太阳影子定位模型2015
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针对问题 4，本文对所给视频每两分钟提取关键帧图像，将关键帧图像转换为黑白二 值图像。利用光学知识，得知摄像机正对杆的中点，又利用中心投影原理得到了图像内影 子的像素长度与实际影子长度的对应关系，再根据不同型号镜头的适用条件，推测出最 适用的镜头为 28mm 焦距 76 度视角的镜头，从而提取出了每个时间点影子的长度。将 所得的数据带入问题二的模型中，得到的结果为：纬度范围 41.18°~ 41.67°N，经度范围 107.7°E ~ 109.29°E。如果拍摄日期未知，就将数据带入问题三的模型中，得到两个结果： (1). 大致日期 5 月 9 日，估计位置为 38.86°N，115.9°E；(2). 大致日期 7 月 29 日，估计位 置为 39.78°N，113.7°E。
第四个问题则涉及到视频文件、图像文件的处理以及摄影测量学的相关理论，其难点在于通过像 素矩阵确定直杆影子顶端的真实坐标。一旦得到了真实坐标，则第四问的问题与前面梁文相同。为 此，在选取合适坐标系的同时，应建立几何光学模型确定像素点与真实位置的对应关系。此外，还应 考虑摄影设备、拍摄行为等是否对于结果有影响。
3 问题一模型的建立与求解
3.1 影子长度模型的建立
建立影子长度的模型，需要用到太阳高度角的概念，所以应首先确定该地点某时刻的太阳高度 角。太阳高度角 hs 的计算公式 [3] 为
sin hs = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos Ω
(1)
式中 φ 表示当地纬度；Ω 为当地时角，公式为 Ω = 15◦ × |T T − 12|，T T 表示当地地方时；δ 表示太阳 赤纬角，其近似计算公式 [4] 为
对影长求关于纬度的偏导数，会发现得到的结果很复杂，但通过图像，可以很容易的发现这是一 个先减后增的函数。在正午时最低点应为太阳直射点所在纬度，但在非正午时会向太阳直射点所在 半球移动，直到移动到极点。这是由于地球是一个球体，因此影长应是以太阳直射点为圆心以圆周的 模式向周围增加，而这种模式并不是按照纬线圈进行。
但是在信息有限的情况下，利用日影进行定位依旧是一种很有用的手段，仍具有很多研究的价 值。因此，本文基于 2015 年全国大学生数学建模竞赛 A 题所提供的数据，主要研究以下问题：
1. 建立影子长度变化的模型，分析题中所给的实例并画出日影长度变化的曲线；
2. 通过完善上一问的模型，对于已有影长的情况下，反向求解出直杆所在的位置，并利用附件一的 数据进行验证；
第二个问题则是第一个问题的反问题，在已知影长具体数值的情况下求解参数 θ, φ 的值。第三 问与第二问的区别在于，第三问的日期 D 同样为未知量。这一问题的理论解法应为利用前面得到的 函数关系进行拟合，得到相应的具体参数值。但在实际问题中，由于函数关系太过复杂，想要拟合出 具体的函数曲线十分困难，因此需要设计合适的方案进行搜索，以求得一个近似的结果。因此，本文 希望通过缩小搜索范围，确定合理搜索算法来进行参数估计，以确定直杆所在的位置与测量的日期。
δ =23.2567 sin θ + 0.1149 sin 2θ − 0.1712 sin 3θ
−0.758 cos θ + 0.3656 cos 2θ + 0.0201 cos 3θ
(2)
+0.3723
式中
θ
称日角，即
θ
=
2πt , 365.2422
而
t
由两部分组成，即
t
=
N
− N0,N
表示积日。N0
∂θ
=
∂Ω
· ∂θ
(6)
这是因为在决定影长的因素中，只有 Ω 会依赖于经度。因此若在同一日期的同一纬度上，如果采
用地方时，则所有的函数曲线均理应相同。采用时区时则会造成正午时间偏移，不在 12:00，这是因为
Ω 是一个关于时间的一次函数，若求导会得到一个常数，因此会造成一个偏移量。
3.2.3 对于纬度 φ 的依赖分析
基于影长变化对日影定位问题的研究
摘要
针对问题一，本文首先利用地理知识计算出了太阳高度角随日期与时间的变化关系， 然后通过几何关系导出太阳的高度角关于纬度和时角的变化关系。在以杆所处位置建立 直角坐标系的基础上，得出单位杆长的影子长度和太阳高度关于杆所处地点的纬度和当 地时间的几何模型，并分析了这一模型对于各个参数的依赖性。最后利用此模型计算出 了 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 3 米高的直杆的太阳影子长 度的变化曲线。
杆长 3.0 m
太阳赤纬角 10°51’45” S
将表中数据代入公式 5，从而作出影子长度的变化曲线，如图 3所示，横坐标为北京时间。
图 3 影子长度变化曲线 5
4 问题二模型的建立与求解
4.1 影长变化率向量
对于影长变化的函数 l = l(t; L, θ, φ, D)，在第二问中，已知参数日期 D 的值，通过分析影子顶点 位置与时间 t 的关系确定参数经度 θ 与纬度 φ。而仅从影子顶点难以获取坐标系建立的方式，因此 可将影子顶点转化为影子长度 l，因此可将问题等价于一个通过影长 l 与时间 t 的关系确定两个未知 的参数 (经度 θ 与纬度 φ).
针对问题 2，本文先利用附件一中的顶点坐标计算出各个时刻的影子长度，同时经过 模型一的逆推导，建立了这条曲线与经度纬度的关系模型。本文通过定义影长变化率向 量，利用曲线中四个点相对初始时刻的变化率来描述这条曲线，然后对经度和纬度进行 匹配，找出匹配程度较高的经度纬度范围。将附件 1 的数据带入到模型中，得到了经度 在 108.35°E 至 108.7°E 之间，纬度在 19.05°N 至 19.34°N。
3.2 影长模型性质的分析
3.2.1 对于杆长 L 的依赖分析
由公式容易看出，在其他参数固定的情况下，影长与杆长是正比例关系，杆长越长，影长越长。
图 1 单位长度的直杆在不同纬度下的影长
3.2.2 对于经度 θ 的依赖分析
对于经度求偏导数，可得
∂l(t; L, θ, φ, D) ∂l(t; L, θ, φ, D) ∂Ω
关键词：影子定位 图像识别 投影原理
1 背景与问题的提出
对于日影的研究由来已久。早在公元前三世纪，古希腊数学家、地理学家埃拉托斯特尼就利用太 阳的影子第一次估算出了地球的直径 [1]。数千年来，由于日影随处可见，对于其的研究也从未停止过。 日影在航海、测绘、定位等方面一直有着非常重要的地位，直至今日，日影依旧在确定视频的拍摄地点 和拍摄日期上有着很高的地位。
3. 在第二问模型的基础上，在反向求解出直杆所在位置的同时，也求解出可能的时间，并利用附件 二、附件三的数据进行验证；
4. 通过分析附件四的视频，确定附件四可能的拍摄地点，同时讨论所给的拍摄时间能否省去。
第一个问题需要建立影子长度的模型，这一模型应当是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D). 因此第一问相当于已知参数 L, θ, φ, D，求 l 关于 t 的具体的 函数表达式，并作出给定参数值的函数图像。
然而，直接利用日影进行定位是极其困难且不精确的。首先，由于日影地球并非规则的球体，日影 会因为影子所在地的海拔不同而受到影响。同时，太阳光线会受到天气的影响，即使晴天也会因大气 层对光线的折射而使得太阳的真实位置难以确定。此外，由于难以保障地面是完全水平的，且地球自 转会导致重力方向与地面指向地心的方向有偏差，确定准确位置几乎是不可行的。除此以外，仍有很 多其他影响因素会造成日影定位精度的缺失。事实上，航海中的船员利用影子进行定位时精度非常 低，即使用精密仪器进行测量，误差甚至能达到几千米，对此英国还曾为提高精度进行悬赏。而随着 全球卫星定位系统地普及，定位的成本已降至很低，但精度则达到了很高的水平。由于上述原因，除 非极其特殊的情况，基本上很少会有人再利用日影进行定位。
3.2.4 对于日期 D 的依赖分析
想要求出影长关于日期的偏导数十分困难，因为影长模型对于日期的依赖程度很高，依赖的关系 也十分复杂。这是因为不同纬度与日期的同时作用使得影长变化行为十分复杂，分析对于日期的依 赖关系应以纬度的不同作为分类依据，同时以赤道为对称轴，南北相反。
4
(a) 北回归线以北
(b) 赤道到北回归线
2 基本假设
假设 1 杆附近的地面均为水平且平坦的。 尽管地面完全的情况水平并不常见，难免有或大或小的倾角，但在不能确定直杆所在位置是否水
平且平坦的情况下，利用直杆的影长进行研究是没有意义的。但是本文中出现的直杆均较长，假如地 面不平直杆有可能不稳定，而如旗杆等则有地面必须平坦的规定，而且多数情况下地面的倾角都很微
(c) 赤道
图 2 影长对于日期的依赖分析
3.3 对于天安门广场直杆影子的分析
利用前文所提到的公式，根据所给的数据，经计算可以得到天安门广场上的太阳运动相关数据， 如表 1所示。
表 1 2015 年 10 月 22 日北京天安门广场太阳光线与直杆相关数据
项目 经度 数值 116°23’29”E
纬度 39°54’26”N
针对问题 3，类似于问题二，先利用顶点坐标计算出各个时刻的影子长度，然后在 问题二模型的基础上增加了日期变量，同样使用曲线中四个点相对初始点的变化率来 简化描述这条曲线。通过对经度和纬度进行匹配，找出匹配程度较高的经度纬度范围， 并求得附件 2 的可能地点。(1). 大致日期 5 月 21 日，纬度范围 39.37°N ~39.57°N，经 度范围 79.617°E~79.637°E；(2). 大致日期 1 月 16 日，纬度范围 40.07°S ~40.37°S，经度 79.877°E ~79.897°E。将附件三的数据带入模型，得到四个结果：(1).2 月 21 日，经度范 围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 34.97°N ~35.37°N；(2). 大致日期 4 月 17 日，经度范 围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 35.47°S ~35.77°S；(3). 大致日期 8 月 26 日，经度范围 116.977°E ~116.997°E，纬度范围 34.57°N ~35.77°N；(4). 大致日期 10 月 21 日，经度范围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 34.77°S ~35.47°S。
地球的大气层对于太阳光线有折射作用，这一作用会使得太阳光线的理论值与实际值有一定程 度的偏差。但是，大气的折射率在 1.000278±0.0002，对于太阳光线的偏折角很小，在不需要追求很高 的精度时可以忽略。 假设 4 不考虑短时间内地球自转或公转带来的影响
在一天的范围内，地球平均公转 0.98°, 赤纬交角变化在仅在 0.252 左右，对于计算造成的偏差值 仅有 0.3%, 因此可以在短时间内忽略地球自转或公转带来的影响。
L sin η l = tan Ω
(3)
tan η = tan hs sin Ω
(4)
反解出影长 l，即有
L tan Ω l = sin arctan (tan hs sin Ω)
(5)
3
可知，影长 l 是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D), 其中 t 为自变量，L, θ, φ, D 均为参数, 因此利用此模型，在已知杆长、经纬度、日期、具体时间的情况 下，可以计算得出相应的影子长度。
的表达式如下
(Y 表示年份)：
N0 = 79.6764 + 0.2422 × (Y − 1985) − ⌈(Y − 1985)/4⌉ 为了建立日影长度的模型，以直杆底部为原点建立如图所示柱坐标系，并以北向为极轴正方向， 上方向为 z 轴正方向。假设直杆长为 L, 若记影长为 l, 影子与极轴夹角为 η，由几何关系可得
2
小，影响可以忽略。同时，地面不平坦或不水平均会使得问题的复杂程度极大程度地提高，为了简化 研究的对象，假设直杆所在地附近的地面是水平且平坦的。 假设 2 直杆可视为细杆，其直径可以忽略。
附件中的数据仅包含影子顶点的坐标，为给出直杆的相关数据。此外，直杆若非细杆，其顶点坐 标的选择也需要考虑，这样就会使wk.baidu.com题的复杂度大大增加。因此，为了简化问题，本文认为题中直杆 的直径均可忽略，因此影子顶点即为杆的最高点在地面的投影。 假设 3 不考虑大气折射带来的影子影响。
第四个问题则涉及到视频文件、图像文件的处理以及摄影测量学的相关理论，其难点在于通过像 素矩阵确定直杆影子顶端的真实坐标。一旦得到了真实坐标，则第四问的问题与前面梁文相同。为 此，在选取合适坐标系的同时，应建立几何光学模型确定像素点与真实位置的对应关系。此外，还应 考虑摄影设备、拍摄行为等是否对于结果有影响。
3 问题一模型的建立与求解
3.1 影子长度模型的建立
建立影子长度的模型，需要用到太阳高度角的概念，所以应首先确定该地点某时刻的太阳高度 角。太阳高度角 hs 的计算公式 [3] 为
sin hs = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos Ω
(1)
式中 φ 表示当地纬度；Ω 为当地时角，公式为 Ω = 15◦ × |T T − 12|，T T 表示当地地方时；δ 表示太阳 赤纬角，其近似计算公式 [4] 为
对影长求关于纬度的偏导数，会发现得到的结果很复杂，但通过图像，可以很容易的发现这是一 个先减后增的函数。在正午时最低点应为太阳直射点所在纬度，但在非正午时会向太阳直射点所在 半球移动，直到移动到极点。这是由于地球是一个球体，因此影长应是以太阳直射点为圆心以圆周的 模式向周围增加，而这种模式并不是按照纬线圈进行。
但是在信息有限的情况下，利用日影进行定位依旧是一种很有用的手段，仍具有很多研究的价 值。因此，本文基于 2015 年全国大学生数学建模竞赛 A 题所提供的数据，主要研究以下问题：
1. 建立影子长度变化的模型，分析题中所给的实例并画出日影长度变化的曲线；
2. 通过完善上一问的模型，对于已有影长的情况下，反向求解出直杆所在的位置，并利用附件一的 数据进行验证；
第二个问题则是第一个问题的反问题，在已知影长具体数值的情况下求解参数 θ, φ 的值。第三 问与第二问的区别在于，第三问的日期 D 同样为未知量。这一问题的理论解法应为利用前面得到的 函数关系进行拟合，得到相应的具体参数值。但在实际问题中，由于函数关系太过复杂，想要拟合出 具体的函数曲线十分困难，因此需要设计合适的方案进行搜索，以求得一个近似的结果。因此，本文 希望通过缩小搜索范围，确定合理搜索算法来进行参数估计，以确定直杆所在的位置与测量的日期。
δ =23.2567 sin θ + 0.1149 sin 2θ − 0.1712 sin 3θ
−0.758 cos θ + 0.3656 cos 2θ + 0.0201 cos 3θ
(2)
+0.3723
式中
θ
称日角，即
θ
=
2πt , 365.2422
而
t
由两部分组成，即
t
=
N
− N0,N
表示积日。N0
∂θ
=
∂Ω
· ∂θ
(6)
这是因为在决定影长的因素中，只有 Ω 会依赖于经度。因此若在同一日期的同一纬度上，如果采
用地方时，则所有的函数曲线均理应相同。采用时区时则会造成正午时间偏移，不在 12:00，这是因为
Ω 是一个关于时间的一次函数，若求导会得到一个常数，因此会造成一个偏移量。
3.2.3 对于纬度 φ 的依赖分析
基于影长变化对日影定位问题的研究
摘要
针对问题一，本文首先利用地理知识计算出了太阳高度角随日期与时间的变化关系， 然后通过几何关系导出太阳的高度角关于纬度和时角的变化关系。在以杆所处位置建立 直角坐标系的基础上，得出单位杆长的影子长度和太阳高度关于杆所处地点的纬度和当 地时间的几何模型，并分析了这一模型对于各个参数的依赖性。最后利用此模型计算出 了 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 3 米高的直杆的太阳影子长 度的变化曲线。
杆长 3.0 m
太阳赤纬角 10°51’45” S
将表中数据代入公式 5，从而作出影子长度的变化曲线，如图 3所示，横坐标为北京时间。
图 3 影子长度变化曲线 5
4 问题二模型的建立与求解
4.1 影长变化率向量
对于影长变化的函数 l = l(t; L, θ, φ, D)，在第二问中，已知参数日期 D 的值，通过分析影子顶点 位置与时间 t 的关系确定参数经度 θ 与纬度 φ。而仅从影子顶点难以获取坐标系建立的方式，因此 可将影子顶点转化为影子长度 l，因此可将问题等价于一个通过影长 l 与时间 t 的关系确定两个未知 的参数 (经度 θ 与纬度 φ).
针对问题 2，本文先利用附件一中的顶点坐标计算出各个时刻的影子长度，同时经过 模型一的逆推导，建立了这条曲线与经度纬度的关系模型。本文通过定义影长变化率向 量，利用曲线中四个点相对初始时刻的变化率来描述这条曲线，然后对经度和纬度进行 匹配，找出匹配程度较高的经度纬度范围。将附件 1 的数据带入到模型中，得到了经度 在 108.35°E 至 108.7°E 之间，纬度在 19.05°N 至 19.34°N。
3.2 影长模型性质的分析
3.2.1 对于杆长 L 的依赖分析
由公式容易看出，在其他参数固定的情况下，影长与杆长是正比例关系，杆长越长，影长越长。
图 1 单位长度的直杆在不同纬度下的影长
3.2.2 对于经度 θ 的依赖分析
对于经度求偏导数，可得
∂l(t; L, θ, φ, D) ∂l(t; L, θ, φ, D) ∂Ω
关键词：影子定位 图像识别 投影原理
1 背景与问题的提出
对于日影的研究由来已久。早在公元前三世纪，古希腊数学家、地理学家埃拉托斯特尼就利用太 阳的影子第一次估算出了地球的直径 [1]。数千年来，由于日影随处可见，对于其的研究也从未停止过。 日影在航海、测绘、定位等方面一直有着非常重要的地位，直至今日，日影依旧在确定视频的拍摄地点 和拍摄日期上有着很高的地位。
3. 在第二问模型的基础上，在反向求解出直杆所在位置的同时，也求解出可能的时间，并利用附件 二、附件三的数据进行验证；
4. 通过分析附件四的视频，确定附件四可能的拍摄地点，同时讨论所给的拍摄时间能否省去。
第一个问题需要建立影子长度的模型，这一模型应当是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D). 因此第一问相当于已知参数 L, θ, φ, D，求 l 关于 t 的具体的 函数表达式，并作出给定参数值的函数图像。
然而，直接利用日影进行定位是极其困难且不精确的。首先，由于日影地球并非规则的球体，日影 会因为影子所在地的海拔不同而受到影响。同时，太阳光线会受到天气的影响，即使晴天也会因大气 层对光线的折射而使得太阳的真实位置难以确定。此外，由于难以保障地面是完全水平的，且地球自 转会导致重力方向与地面指向地心的方向有偏差，确定准确位置几乎是不可行的。除此以外，仍有很 多其他影响因素会造成日影定位精度的缺失。事实上，航海中的船员利用影子进行定位时精度非常 低，即使用精密仪器进行测量，误差甚至能达到几千米，对此英国还曾为提高精度进行悬赏。而随着 全球卫星定位系统地普及，定位的成本已降至很低，但精度则达到了很高的水平。由于上述原因，除 非极其特殊的情况，基本上很少会有人再利用日影进行定位。
3.2.4 对于日期 D 的依赖分析
想要求出影长关于日期的偏导数十分困难，因为影长模型对于日期的依赖程度很高，依赖的关系 也十分复杂。这是因为不同纬度与日期的同时作用使得影长变化行为十分复杂，分析对于日期的依 赖关系应以纬度的不同作为分类依据，同时以赤道为对称轴，南北相反。
4
(a) 北回归线以北
(b) 赤道到北回归线
2 基本假设
假设 1 杆附近的地面均为水平且平坦的。 尽管地面完全的情况水平并不常见，难免有或大或小的倾角，但在不能确定直杆所在位置是否水
平且平坦的情况下，利用直杆的影长进行研究是没有意义的。但是本文中出现的直杆均较长，假如地 面不平直杆有可能不稳定，而如旗杆等则有地面必须平坦的规定，而且多数情况下地面的倾角都很微
(c) 赤道
图 2 影长对于日期的依赖分析
3.3 对于天安门广场直杆影子的分析
利用前文所提到的公式，根据所给的数据，经计算可以得到天安门广场上的太阳运动相关数据， 如表 1所示。
表 1 2015 年 10 月 22 日北京天安门广场太阳光线与直杆相关数据
项目 经度 数值 116°23’29”E
纬度 39°54’26”N
针对问题 3，类似于问题二，先利用顶点坐标计算出各个时刻的影子长度，然后在 问题二模型的基础上增加了日期变量，同样使用曲线中四个点相对初始点的变化率来 简化描述这条曲线。通过对经度和纬度进行匹配，找出匹配程度较高的经度纬度范围， 并求得附件 2 的可能地点。(1). 大致日期 5 月 21 日，纬度范围 39.37°N ~39.57°N，经 度范围 79.617°E~79.637°E；(2). 大致日期 1 月 16 日，纬度范围 40.07°S ~40.37°S，经度 79.877°E ~79.897°E。将附件三的数据带入模型，得到四个结果：(1).2 月 21 日，经度范 围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 34.97°N ~35.37°N；(2). 大致日期 4 月 17 日，经度范 围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 35.47°S ~35.77°S；(3). 大致日期 8 月 26 日，经度范围 116.977°E ~116.997°E，纬度范围 34.57°N ~35.77°N；(4). 大致日期 10 月 21 日，经度范围 116.977°E~116.997°E，纬度范围 34.77°S ~35.47°S。
地球的大气层对于太阳光线有折射作用，这一作用会使得太阳光线的理论值与实际值有一定程 度的偏差。但是，大气的折射率在 1.000278±0.0002，对于太阳光线的偏折角很小，在不需要追求很高 的精度时可以忽略。 假设 4 不考虑短时间内地球自转或公转带来的影响
在一天的范围内，地球平均公转 0.98°, 赤纬交角变化在仅在 0.252 左右，对于计算造成的偏差值 仅有 0.3%, 因此可以在短时间内忽略地球自转或公转带来的影响。
L sin η l = tan Ω
(3)
tan η = tan hs sin Ω
(4)
反解出影长 l，即有
L tan Ω l = sin arctan (tan hs sin Ω)
(5)
3
可知，影长 l 是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D), 其中 t 为自变量，L, θ, φ, D 均为参数, 因此利用此模型，在已知杆长、经纬度、日期、具体时间的情况 下，可以计算得出相应的影子长度。
的表达式如下
(Y 表示年份)：
N0 = 79.6764 + 0.2422 × (Y − 1985) − ⌈(Y − 1985)/4⌉ 为了建立日影长度的模型，以直杆底部为原点建立如图所示柱坐标系，并以北向为极轴正方向， 上方向为 z 轴正方向。假设直杆长为 L, 若记影长为 l, 影子与极轴夹角为 η，由几何关系可得
2
小，影响可以忽略。同时，地面不平坦或不水平均会使得问题的复杂程度极大程度地提高，为了简化 研究的对象，假设直杆所在地附近的地面是水平且平坦的。 假设 2 直杆可视为细杆，其直径可以忽略。
附件中的数据仅包含影子顶点的坐标，为给出直杆的相关数据。此外，直杆若非细杆，其顶点坐 标的选择也需要考虑，这样就会使wk.baidu.com题的复杂度大大增加。因此，为了简化问题，本文认为题中直杆 的直径均可忽略，因此影子顶点即为杆的最高点在地面的投影。 假设 3 不考虑大气折射带来的影子影响。