方程与不等式的知识点梳理
高中数学知识点总结线性方程与不等式
高中数学知识点总结线性方程与不等式高中数学知识点总结：线性方程与不等式一、线性方程线性方程是指最高次项的次数为1的方程，形如ax + b = 0。
1. 解一元一次线性方程的基本步骤：a. 对方程进行化简，将所有常数项移到等号的右边，变量项移到等号的左边；b. 合并同类项，使方程化为形如cx = d的标准形式；c. 根据等式两边相等的性质，得出变量的解。
2. 方程的解的类型：a. 如果方程有唯一解，说明图像是一条斜率为正数或负数的直线；b. 如果方程有无穷多解，说明图像是一条斜率为0的水平线；c. 如果方程没有解，说明图像是一条平行于x轴的直线，与x轴平行但不相交。
3. 线性方程组：a. 如果有两个或多个线性方程同时成立，称为线性方程组；b. 线性方程组可用消元法或代入法等方法求解；c. 解的个数与方程组中的方程个数及方程组的性质有关。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指最高次项的次数为1的不等式，形如ax + b > 0。
1. 解一元一次不等式的基本步骤：a. 对不等式进行化简，将所有常数项移到不等号的右边，变量项移到不等号的左边；b. 合并同类项，使不等式化为形如cx > d的标准形式；c. 根据不等式的性质进行判断，得出变量的解区间。
2. 不等式的解的类型：a. 开区间解表示不等号两边不包括临界值；b. 闭区间解表示不等号两边包括临界值；c. 无解表示不等式在实数范围内不存在解。
3. 不等式的图解法：a. 将不等式表示为一条直线或曲线；b. 根据不等式的性质，画出图像，并标出解的范围；c. 判断是否包括临界值，来确定解的类型。
三、二元一次方程与不等式二元一次方程是指两个变量的最高次项的次数为1的方程，形如ax + by + c = 0。
1. 解二元一次方程的基本步骤：a. 将方程化简为标准形式，即ax + by = c；b. 可使用代入法或消元法求解方程组；c. 得出两个变量的解。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。
一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。
2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。
（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程与不等式是初中数学中重要的内容，是学习数学的基础知识之一。
本文将总结方程与不等式的基本概念、解题方法和常见应用，以帮助初中生更好地掌握这些知识点。
一、方程的基本概念与解法1. 方程的定义：方程是由等号连接的两个代数式构成的等式。
方程中未知量的值称为方程的解。
2. 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
一元一次方程只有一个未知数。
3. 解一元一次方程的步骤：a) 将方程化简为形式ax = b；b) 通过等式两边的运算，将未知数的系数系数化为1；c) 通过等式两边的运算，求出未知数的值。
4. 一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
一元二次方程有一个未知数的平方项。
5. 解一元二次方程的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将方程简化为形式(x - p)(x - q) = 0；b) 令(x - p)(x - q) = 0，解得x = p或x = q；c) 通过解方程求得的解，验证原方程的等式是否成立。
二、不等式的基本概念与解法1. 不等式的定义：不等号连接的两个代数式构成的式子。
不等式的解是使不等式成立的值或数值范围。
2. 一元一次不等式：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
3. 解一元一次不等式的步骤：a) 将不等式化简为形式ax > b或ax < b；b) 通过对不等式两边的运算，得到未知数的范围。
4. 一元二次不等式：形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
5. 解一元二次不等式的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将不等式简化为形式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0；b) 列出不等式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0的解集；c) 通过解不等式求得的解集，验证原不等式是否成立。
方程与不等式知识点
方程与不等式知识点一、方程的概念与性质方程是将含有未知数的等式称为方程。
一般形式为：P(x)=0，其中P(x)为多项式函数，x为未知数。
方程的次数是多项式中各项次数的最大值。
方程的性质有以下几个方面：1.方程的根：方程P(x)=0的解称为方程的根。
方程的根可以是实数也可以是复数。
2.方程的根与系数的关系：设方程P(x)=0的根为a，则P(a)=0，反之，如果P(a)=0，那么a就是方程P(x)=0的根。
3.方程的解的性质：若a是方程P(x)=0的根，则(x-a)是P(x)的一个因式。
4.方程的根的个数：n次方程P(x)=0的解的个数至多为n个。
二、方程的解法1.一次方程的解法：设方程a1x+a0=0，其中a1≠0，则方程的解为x=-a0/a12.二次方程的解法：设方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则方程的解公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
3.高次方程的解法：对于高次方程，一般采用因式分解、配方法、卡尔丹法等方法求解。
三、不等式的概念与性质不等式是使用不等号连接的数学关系，在不等式中，未知数的取值满足特定的条件。
常见的不等式有大于等于（≥）、小于等于（≤）、大于（>）、小于（<）等。
不等式的性质有以下几个方面：1.不等式的解集：满足不等式所有条件的数值的集合称为不等式的解集。
2.在不等关系中，可以在两边同加或者同减一个数，可以在两边同乘或者同除正数，但是如果两边同乘或者同除负数的话，应该将不等号翻转。
3.对于不等式组的解集，满足所有不等式的解的交集称为不等式组的解集。
四、不等式的解法1.一次不等式的解法：将不等式变形，找到未知数的取值范围，得到的范围即是不等式的解。
2.二次不等式的解法：将二次不等式化为零，找到对应的方程，并求出方程的解，然后根据二次不等式表示的形式将解的范围确定下来。
3.绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，根据绝对值的性质，将不等式分成正负两种情况进行求解。
知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。
初中数学方程与不等式知识点归纳
初中数学方程与不等式知识点归纳数学中的方程和不等式是初中阶段数学学习中重要且基础的概念。
方程和不等式是代数学习的核心内容，对于学生培养逻辑思维和解决问题的能力起到重要的作用。
本文将围绕初中数学方程与不等式的知识点进行归纳和总结。
1. 方程的概念与解的含义：在数学中，方程是描述两个数或多个数之间关系的等式。
方程中包含未知数，我们通过解方程来求得未知数的值。
解方程的过程就是找出能使方程成立的未知数的值。
方程的解是指使方程等式成立的未知数的值。
方程的解可以有一个或多个，也可以没有解。
当方程的解存在时，我们称方程有解；当方程的解不存在时，我们称方程无解。
2. 方程的分类：根据方程中的未知数的个数和方程中各项的次数，方程可分为一元一次方程、一元二次方程等多种形式。
- 一元一次方程：一元一次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数，a ≠ 0。
解一元一次方程的方法主要有消元法、代入法等。
- 一元二次方程：一元二次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知的实数，a ≠ 0。
解一元二次方程的方法主要有配方法、因式分解法和求根公式法等。
3. 不等式的概念与解的含义：不等式是使用不等号描述两个数或多个数之间的大小关系。
不等式中也包含未知数，我们通过解不等式来确定未知数的可能范围。
不等式的解是指使不等式成立的未知数的值所在的范围。
解不等式可以是一个数轴上的一个区间，也可以是具有特定条件的数轴上的多个区间。
4. 不等式的分类：根据不等式中未知数的个数和不等式中的项的次数，不等式可分为一元一次不等式、一元二次不等式等多种形式。
- 一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的不等式。
一元一次不等式的解有一个或一个以上的实数解。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
不等式与方程根知识点总结
不等式与方程根知识点总结一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是一种比较两个数大小关系的数学表达式，它由不等号（>、<、≥、≤）连接的两个表达式组成。
例如，3x+5>7就是一个不等式，其中3x+5和7分别是两个表达式，>是不等号。
1.2 不等式的性质不等式有一些基本的性质，包括传递性、反对称性和加减乘除性。
传递性指的是如果a>b且b>c，则a>c；反对称性指的是如果a>b且b>a，则a=b；加减乘除性指的是如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c，a×c>b×c，a/c>b/c（其中c>0）。
1.3 不等式的解法解不等式的方法分为图解法和代数法两种。
图解法是通过将不等式转化成图形的方式来求解，代数法是通过代数运算来求解。
对于一元一次不等式，通常使用图解法来求解。
1.4 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、管理学和自然科学等领域。
例如，利润不等式可以用来描述一个企业的盈利状况，生态平衡不等式可以用来描述生态系统的稳定性。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是一个等式，它表示两个表达式相等。
例如，3x+5=7就是一个方程，其中3x+5和7是两个表达式，=是等号。
2.2 方程的性质方程有一些基本的性质，包括等价性、对称性和变换性。
等价性指的是如果a=b，则b=a；对称性指的是如果a=b且b=c，则a=c；变换性指的是如果a=b且c=d，则a+c=b+d。
2.3 方程的解法解方程的方法分为试解法、代数法和图解法三种。
试解法是通过试验一些数值来求解，代数法是通过代数运算来求解，图解法是通过将等式转化成图形的方式来求解。
2.4 方程的应用方程在实际问题中也有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和金融学等领域。
例如，牛顿第二定律可以用方程的形式来表示，弹性力学中的胡克定律也可以用方程的形式来表示。
方程和不等式知识点总结
方程和不等式知识点总结一、一元一次方程和一元一次不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的次数为一次的方程，一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的常用方法有整理法、等价变形法和代入法。
整理法是指将方程中含有未知数的项移到一个方程的一侧，不含未知数的项移到另一侧，以此来简化方程的形式；等价变形法是指通过一些等价变形，使方程的解易于得到；代入法是指将一个变量表示成另一个变量的函数，然后将它代入方程中，从而解得未知数的值。
解得一元一次方程的解后，需要进行检验，以确保解是正确的。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的次数为一次的不等式，一般形式为ax+b>0或ax+b<0。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意当不等式中含有乘法或除法时，对不等式两边的符号要进行取反。
二、一元二次方程和不等式1. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的次数为二次的方程，一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法和因式分解法。
配方法是指通过变形，使得方程左侧成为一个完全平方的形式，然后通过提取平方根的方法解得未知数的值；公式法是指利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，解得方程的根；因式分解法是指将方程右侧化成(product-sum)型的二项式，然后再通过整理方程的形式来解得未知数的值。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的次数为二次的不等式，一般形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法和解一元二次方程类似，但是要注意当不等式中含有乘法或除法时，对不等式两边的符号要进行取反。
三、二元一次方程和不等式1. 二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的方程，一般形式为ax+by=c。
解二元一次方程的方法有代入消元法、加减消元法和等价变形法。
方程组与不等式组知识点总结
方程组与不等式组知识点总结一、方程组。
1. 二元一次方程组。
- 定义。
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组叫做二元一次方程组。
例如x + y=5 2x - y = 1。
- 解法。
- 代入消元法。
- 步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，如对于方程组y = 2x - 3 3x+2y = 8，由第一个方程y = 2x - 3，将y代入第二个方程得3x+2(2x - 3)=8，然后解这个一元一次方程求出x的值，再把x的值代入y = 2x - 3求出y的值。
- 加减消元法。
- 步骤：当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
例如对于方程组3x+2y = 11 5x - 2y = 13，将两个方程相加得(3x + 2y)+(5x - 2y)=11 + 13，即8x=24，解得x = 3，再把x = 3代入3x+2y = 11求出y的值。
2. 三元一次方程组。
- 定义。
- 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做三元一次方程组。
例如x + y+z = 6 2x - y+z = 3 3x + 2y - z=4。
- 解法。
- 思路是通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。
例如先消去z，可以将第一个方程x + y+z = 6与第三个方程3x + 2y - z = 4相加得到4x+3y = 10，再将第一个方程x + y+z = 6与第二个方程2x - y+z = 3相减得到-x + 2y=3，这样就得到了一个二元一次方程组4x + 3y=10 -x+2y = 3，然后用二元一次方程组的解法求解。
初中数学代数知识点梳理
初中数学代数知识点梳理代数是数学中一个重要的分支，它以符号和变量为基础，研究数字和运算规则之间的关系。
代数在初中数学中占据着重要的地位，它涉及到方程、函数、多项式等许多重要的概念和技巧。
下面将对初中数学代数知识点进行梳理和总结。
一、方程与不等式1. 一元一次方程：一元一次方程是代数中最基础的方程形式，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程可以通过移项、合并同类项等方法，最终得到x的值。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是一元一次方程的扩展，其形式为ax + b < c或ax + b > c。
解一元一次不等式与解方程类似，可以通过移项、合并同类项等方法，最终得到x的取值范围。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组，其一般形式为{ax + by = cdx + ey = f解二元一次方程组可以通过消元、代入等方法，最终得到x和y的值。
4. 二元一次不等式组：二元一次不等式组是由两个一元一次不等式组成的不等式组，其形式为{ax + by < cdx + ey > f解二元一次不等式组可以通过图像法、代入法等方法，最终得到x和y的取值范围。
二、函数与图像1. 函数与自变量、因变量：函数是两个数集之间的一种对应关系，其中一个数集称为自变量集合，另一个数集称为因变量集合。
自变量的取值范围决定了函数的定义域，因变量的取值范围决定了函数的值域。
2. 一元函数的图像：一元函数的图像是自变量和因变量之间的对应关系在坐标系中的表示形式。
在直角坐标系中，通常将自变量表示为x轴坐标，将因变量表示为y轴坐标，然后将所有点的坐标连成曲线，即为函数的图像。
3. 二元函数的图像：二元函数的图像是两个自变量和因变量之间的对应关系在三维坐标系中的表示形式。
在三维坐标系中，通常将两个自变量表示为x轴和y轴的坐标，将因变量表示为z轴的坐标，然后将所有点的坐标连成曲面，即为函数的图像。
方程与不等式的关系与转化
方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。
方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。
不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。
二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。
方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。
知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。
方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。
三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。
例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。
知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。
例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。
知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。
例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。
相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。
四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。
例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。
知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。
例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。
方程与不等式知识点
方程与不等式知识点一、方程的定义与基本概念方程是数学中常见的概念之一，它描述了数学关系中的等式关系。
方程通常由未知数、系数、和常数项组成，通过运算符号将它们连接起来。
在解方程时，我们的目标是找到满足方程条件的未知数的值。
方程可以是一元方程，即只含有一个未知数，也可以是多元方程，含有多个未知数。
二、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式。
它的形式通常为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的关键在于运用逆运算，将未知数从方程中解出来。
通过将方程两边进行运算，消去系数和常数项，最终得到未知数的值。
三、一元二次方程一元二次方程是一元方程中的一种，其形式为ax²+bx+c=0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的常用方法是配方法和公式法。
其中，配方法涉及到将方程转化为完全平方形式，即通过添加常数项使方程变为平方的形式。
公式法则是通过使用求根公式，直接计算方程的解。
四、不等式的定义与基本概念不等式用于描述两个不同数之间的关系。
与方程类似，不等式也分为一元不等式和多元不等式。
一元不等式中只含有一个未知数，而多元不等式中含有多个未知数。
不等式中的符号包括大于、小于、大于等于、小于等于等。
解不等式的目标是确定使不等式成立的数的范围。
五、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式。
它常见的形式为ax+b>0，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键在于确定不等式的符号和确定未知数的取值范围。
通过合理的变形和运算，可以得到不等式的解集。
六、一元二次不等式一元二次不等式是一元不等式中的一种，其形式为ax²+bx+c>0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似。
通过分析二次项的符号、系数和常数项的关系，可以确定不等式的解集。
七、方程与不等式的应用方程与不等式在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，它们常用于建模和解决实际问题。
初中数学中的方程与不等式知识点的归纳与解析
初中数学中的方程与不等式知识点的归纳与解析方程与不等式是初中数学中的重要内容，它们是解决实际问题、探索数学规律的基础。
本文将对初中数学中的方程与不等式知识点进行归纳与解析。
一、方程的基本概念方程是含有未知数的等式，其中未知数通常用字母表示。
方程的解即满足方程的数值。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
其一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本步骤是通过逆运算将未知数从方程中分离，并求得未知数的值。
2. 一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
其一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x为未知数，并且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
其中求根公式是解一元二次方程的常用方法，它的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
二、不等式的基本概念不等式是含有不等关系的等式，其中未知数通常用字母表示。
不等式的解即满足不等式关系的数值。
1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
其一般形式为：ax + b < 0（或>、≤、≥）。
解一元一次不等式的基本步骤是通过逆运算将未知数从不等式中分离，并确定不等号的方向。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
其一般形式为：ax^2 + bx + c < 0（或>、≤、≥），其中a、b和c为已知数，x为未知数，并且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法主要有图像法和区间法。
图像法通过绘制一元二次不等式的图像，确定满足不等式的数值范围；区间法通过判断一元二次不等式的相关函数的正负性，确定满足不等式的数值范围。
三、方程与不等式的应用方程与不等式是数学在实际问题中的重要工具，它们能够帮助我们解决各种实际问题。
1. 方程的应用方程常常用于解决两个或多个相关量之间的关系。
初中数学方程与不等式知识点归纳
初中数学方程与不等式知识点归纳在初中数学中，方程和不等式是非常重要的内容，它们是解决实际问题和推理证明的工具。
掌握方程和不等式的知识点，对于进一步学习代数和几何等数学分支有着重要的影响。
在本文中，我们将对初中数学方程与不等式的重要知识点进行归纳总结。
一、方程的基本概念方程是含有未知数的等式，通常表示为“含有等号的代数式”。
解方程的过程就是确定未知数的取值，使得方程两边的值相等。
1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
求解一元一次方程的常用方法是逆运算法，即通过逆运算将方程化简为等价的形式。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
我们常用二次公式或配方法来解决一元二次方程。
而求解一元二次方程的根，可以从判别式、求和与积、因式分解等方法入手。
3. 多元一次方程：多元一次方程是指含有两个或两个以上未知数的方程。
求解多元一次方程的常用方法是代入法和消元法。
二、方程的应用方程在实际问题中的应用非常广泛，尤其是利用方程来解决关于长度、重量、价格、时间等问题是非常常见的。
1. 长度问题：在解决长度问题时，可以利用线段长度与线段之间的关系，建立方程模型。
2. 重量问题：在解决重量问题时，可以注意不同物体之间的质量关系，建立方程表示。
3. 价格问题：在处理价格问题时，可以通过计算价格与数量、折扣等之间的关系，建立方程。
4. 时间问题：在解决时间问题时，可以根据速度与距离之间的关系来建立方程。
三、不等式的基本概念不等式是比较两个或多个数大小关系的一种表示方法，它通过大小关系的符号（如 >、<、≥、≤等）表示。
解不等式就是求出满足不等式的数值范围。
1. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的不等式。
求解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相似。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二的不等式。
第2章+一元二次函数、方程和不等式知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第2章《一元二次函数、方程和不等式》知识点汇总2.1 等式性质与不等式性质1.实数的大小比较（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）当 a ∈ R ,b ∈ R 时a −b >0⟺ a > ba −b <0⟺ a < ba − b=0 ⟺ a = b作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）当 a＞0 ,b ＞0 时a>1 ⟺ a >bba<1 ⟺ a <bba=1 ⟺ a =bb作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.2.不等式的性质（1）性质1（可加性）如果a > b, 那么 a±c > b±c；（2）性质2（可乘性）① 如果 a > b，c＞0,那么 ac > bc 或ac >bc;②如果 a > b，c＜0,那么 ac ＜ bc 或ac <bc.（3）性质3 （传递性)如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a+b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ ,那么 a n>b n;（9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ , 那么√a n>√b n;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么1a <1b;2.2《基本不等式》1.基本不等式对于 ∀ a >0 ,b > 0 ，都有√a2+b22≥a+b2≥√ab≥21a+1b(当且仅当a=b 时等号成立）注1：a+b2叫正数 a 与 b 的算术平均数，√ab叫正数 a 与 b 的几何平均数；注2：基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为对于 ∀ a > 0,b > 0 ,都有a+b ≥2 √ab(当且仅当a=b 时等号成立）2.实例运用例1.已知x > 0 , 求x +1x的最小值.解：∵ 已知x > 0,∴ 1x>0∴ 据基本不等式可得x +1x ≥2√x ∙1x=2（当且仅当x =1x（即x=1）时等号成立）故x +1x的最小值为2例5.已知 x>0 ,y >0,且1x +9y=1,求 x+y 的最小值.解：∵ 已知1x +9y=1∴ x+y=（x+y) ( 1x +9y=1)=yx+9xy+10又∵ 已知x>0 ,y >0∴ yx >0，9xy>0∴ yx +9xy≥2√yx∙9xy=2√9=6y x +9xy+10≥6+10（可加性）即x+y≥16(当且仅当yx =9xy，即y=3x 时等号成立)故x+y 的最小值为16.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念像x2−7x+6>0这样，含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的不等式，就称为一元二次不等式.其一般式为ax²+bx+c > 0 (a ≠ 0)注：上面一般式中的“＞”也可以换成“＜”，“≥”或“≤”.2.一元二次不等式的图解法三作图一 化二解 四答（1）典例讲解:解不等式 −x 2+2x >−3解:原一元二次不等式等价于x 2−2x −3 <0∵∆=b 2−4ac =(−2)2−4×1×(−3)=16>0解一元二次方程 x 2−2x −3 =0 可得x 1=−1,x 2=3又∵二次项系数a =1>0二次函数y =x 2−2x −3的图像如图所示由上图可知不等式 x 2−2x −3 <0的解集为 {x | −1< x < 3}即原不等式的解集为{x | −1< x < 3}（2）一元二次不等式的图解法小结①一化：将原不等式化成一般式，即ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的形式，其中二次项系数a >0；②二解：判断∆=b 2−4ac 的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax²+bx +c = 0 的实数根（x =−b±√b 2−4ac 2a）； ③三作图:根据二次函数y =ax²+bx +c (a > 0)的图像与x 轴的位置关系确定一元二次不等式ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的解集.④四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示.（3）实例运用例1 看图口答.①不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x＜−1 或 x＞3 } ；②不等式x²−2x−3 ≤0的解集为{ x | −1≤x≤3 } ；③不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x≤−1 或 x≥3 } ；例2 求不等式9x2−6x+1>0的解集.解：∵ 已知9x2−6x+1>0∴ a=9 ,b=−6 ,c=1又∵ ∆=b2−4ac=(−6)2−4×9×1=0∴解一元二次方程9x2−6x+1=0可得x=13又∵二次项系数 a=9>0，∴可得二次函数y=9x2−6x+1的图像如图所示：由图可知原一元二次不等式的解集为{ x | x≠1}3例3 求不等式−x2+2x−3>0的解集.解：原不等式−x2+2x−3>0可化为x2−2x+3< 0∴ a=1 ,b=−2 ,c=3又∵ ∆=b2−4ac=(−2)2−4×1×3=−8<0∴ 一元二次方程 x2−2x+3=0没有实数根又∵二次项系数 a=1>0，∴可得二次函数 y=x2−2x+3的图像如图所示：由图可知一元二次不等式 x2−2x+3< 0的解集为 ∅故原一元二次不等式−x2+2x−3>0的解集为∅。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
关于方程不等式知识点总结
关于方程不等式知识点总结一、方程不等式的概念方程不等式是指由数学符号“<”、“≤”、“>”、“≥”连接的等式或不等式表达式。
它们描述了数值之间的大小关系，是解决各种实际问题中不同量之间的大小比较、关系确定等问题的基本工具。
方程不等式一般可以分为一元不等式和多元不等式两种类型。
一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，如x<5、2x-3≤7等；而多元不等式是指含有多个未知数的不等式，如2y+3x<10、x+y≥5等。
方程不等式的解是指能使不等式成立的数值或数值范围。
二、一元一次不等式一元一次不等式是一元不等式的一种特殊类型，它们具有以下形式：ax+b>0、ax+b≥0、ax+b<0、ax+b≤0等，其中a和b是已知常数，x是未知数。
一元一次不等式的解法主要有图解法、代数法和逻辑推理法。
1. 图解法：利用数轴上的点和线段分析不等式的解集。
当不等式为“>”或“≥”时，解集在数轴上对应着以实数轴上某个点为端点的射线；当不等式为“<”或“≤”时，解集在数轴上对应着以实数轴上某个点为端点的射线的补集。
2. 代数法：通过对不等式两边进行加减乘除、取倒数、开平方等运算，化简和变换不等式，然后解出未知数的范围。
需要注意的是，在进行不等式两边的运算时，需要考虑到不等式的方向性，避免不等式的方向性变化。
3. 逻辑推理法：通过对不等式的逻辑推理，结合不等式的性质和特点，来确定不等式的解集。
逻辑推理法在处理一些特殊类型的不等式时比较有效，如绝对值不等式、分式不等式、含有根式的不等式等。
三、一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元不等式组成的一个整体。
它们一般具有以下形式：{ax+b>c1,dx+e>c2,⋮kx+m>cn其中a、b、c、d、e、k、m是已知常数，x是未知数，c1、c2、⋯、cn是不等式组的各个不等式。
一元一次不等式组的解法和一元一次不等式类似，主要有图解法、代数法和逻辑推理法。
初中数学方程与不等式知识点梳理
初中数学方程与不等式知识点梳理初中数学方程与不等式是数学学科中重要的内容之一。
它们不仅在数学中具有广泛的应用，而且在生活中也有丰富的应用。
本文将对初中数学方程与不等式的相关知识点进行梳理，以帮助大家更好地理解和掌握这些概念。
一、方程的基本概念与解法方程是指具有等号的数学式子，其中包含有未知数。
方程的解即使使得该方程成立的数值。
初中数学中常见的方程有一元一次方程、一元二次方程等。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b的值已知且a不等于0。
一元一次方程的解即为使该方程成立的未知数的值。
解一元一次方程的一般步骤如下：- 将方程中的未知数和常数项分别移到一边，使方程变为ax = -b的形式；- 此时，解方程的结果可以通过将-b除以a来求得。
2. 一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c的值已知且a不等于0。
一元二次方程的解一般为两个实数解或两个复数解。
解一元二次方程的一般步骤如下：- 利用配方法，将方程变形为(a*x + b)² = d的形式，其中d为已知数；- 对方程两边开平方，解得a*x + b = ±√d；- 将方程继续变形为x = (-b ± √d) / a，得到解。
3. 方程的解的判定对于一元一次方程，我们可以通过代入法来判断一个数是否是其解，即将该数代入方程中，检验等号是否成立。
对于一元二次方程，解的情况较为复杂。
通过求解二次方程的根，我们可以判断解的类型：- 当计算得到的判别式D大于0时，方程有两个不相等的实数根；- 当D等于0时，方程有两个相等的实数根；- 当D小于0时，方程有两个共轭的复数根。
4. 方程的应用方程在生活中有广泛的应用，例如：- 使用方程可以解决一些实际问题，如物体运动问题、几何问题等；- 方程在财务管理方面也有应用，如利息计算、投资问题等。
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方程与不等式知识点梳理
1、方程与方程组
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样
的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代
数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元
一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程
1）一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中
表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次
函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面
直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是
该方程的解了
2）一元二次方程的解法
大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在
上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1）配方法
利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3）解一元二次方程的步骤：
（1）配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的
一半的平方，最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中
的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
4）韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积
=c/a
也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各
系数，在题目中很常用
5）一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而
△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）
2、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方
向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知
数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1
的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了
一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个
一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：
在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：
A>B,A+C>B+C
在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：
A>B，A-C>B-C
在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）
在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C<B*C（C<0）
如果不等式乘以0，那么不等号改为等号
所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果
出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
3、函数
变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向
的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。
②当B=0时，称Y是X的正比例函数。
一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐
标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的
图象。
②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。
④当K〉0时，Y的值随X值的增大而
增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。
-----------一路有你，乐冲刺。