⋯ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2
−1 证： 将 n 阶单位矩阵第 i 行与第 j 行交换后所得矩阵记为 E ij ， 则 E ij 于是 B = E ij A , = E ij ，
因为 B = E IJ A ≠ 0 ，所以 B 可逆。
−1 AB −1 = A(Eij A)−1 = AA −1 E ij = E ij 。
18、 （本题 8 分） 证：记矩阵 A = (α 1 , α 2 , ⋯α n ) ，则
7、 （本题 8 分）
证：由条件知
⎧c0 + c1 x1 +⋯+ cn x1n = 0 ⎪ ⎛ 1 x1 2 ⎜ ⎪c0 + c1 x 2 +⋯+ cn x n = 0 ⎪ ⎜ 1 x2 即 ⎨⋯⋯⋯⋯ ⎜⋯ ⋯ ⎪c + c x +⋯+ c x n = 0 ⎜ n n ⎪ 0 1 n ⎝ 1 x n +1 n ⎪ c + c x + ⋯ + c x = 0 n n +1 ⎩ 0 1 n +1 ⎛ c0 ⎞ ⎛ 1 x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ c1 ⎟ = ⎜ 1 x 2 ⎜ ⋮ ⎟ ⎜⋯ ⋯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ cn ⎠ ⎝ 1 x n +1 ⋯ ⋯
即有 (λ − λ1 )α1 + (λ − λ2 )α 2 = 0 因为 α1 , α 2 属于不同的特征值，所以 α1 , α 2 线性无关，于是 λ − λ1 = 0, λ − λ2 = 0 ， 也即有 λ = λ1 = λ2 ，这与题设矛盾， 故 α1 + α 2 不是 A 的特征向量.
12、 （本题 8 分） 证： 因为 A , B , A + B 都是 n 阶正交矩阵，所以 A
11、 （本题 8 分） 证(反证法)：若 α1 + α 2 是 A 的某特征值 λ 的特征向量，
则依定义有 A(α1 + α 2 ) = λ (α1 + α 2 ) ， 根据已知 Aα1 = λ1α1 , Aα 2 = λ2α 2 ，得
Aα1 + Aα 2 = λ1α1 + λ2α 2 = λ (α1 + α 2 )
⋯ ⋯
x1n ⎞ ⎛ c0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n x2 ⎟ ⎜ c1 ⎟ = ⎜ 0⎟ ⋯ ⋯ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n c ⎝ 0⎠ ⋯ xn +1 ⎠ ⎝ n ⎠
即
x1n ⎞ ⎟ n x2 ⎟ ⋯ ⋯⎟ ⎟ n ⋯ xn +1 ⎠
−1
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ 0⎟ ⎜ ⋮⎟ ⎜ ⋮⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠
l1 β 1 + l 2 β 2 + ⋯ + l r −1 β r −1 + l r β r
= l1 (α 1 + k1α r ) + l 2 (α 2 + k 2α r ) + ⋯ + l r −1 (α r −1 + k r −1α r ) + l r α r = l1α 1 + l 2α 2 + ⋯ + l r −1α r −1 + (l1 k1 + l 2 k 2 + ⋯ + l r −1 k r −1 + l r )α r ，
四、证明题：
1、 （本题 6 分） 证明：∵ A 2 = A, ⇒ A( A − E ) = O ，从而 n = R( E ) ≤ R ( A) + R ( A − E ) ≤ n ， 故 R ( A) + R ( A − E ) = n 。 2、 （本题 10 分） 证明： 设有 l1 , l 2 , ⋯ l r −1，l r ∈ P ，使 l1 β 1 + l 2 β 2 + ⋯ + l r −1 β r −1 + l r β r = ο ， 而
)
− a 2b ⋯ λ − a 2
A 的特征值 λ1 = a 2 [1 + (n − 1)b], λ 2 = λ3 = ⋯ = λ n = a 2 (1 − b) ，
∵ 0 < b < 1, a 2 > 0,∴ λ1 > λ 2 = λ3 = ⋯ = λ n ，
故
A 的最大特征值是 λ1 = a 2 [1 + (n − 1)b] 。
故 λ = a 是 A 的一个特征值。
14、 （本题 8 分） 证： 由 A 是正交矩阵,知 A = 1 , A −1 = AT ， 因为 A ∗
2
( )
T
A∗ = A A −1
(
) ( A A )= A
T
−1
2
AA −1 = E ，
所以 A ∗ 为正交矩阵。
15、 （本题 8 分） 证：设二次型 f ( x1 , x 2 , ⋯ x n ) = X T AX 的矩阵 A 的 k 阶顺序主子式为 Ak ，则
T T T T ⎛α 1 ⎞ ⎛α 1 α1 α1 α 2 ⋯ α1 αn ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T T T T ⎜ ⎟ ⎜ α α α α α ⋯ α α 2 2 2 n⎟ AAT = ⎜ 2 ⎟(α 1 , α 2 , ⋯α n ) = ⎜ 2 1 ⎟ ⋮ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎜α T ⎟ ⎜α T α α T α ⋯ α T α ⎟ n 2 n n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n 1
3、 （本题 8 分） 证明：由
λ − a2 − a 2b λE − A = ⋮ − a 2b
得
− a 2b
− a 2b ⋯ − a 2b ⋯ ⋮ ⋯
− a 2b − a 2b = λ − a 2 + a 2b ⋮
λ − a2 ⋮ − a 2b
(
) (λ − a
n −1
2
+ (1 − n)a 2 b = 0
⎛ a11 ⎜ a 21 （2） 设 A= ⎜ ⎜⋯ ⎜ ⎝ a n1
a12 a 22 ⋯ a n2
⋯ a1n ⎞ ⎟ ⋯ a2n ⎟ ， 则此题本质上要证|A|≠0 ⇔ |(A*)T|≠0， 而 AA*=|A|E， ⋯ ⋯⎟ ⎟ ⋯ a nn ⎠
由此可推出结论|A*|=|A|n–1，所以结论显然。 9、 （本题 6 分） 证：由条件知 A−1 = A′ ， B −1 = B′ ， 故 ( AB ) 所以 AB 也是正交阵. 10、 （本题 8 分） 证：由已知 即
= x 2 Dn − 2 + a n −1 x + a n =⋯⋯ = x n − 2 D2 a 3 x n − 3 +⋯+ a n −1 x + a n
= x n−2
x a2
−1
x + a1
+ a 3 x n − 3 +⋯+ a n −1 x + a n
= x n + a1 x n −1 + a 2 x n − 2 +⋯+ a n −1 x + a n
16、 （本题 8 分） 证： 设有 l1 , l 2 , ⋯ l r，l r +1 ∈ P ，使 l1 (α 1 + β ) + l 2 (α 2 + β ) + ⋯ + l r (α r + β ) + l r +1 β = ο ， 即
l1α 1 + l 2α 2 + ⋯ + l r α r + (l1 + l 2 + ⋯ + l r + l r +1 ) β = o ，
而 α 1 , α 2 , ⋯ , α r 是基础解系，即是线性无关的向量组， 所以有 l1 = 0, l 2 = 0， ⋯，l r = 0， 从而有 故
l r +1 = −(l1 + l 2 + ⋯ + l r） =0，
α 1 + β ，α 2 + β ， ⋯，α r + β，β 线性无关。
17、 （本题 8 分）
故
f(x)=0。
8、 （本题 16 分） 证： （1）若 R(AB)=R(B)，则 ABX=0 与 BX=0 有相同维数的解空间， 而 BX=0 的通解显然是 ABX=0 的解， 故 BX=0 的基础解系亦为 ABX=0 的基础解系数，即 ABX=0 与 BX=0 同解。 若 ABX=0 与 BX=0 有完全相同的解，则它们的解空间的维数相同， 故 R(AB)=R(B)。
4、 （本题 8 分）
证明：
x −1 0 0 x −1 ⋯ Dn = ⋯ ⋯ 0 0 0 a n a n −1 a n − 2
⋯ 0 0 ⋯ 0 0 按c1展开 ==== xDn −1 + a n ⋯ ⋯ ⋯ 将Dn −1 x ( xDn − 2 + a n −1 ) + a n ⋯ x −1 ==== 按c1展开 ⋯ a 2 x + a1
又因
α 1 , α 2 , ⋯ , α r −1 , α r 是线性无关的向量组，
所以有 l1 = 0, l 2 = 0, ⋯ l r −1 = 0， l1 k1 + l 2 k 2 + ⋯ + l r −1 k r −1 + l r = 0 ， 即有 故
l1 = 0, l 2 = 0, ⋯ l r −1 = 0，l r = 0 ， β 1，β 2， ⋯，β r −1，β r 线性无关。
nΒιβλιοθήκη Baidu
故
A∗ = A
n −1
。
6、
（本题 16 分）
证： （1）由 X2–X–2E=0，知 X(X–E)=2E，故 X 可逆，且 X–1=
1 (X–E)，又由 X2–X–2E=0 得， 2 1 X+2E=X2，而 X 可逆，故 X+2E 可逆，且(X+2E)–1=(X–1)= (X–E)2。 4
（2）由(AB)(AB)*=|AB|E 知：(AB)*=(AB)–1|AB|E=B–1A–1|A| |B|E=(|B|B–1)(|A|A–1) =B*A*
−1
= A′, B −1 = B′
( A + B) −1 = ( A + B)′ = A′ + B′ = A−1 + B −1 。
13、 （本题 8 分）
⎛1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ a11 … a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1⎟ ， 证：设 ⋮ ⋱ ⋮ ， 因 A = = a ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝1⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ 1⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 对应于 λ = a 的特征向量为 ⎜ ⎟ 。 ⎜⋮ ⎟ ⎜ ⎜1⎟ ⎟ ⎝ ⎠
由于 AT A = AT A = A = D ，从而得
2
α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性无关 ⇔ A ≠ 0 ⇔ A ≠ 0 ⇔ D ≠ 0 。
19、 （本题 8 分） 证：因为 AT = A ，故 ( A + 3E ) = AT + 3E = A + 3E ，从而