三个宇宙速度的推导

速度值叫做第一宇宙速度。
但此时，航天器仍在地球引力场的束缚之下，
要想摆脱地球引力场的束缚，速度必须更大。
航天器从地球表面发射，能够摆脱地球引力
场，永远离开地球所必须具有的最小发射速
度为第二宇宙速度，也叫“脱离速度” 或 “逃
逸速度”。
但此时，航天器仍在太阳引力场的束缚之下， 当发射速度继续增大，可以 使航天器摆脱太 阳的引力束缚，即将从地球表面发射航天器， 不仅使航天器摆脱地球的引力场，还要使航 天器摆脱太阳的引力场所必须具有的最小发 射速度定义为第三宇宙速度。
宇宙速度的推导
主讲：万海松
前言
作为一名物理老师，我们都知道在学习 宇宙航行一课时，书本上直接给出了三个宇 宙速度的大小，并只对第一宇宙速度进行了 推导。当我讲到第二宇宙速度时，班上有一 位学生提出了疑问——v2=11.2km/s是怎么 来的？受这名学生的问题的启发，本节课我 将对三个宇宙速度进行推导 。
推导第一宇宙速度
设地球质量为M，半径为R.人造地球卫星在圆 轨道上运行，质量为m，轨道半径为r.
GMm mv 2
r2
r
v GM r
v 从上式可以看出:
1,
r
卫星离地心越近，它运行的速度就越大。
对于靠近地面的卫星，可以认为此时的 r 近 似等于地球半径R，通过查找数据， Ｍ=5.96×1024kg ，R= 6378.5km可以求出
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牛顿认为，在高山上抛 出一个物体，如果速度足够 大，物体的飞行距离可以很 大，大到等于或大于地球在 周长时，物体将不再落回地 球表面。
地球
由此，将航天器从地 球表面发射升空，绕地球
v3=16.7km/ s V2=11.2km/
s
旋转，它发射的速度必须
地球
大于某个值，我们把这个
V1=7.9km/s
G
Mm R
由动能定理
1 2
mv 2 2

G
Mm R

v2

2GM R
即为第二宇宙速度公式，代入数据即可得
v2 11.2km/ s
推导第三宇宙速度
第三宇宙速度的计算比较复杂，主要分三部计
算：
１、地球轨道上对于太阳的逃逸速度，由上述
推质导量M第和二地宇球宙公速转度轨公道式半v径2 r
2GM r
３、航天器克服地球引力所消耗的能量加上 剩余能量等于航天器的初始动能，即
1 2
mv22

1 2
mv'2

1 2
mv32
解得 v3 v22 v'2 16.7km/ s
即为第三宇宙速度
带入太阳
可得 v0 42.1km/ s ２、地球的公转速度为29.8km/s，如果航天器 发射时的速度方向与地球公转速度方向一致， 则可以节约大量能源，可以用最小的速度发射。
所以有 V ' 42.1 29.8 12.3km/ s
V 为航天器的剩余速度，为航天器克服地球引 ' 力的所需的剩余能量；
GM 6.67 1011 5.89 1024
V

1
R
6.37 106
7.9 103m / s 7.9km / s
推导第二宇宙速度
航天器如果要脱离地球引力，需要克服地球
引力场作功。
由万有引力公式： F G Mm
r2
由R到无穷远积分得,
需克服引力做功

R
G
Mm r 2 dr