§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)

k
①
k
②
3）求各单元整体坐标下的刚度矩阵
单元①：局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，
即： k
①
k
①
单元②：
0 1 0 T
=900
0 0 1
3
2 ② 5
0 0 1 0
1
3 1 ② 6 4
2
坐标转换矩阵为：
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
x
6 5
4
(局部坐标)
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k
②
T
T
k T
②
结点位移码
(1
结点码
k
②
30 12 30 1 12 0 1 300 0 0 300 0 2 3 30 0 100 30 0 50 4× 10 0 0 30 12 0 30 12 0 300 0 0 300 0 2 0 0 0 50 30 0 100 30
y (0,0,0)
0 0 300 0 0 300 0 12 30 0 12 30 0 30 100 0 30 50 300 0 0 300 0 0 0 12 30 0 12 30 0 30 50 0 30 100
2.杆端力的坐标变换 （将整体量转换为局部量）
（1）杆件始端（1端）
Fx1 FX 1 cos FY1 sin
α
局部坐标系 中的杆端力
X
Fy1 FX 1 sin FY1 cos
M1 M1
（2）杆件末端（2端） Y
F X1
M1
α
X
Fx 2 FX 2 cos FY 2 sin Fy 2 FX 2 sin FY 2 cos M2 M2
§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系) —— 坐标变换
1.两套坐标系 X （1）局部坐标系
xo y
—— 用于单元分析
α
局部坐标系 中的杆端力
Y
（2）整体坐标系 XOY —— 用于整体分析
F X1
M1
α
α角——从X转向x ，顺时为正。
X
FY1
Y
整体坐标系 中的杆端力
M2 F X2 FY2
坐标变换： 将整体量转化（投影） 为局部量，或者相反。
[T ]1 [T ]T 可以证明：
3.杆端位移的坐标变换 同理：
{}e [T ]{}e
反向转换
{}e [T ]T {}e
4.单元刚度矩阵的坐标变换（局部
e 整体） 即 k k

e

局部坐标下的单元刚度方程： {F}e [k ]e{}e … …① 整体坐标下的单元刚度方程： {F}e [k ]e{}e 杆端力、杆端位移的坐标变换式： {F}e [T ]{F}e … …② {}e [T ]{}e … …③
单元②：
0.0 0.15 0.75 0.75 2.5 0.0 0.0 0.15 0.75 0.75 5.0 0.0
0 0 1
0 0.8 0.6 0 0.6 0.8 0
k ② T k ② T
T
1
3 2
②
3 1 2 6 5 4
②
x
(整体坐标系)
6 5
(局部坐标系)
4
y
结 束
（第二版）作业: 9—1、3（形成总刚）
e e e 将②、③式代入①式，有： [T ]{F} [k ] [T ]{}
[T ]T ，得： [T ]T [T ]{F}e [T ]T [k ]e[T ]{}e 上式两边前乘
[T ]1 [T ]T
[T ]－1[T ]{F}e [T ]T [k ]e[T ]{}e 即 {F}e [T ]T [k ]e [T ]{}e
2 1 0
3
0
0 2 0
0) ( )
[例2] 求整体坐标下的 单元刚度矩阵, A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107Mpa。
（0,0,0）
（1,2,3）
x
1 y
①
2
②
6m
（0,0,0）
解：编号建立坐标如图所示。
单元①：
25.0 0.0 ① 0.0 k 25.0 0.0 0.0
FY1
Y
整体坐标系 中的杆端力
M2 F X2 FY2
统一写成矩阵形式：
Fx1 Fy1 M1 Fx 2 Fy 2 M 2
e
Cos
Sin
0 0 1 0 0 0
0 0 0
Cos
0 0 0
Sin
0
Sin Cos
7.13 9.65 7.13 5.50 0.6 ② 0.45 k 9.65 .137 7.13 5.50 0.6 0.45
0.45 9.65 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
7.13 0.45 7.13 5.50 0.6 0.45 0.6 2.5 9.65 7.13 0.45 7.13 5.50 0.6 0.45 0.6 5.0
第9章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述 单元刚度矩阵（局部坐标系） 单元刚度矩阵（整体坐标系） 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） 刚架的整体刚度矩阵 结构整体结点荷载 计算步骤和算例 竖向杆件坐标变换的简化技巧 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
0 0
0
0
0 0 0 0
0 0
0
Sin Cos
0 1
0
0
FX 1 F Y1 M1 FX 2 FY 2 M2
e
e e 简记为： {F} [T ]{F}
反向转换
{F}e [T ]T {F}e
—— 正交矩阵
其中： [T ] —— 单元坐标转换矩阵
e e e 与 {F} [k ] {} 比较
则有：
[k ] [T ] [k ] [T ]
e T e
—— 单元刚度矩阵变换式
5. 单刚坐标变换步骤
含支座结点
（1）编号、建立坐标系: 对每个单元、结点、结点位移进行编号； 对每个单元分别确定局部坐标方向； 对结构建立一套整体坐标。 （2）对每个单元写出局部坐标下的单元刚度矩阵。 （3）对每个单元写出坐标转换矩阵。 （4）对每个单元求出整体坐标下的单元刚度矩阵。
[k ]e [T ]T [k ]e[T ]
[例1] 求图示结构整体坐标系下的各单元刚度矩阵，杆长5m, A=0.5m2, I=1/24m4, E=3×104Mpa。 3 1 (1,2,3) 解： x ① (0,0,4) 1）编号、建立坐标如图所示。 ② 2）写出各单元的刚度矩阵 2
（局部坐标系）
源自文库
0.69 2.08
k
k
①
0.0 0.0 15.0 15.0 0.0 0.15 0.75 0.0 ② 0.0 0.75 5.0 0.0 k 0.0 15.0 15.0 0.0 0.0 0.15 0.75 0.0 0.75 2.5 0.0 0.0 =36.870 Cos 0.8 Sin 0.6 0.8 0.6 0 0.6 0.8 0 0 0 1 转换矩阵为： T 0
①
6m
0.0 2.08 8.33 0.0 4.17 25.0 0.0 0.0 25.0 0.0 0.0
8m
0.0 0.69 2.08 2.08 4.17 0.0 0.0 0.69 2.08 2.08 8.33 0.0
3
0.0 0.69 2.08 0.0 2.08