21高考文科数学人教A一轮复习高效演练分层突破：第六章 第5讲 数列的综合应用 含解析

[基础题组练]

1．(2020·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

解析：选C.法一：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.

法二：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 2q ＋4a 2q ＋4a 2＝0，因为a 2≠0，所以q ＋4

q ＋4＝0，即(q

＋2)2＝0，所以q ＝－2，故选C.

2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )

A ．26

B ．52

C ．78

D ．104

解析：选B.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3a 11＝4a 7，所以a 27＝4a 7≠0，解得a 7＝4， 因为数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，

所以S 13＝13×（b 1＋b 13）

2

＝13b 7＝13a 7＝52.故选B.

3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＞0，a 6和a 8

是函数f (x )＝154ln x ＋1

2

x 2－8x 的极值点，则S 8＝( )

A ．－38

B ．38

C ．－17

D ．17

解析：选 A.因为f (x )＝154ln x ＋12x 2－8x ，所以f ′(x )＝15

4x ＋x －8＝x 2－8x ＋

15

4x

＝

⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭

⎫

x －152x

，

令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝15

2

.

又a 6和a 8是函数f (x )的极值点，且公差d ＞0，

所以a 6＝12，a 8＝15

2

，所以

⎩⎨⎧a 1＋5d ＝1

2

，

a 1

＋7d ＝15

2，解得⎩⎪

⎨⎪⎧a 1

＝－17，

d ＝72. 所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）

2

×d ＝－38，故选A.

4．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )

A ．n (2n ＋3)

B ．n (n ＋4)

C ．2n (2n ＋3)

D ．2n (n ＋4)

解析：选A.由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝n (2n ＋3)．

5．(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )

A ．672

B ．673

C ．1 346

D ．2 019

解析：选C.由于{a n }是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，

故{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…， 所以{a n }是周期为3的周期数列， 且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2. 因为2 019＝673×3，

所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.

6．(2019·高考北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5

＝ ，S n 的最小值为 ．

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－3，S 5＝－10，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，

5a 1＋10d ＝－10，所以可得

⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，

d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，因为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12

(n 2－9n )，所以当n ＝4或n ＝5时，S n 取得最小值，最小值为－10.

答案：0 －10 7．若数列{a n }满足

1

a n ＋1－2a n ＝0，则称{a n }为“梦想数列”．已知正项数列{1

b n }为“梦想

数列”，且b 1＋b 2＋b 3＝1，则b 6＋b 7＋b 8＝ ．

解析：由1a n ＋1－2a n

＝0可得a n ＋1＝12a n ，故{a n }是公比为12的等比数列，故{1b n }是公比为1

2的

等比数列，则{b n }是公比为2的等比数列，b 6＋b 7＋b 8＝(b 1＋b 2＋b 3)25＝32.

答案：32

8．(2020·河北石家庄4月模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，定义{a n }的“优值”为H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n

n

，现已知{a n }的“优值”H n ＝2n ，则S n ＝ ．

解析：由H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n

n ＝2n ，

得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ， ①

当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n －1， ②

由①－②得2n －1a n ＝n ·2n －(n －1)2n －1＝(n ＋1)2n －1，即a n ＝n ＋1(n ≥2)， 当n ＝1时，a 1＝2也满足式子a n ＝n ＋1，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，所以S n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2

.

答案：n （n ＋3）2

9．(2020·武汉市部分学校调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3.

(1)若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝13，求S n .

解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，