数字图像处理复习

傅里叶变换表示一幅图像函数可以由无穷多个各种频率的三角函数表示出来，低频对应图像中变换慢的那部分，高频对应图像中灰度变化快的成分。
频域滤波主要是修改傅里叶函数达到特殊目的，主要变换幅度谱（灰度）和相角（物体定位），图像平移不改变幅度谱
频域滤波公式 ,其中H,F,g是大小相同的阵列。
图像空间滤波流程图像大小MXN：
5.7逆滤波：退化函数已知为H(u,v)
直接滤波: ,如果H(u,v)比较小，则噪声产生的影响很大，因此可以通过低通滤波的方式来截取适当频率，因为H(u,v)在原点处的值会比较大，这样带来的影响就小。
最小方差滤波（维纳滤波）：综合退化函数和噪声统计的特征进行复原处理，假设图像和噪声都是随机变量，复原结果保证复原后的图像与原图像方差最小。
{
if(xy>min&&xy<max)
{
Output(xy);
Break;
}else
{
Output(med);
Break;
}
}else
{
window_size+=1;
}
}
Output(med)
线性：
位置不变：
估计退化函数：观察法、试验法、数学建模法
为了降低噪声的影响，观察法估计退化函数时选择有很强信号的区域，并观察图猜测退化函数，通过不断调整得到；
处理流程：
1.输入j级图像大小为2JX2J，然后进行滤波（均值滤波，高斯滤波、拉普拉斯滤波，不滤波有混淆），接着进行下采样，依次得到j-1级金字塔（均值金字塔，高斯金字塔，拉普拉斯金字塔）
2.对J-1级金字塔进行上采样（内插），然后进行滤波（拉普拉斯，高斯，均值，不滤波有块效应），得到一个输入图像等分辨率的的预测图像
这里通过h0(n),h1(n)两个滤波器分别得到低频和高频两个子带，分别进行下采样然后存储，恢复时对下采样后的频带分别进行上采样，然后滤波，将各个子带相加得到原图像的恢复。
滤波都是在时域
Z变换性质：
已知：
对于正交滤波器：
一、尺度函数满足多分辨率分析的基本要求：
1.尺度函数对其整数平移是正交的，（尺度函数支撑宽度为1，整数平移后原来值为1的就会变成0，所以平移前后乘积为0）
周期噪声可以通过频域滤波来显著的减少。
周期性噪声通过检测图像的傅里叶普来估计的。
只存在噪声的滤波:
1.空间滤波：
均值滤波：算术均值 ，
几何均值滤波（图像细节较算术均值丢失较少）：
谐波滤波： ，只对盐噪声有效，对高斯样的噪声效果很好。
逆谐波滤波： ，
= ,Q大于0时将值提升，大值提升的快；当Q小于0时将值降低，大值将变得更小。因此Q大于0时对椒噪声有效，Q小于0时对盐躁声有效，Q=-1时就变成了谐波滤波，不能同时消除两种噪声。
假设噪声、信号比为一个常数则：
约束最小二乘方滤波：
必须要满足约束条件： 。
现在总的目标就是确定最优 。 =0时变为逆滤波，定义残差函数 ，
是 的单调递增函数，当a=0时严格满足约束条件。
现在目标确定 ，
找噪声的均值和方差是可以通过找一块灰度基本不变的区域统计得到。
用 ，最终解得
第六章：
图像金字塔，最终存储的为J-P级图像和残差：最多有J+1级（(log2N)+1），最底层为J级，最顶层为0级，但一般取P+1级，最底层为J级，最顶层为j=J-P级，所以元素总数为 。低分辨率用于分析大致结构，高分辨率用于分析细节
锐化空间滤波器：突出图像中的细节或者增强被模糊了的细节
一阶微分定义： 二阶微分：
拉普拉斯：
离散拉普拉斯算子可以加上四个对角线：
拉普拉斯图像增强方法（减去负的，加上正的，使得亮的更亮）：
由于拉普拉斯算子得到值有正数也有负数，因此采样标定的方式将值变为整数。
f(x,y)在（x,y）的梯度用二维列向量来定义 ，向量的模 这个才是梯度。
滤波时添加至少上下各至少m-1,左右各n-1个0.
平滑空间滤波：用于模糊处理和减少噪声
平滑线性滤波：输出是包含在掩模邻域内像素的平均值，滤波器也叫均值滤波器，滤波器系数全取1，加权平均值时滤波器系数与权值相关，对应点像素值为:掩模乘积求和后/权值和
统计排序滤波：是一种非线性空间滤波，由统计排序结果代替中心像素的值。中值滤波器提供了一种优秀的去噪声能力，线性平滑滤波器模糊程度低，去椒盐噪声特别效果好。
直方图均衡：首先灰度级归一化，r∈[0,1],0黑色，1白色。变换函数满足T(r)在[0,1]内单调递增，当0<=r<=1时0<=T(r)<=1
离散直方图均衡时 ,均衡后对应的值四舍五入，对应概论为四舍五入到一个值得概论的和，因此均衡一次后再次均衡不改变。
滤波器掩模线性滤波： ,掩模也叫做卷积核
线性空间滤波处理也就是掩模与图像的卷积
统计排序滤波：中值滤波器,最大值和最小值滤波器（分别作用于盐噪声和椒噪声），中点滤波器（f=(min+max)/2,用于随机噪声）
自适应中值滤波：
//med为中值，max最大值，min最小值，xy本身
A1=med-min
A2=med-max
while(window_size<=Smax)
{
If(A1<0&&A2>0)
5.得到反变换后的gp(x,y)=real{ }(-1)x+y
6.截取左上角MXN的图像得到最终的g(x,y)
理想低通滤波器：
M,N大小为填充后的。
布特沃斯滤波器：阶数越大越接近于理想滤波器
高斯滤波器：
高通滤波器=1-低通滤波器
第五章：图像复原与重建：
噪声直方图：取灰度值不变的图像，求像素频率分布直方图，看是否是高斯，瑞丽，伽马，指数，均值，椒盐噪声。
3.将原输入图像与预测图像比较的到j级预测残差（上采样时用的滤波器名称命名，如拉普拉斯残差金字塔），里面存的是有差异的地方。预测残差金字塔可以用于恢复j级图像，依次递归可以得到原图像。
4.输入滤波和内插滤波可以使用不同滤波器
二、子带编码：图像被分解为一组频带受阻的分量称为子带，然后对子带进行下采样（如果频带够小，则采样后失真很少），原始图像可以通过内插，滤波和叠加单个子带来完成。
试验估计法：假设退化是由于设备的冲激造成的，冲激的傅里叶变换是一个常数，选择确定冲激的点要选择尽可能亮的地方，这里冲激造成的影响可以忽略，H(u,v)=G(u,v)/A,A为冲激强度常量。
建模估计：通过退化的条件来建模
假设图像f(x,y)进行平面运动，x0(t),y0(t)分别是在x和y方向上随时间变化的分量，假设曝光时间为T，则运动后曝光的物体图像
索贝尔算子
其中图d为 ，c为 ，所以
对应于灰度不变的地方值为0，因此可以用来界定图像边缘
第四章 频域滤波：
一维傅里叶变换： ，对应反变换：
二维傅里叶变换：Байду номын сангаас
二维傅里叶反变换：
一维离散傅里叶变换： ，
一维反傅里叶变换：
二维离散傅里叶变换：
二维离散傅里叶反变换：
欧拉公式
特殊傅里叶变换：
f(x,y)(-1)x+y< == > F(u-M/2,v-N/2)
2.低尺度的尺度函数张成的子空间嵌套在高尺度函数张成的子空间里面（低尺度的尺度函数可以由高尺度的尺度函数表示出来，且f(x)∈Vj那么f(2x)∈Vj+1）
3.所有 都可以表示函数f(x)=0,也只有f(x)=0被所有 表示。
4.任何函数都可以按任意精度展开，即 ，低尺度可以由高尺度表示
幂函数：S=Crk，把窄的映射到一个宽的范围（0<r<1是变亮，大于1时变暗），先把级数归一化
分段线性变换函数:可以拉伸某一区域，灰度切割，位图分层
直方图处理：h(rk)=nk,灰度级为r有n个，归一化时p(rk)=nk/n
直方图均衡增加了对比度：一幅图像其像素占有的全部的灰度级且分布均匀，则图像有高的对比度和多变的灰度色调。
1.对f(x,y)添加0，使得图像大小为PXQ,P=2M,Q=2N
2.用(-1)x+y乘以fpq(x,y),移动到频域变换中心
3.计算fpq(x,y)的傅里叶变换F(u,v)
4.生成一个实对称滤波器H(u,v),大小为PXQ，中心在P/2,Q/2,用阵列相乘得到
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)
图像增强分为：空间域方法和频域方法
空间域g(x,y)=T[f(x,y)],T定义在(x,y)的邻域，即操作的是(x,y)的周围，最简单的T就是直接操作在(x,y)，s=T(r)，比如对比度增强函数（线性变换，对数变换，幂次变换）
图像反转：灰度级范围【0，L-1】，S=L-1-r
对数变换：clog(1+r),当显示范围较大时，可以用对数来压缩范围