球冠表面积计算公式

球冠表面积计算公式 Revised as of 23 November 2020

假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rc

osθ，则有球冠积分表达：

球冠面积微分元dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ

积分下限为θ，上限π/2

所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)

其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H

所以：S = 2πRH

S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ=

2πR*R(1 - sinθ)

1》2πR^2中^2为2πR的平方

2》∫ 要有写上下标，分别为π/2 ，θ

球冠的面积计算公式

推导过程如下：

假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rcosθ，则有球冠积分表达：

球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ

积分下限为θ，上限π/2

所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)

其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H

所以：S = 2πRH

球冠概念的分析

（1）球冠不是几何体，而是一种曲面，它是球面的一部分，是球面被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。

（2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底面圆的面积。

（3）球面被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半径。

（4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球半径的球冠都适用。球面积公式S球面＝4πr2可看成球冠面积公式当h＝2R的特例。由于同一个球的半径是一个常量，所以球冠面积是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h)

＝2πRh（0＜h≤2R）。

（5）若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面，夹在这两个平行平面间的部分叫做球带，h叫做球带的高。把球带面积看成其高分别为h1，h2（h1＞h2）的两个球冠面积之差，则有S球带＝2πRh1－2πRh2＝2πR(h1－h2)＝2πRh，其中为球的半径。

由此可知，S＝tπR2可以看成球的表面积、球冠的面积、球带的面积的统一计算公式。这里体现了特殊与一般可以互相转化的基本数学思想。