数理逻辑发展史
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数理逻辑的起源和发展
数理逻辑的起源和发展
逻辑（logic）一词源于希腊文
logoc，有“思维”和“表达思考的言
辞”之意。
数理逻辑是用数学的方法来
研究推理规律的科学，它采用符号的方
法来描述和处理思维形式、思维过程和
思维规律，进一步的说，数理逻辑就是
研究推理中前提和结论之间的形式关
系，这种形式关系是由作为前提和结论
的命题的逻辑形式决定的，因此，数理
逻辑又称为形式逻辑或符号逻辑。
最早提出用数学方法来描述和处理逻辑问题的是德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibnitz），但直到1847年英国数学家乔治·布尔（George Boole）发表“逻辑的数学分析”后才有所发展。
1879年德国数学家弗雷格（G.Frege）在《表意符号》一书中建立了第一个比较严格的逻辑演算系统，英国逻辑学家怀特海（A.N.Witehead）和罗素（B.Russell）合著的《数学原理》一书，对当时数理逻辑的成果进行了总结，使得数理逻辑形成了专门的学科。
1938年，克劳德•艾尔伍德•香农（Claude Elwood Shannon）发表了著名论文《继电器和开关电路的符号分析》，首次用布尔代数对开关电路进行了相关的分析，并证明了可以通过继电器电路来实现布尔代数的逻辑运算，同时明确地给出了实现加，减，乘，除等运算的电子电路的设计方法。
这篇论文成为开关电路理论的开端。
其后，数理逻辑开始应用于所有开关线路的理论中，并在计算机科学等方面获得应用，成为计算机科学的基础理论之一。
数理逻辑的发展历史
数理逻辑的发展历史数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
1.数理逻辑的发展概况迄今为止，数理逻辑仅仅有三百余年的历史，但他同任何一门科学一样，也经历了一个发生和发展的过程。
他最初是作为“运用数学方法的逻辑”产生的，主要是在数学等演绎科学发展的基础上为适应他们的表述和论证的需要而兴起的，随后数学的发展正式提出并要求认真解决数学的逻辑和哲学基础问题，于是数理逻辑又发展成了“关于数学的逻辑”，并且与数学基础理论相结合，形成了一门数学科学。
具体地讲：数理逻辑的产生和发展大致可分为以下所述的三个阶段。
2.数理逻辑的发展三阶段2.1第一阶段——从17世纪60年代至19世纪80年代此阶段开始采用用数学方法研究和处理形式逻辑。
当时的古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
数理逻辑的先驱莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一种“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
而19世纪中叶，英国数学家和逻辑学家乔治布尔相当成功的建立了一个逻辑演算系统，被视为数理逻辑的第二个创始人。
他所建立的逻辑代数式数理逻辑的早期形式，他主张使用“类”来处理思维形式，判断则表示“类”与“类”之间的关系，他所创立的逻辑是“类”的逻辑，亦称“类的代数”。
他还创立了“命题代数”，而这两种代数是今天数理逻辑的基本部分，即有名的“布尔代数”。
数理逻辑发展史
数理逻辑发展史*数理逻辑主要包括5个部分: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论和模型论.*数理逻辑从十七世纪末叶莱布尼茨(G. Leibniz, 1646-1716, 德国)起, 至今约有三百年历史.*数理逻辑的发展分为三阶段.*第一阶段: 这是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期, 是初始阶段.*莱布尼茨: 1646-1716, 德国*布尔(G. Boole): 1815-1864, 英国*德∙摩根(A. De Morgan): 1806-1876, 英国*E. SchrÖder: 1841-1902, 德国共延续二百年, 其成果是逻辑代数和关系逻辑.*戈特弗里德∙威廉∙莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)莱布尼茨生于莱比锡, 他的母亲是莱比锡大学哲学系副主任的第三个妻子. 虽然他的父亲在他6岁时就已去世, 但年幼的莱布尼茨经过父亲的谆谆教诲, 已经产生了读书和学习的愿望. 在他年轻时,他就自学了拉丁语并钻研了拉丁文的经典著作以及他父亲丰富藏书中的哲学和神学著作. 1661年, 他进入莱比锡大学学习, 在那里他用大部分时间学习哲学.他在1663年取得学士学位, 在1664年取得硕士学位, 但是尽管准备了法学博士的学位论文, 大学却拒绝授予他学位, 也许因为教师中的一些政治问题. 莱布尼茨因此离开了莱比锡并于1667年从纽伦堡的阿尔特多夫大学取得了学位.同时, 莱布尼茨在1663年在耶纳大学的一次短暂停留中接触到了高等数学, 并开始研究他希望是他对哲学最具创造性的贡献的细节问题, 创立一种人类思想的字母表, 即一种将所有基本概念用符号表示并通过符号的组合表示更复杂的思想的方法. 尽管莱布尼茨从未完成这一规划, 他的最初思想包含在他1666年的《论组合的艺术》里, 他在论文中独立推导出了帕斯卡的算术三角形以及其中包含的量的各种关系. 但这一寻找表达思想的适当符号和组合它们的方式的兴趣最终使他发明了我们今天使用的微积分的符号.莱布尼茨结束大学学业后不久, 他首先为美茵茨选帝侯从事外交方面的工作, 而在他以后的生涯的大部分时间他是汉诺威公爵的顾问. 虽然有许多时期他的工作使他极为忙碌, 但他总能找到时间钻研数学思想并在这一领域同遍及欧洲的同事们维持着活跃的通信交流.。
现代逻辑学发展史
从莱布尼茨到
哥德尔
研究生课程
2021年7月31日星期六
逻辑学是一门古老而又年轻的科学
• 古老
形式逻辑已有两千多年的悠久历
史。早在公元前5世纪前后，古代中国、
古印度和古希腊就产生了各具特色的
逻辑学说。中国的名辩、印度的因明
和西方的逻辑。
Page
2
• Aristotle——逻辑学
• Leibnitz——数理逻辑
智能行为对于知识的依赖主要表现在对于知识的利用，即利用已
经具有的知识进行分析、猜测、判断、预测等等。人类利用知识
可以预测未来，由已知的情况推测未知的情况、由发生的事件预
测还未发生的事件等等。
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31
关于知识的表示与推理
• 但是，当人们希望计算机具有智能行为时，除了告诉计算
机如何像人一样地利用知识以外（对于知识进行推理），
所的办公室，就是为了能与哥德尔一起在上下班的路上散
步交谈。物理学家戴森(Freeman Dyson)也说，哥德尔是
同事中间惟一能够与爱因斯坦平等交谈的人。
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19
• 比较一下爱因斯坦和哥德尔，会发现他们存在许多的相同
点。都是在很年轻的时候就做出最重要的成果，1905年，
爱因斯坦26岁，这一年是他的奇迹年。1930年，哥德尔
• Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统,《符
号论》
• 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展
Page
3
• 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古
希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、
证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。
数理逻辑的发展历史和应用
数理逻辑的发展历史和应用数理逻辑是一门研究推理、证明和计算的学科，它通过规定符号和公理系统来描述和分析自然和人工推理过程的规则。
数理逻辑的发展历史可以追溯到古希腊的亚里士多德逻辑，但其现代形式的基础是在19世纪末和20世纪初奠定的。
以下将对数理逻辑的发展历史和应用进行探讨。
1.古希腊的亚里士多德逻辑：亚里士多德逻辑是对自然推理进行形式化的第一个尝试。
他提出了命题逻辑中的“陈述”和“推理”的概念，并发展了一套符号系统来描述和分析逻辑关系。
2. 19世纪的布尔代数和形式逻辑：19世纪逻辑学家乔治·布尔开创了布尔代数，将逻辑符号化为真假值（0和1）。
同时，数学家戈特洛布·弗雷格和乔治·康托尔等人发展了形式逻辑，将逻辑推理的证明过程形式化。
3. 20世纪初的数学逻辑：20世纪初，一些数学家开始将逻辑作为数学的一部分来研究，奠定了数学逻辑的基础。
在这个过程中，罗素和怀特海等人提出了一套符号系统，称为“类型理论”，以解决数学中的自我指涉问题。
4. 20世纪中叶的模型论：模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究了语言和结构之间的关系。
模型论的发展使得可以对逻辑语句进行语义解释，从而使得逻辑符号有了更具体的意义。
5. 20世纪后期的计算逻辑：计算逻辑是一门研究计算过程和计算机科学中的逻辑的学科。
在20世纪后期，随着计算机的发展和应用，计算逻辑得到了快速发展。
一些计算机科学家和数学家提出了一些逻辑系统，如命题逻辑、一阶谓词逻辑、模态逻辑等，用于描述和分析计算过程。
除了数理逻辑的发展历史，数理逻辑在许多领域中都有重要的应用。
1.计算机科学：数理逻辑为计算机科学的算法和程序设计提供了基础。
通过使用逻辑语言和逻辑推理，可以对计算过程进行形式化描述和分析，并证明算法的正确性。
2.。
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势数理逻辑和形式逻辑是现代逻辑学的两个重要分支，它们在逻辑学的发展历程中起到了重要的作用。
本文将从数理逻辑和形式逻辑的起源、发展历程以及未来的趋势等方面进行探讨。
数理逻辑作为一门研究形式推理的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的亚里士多德逻辑。
亚里士多德逻辑是一种基于语义的逻辑体系，主要研究命题和谓词的逻辑关系。
然而，随着数学的发展，人们开始对形式推理进行形式化的研究。
19世纪末，数学家弗雷格提出了一种基于数学符号的形式逻辑系统，这标志着数理逻辑的诞生。
随后，罗素和怀特海等数学家对数理逻辑进行了深入研究，发展了一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为数理逻辑的进一步发展奠定了基础。
形式逻辑作为一门研究逻辑形式的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的柏拉图和亚里士多德。
柏拉图提出了一种基于思维形式的理念论，而亚里士多德则提出了一套基于分类的逻辑系统。
然而，形式逻辑的发展在古希腊时期并不是主流，直到19世纪末，德国哲学家康德提出了一种基于判断形式的形式逻辑，形式逻辑才开始引起人们的重视。
随后，德国哲学家赫尔德等人对形式逻辑进行了深入研究，发展了命题逻辑和谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为形式逻辑的进一步发展奠定了基础。
数理逻辑和形式逻辑在20世纪逻辑学的发展中发挥了重要作用。
20世纪初，数理逻辑和形式逻辑开始逐渐融合，形成了现代逻辑学的主要分支。
数理逻辑通过形式化的方法研究逻辑问题，使逻辑学成为一门精确的科学。
形式逻辑通过研究逻辑形式和推理规则，为逻辑学提供了更加严密的基础。
数理逻辑和形式逻辑的融合使得逻辑学在数学、计算机科学和哲学等领域发挥了重要作用。
未来，数理逻辑和形式逻辑的发展趋势将更加多样化和综合化。
随着人工智能和大数据技术的发展，逻辑推理在人工智能领域的应用将变得越来越广泛。
数理逻辑和形式逻辑将与人工智能技术相结合，推动逻辑学在人工智能领域的发展。
另外，随着计算机科学的发展，形式逻辑的自动化推理技术将得到进一步提升，为逻辑学研究提供更多的工具和方法。
最新关于数理逻辑的解析
一、数理逻辑的起源与发展 二、数理逻辑的基本概念与原理 三、数理逻辑在数学中的应用 四、数理逻辑在其他领域的应用
一、数理逻辑的起源与发展
1. 古希腊的哲学思维
02
01
1. 古希腊哲学思维强调 理性和逻辑，追求真理和 智慧。
2. 古希腊哲学家如苏格拉 底、柏拉图和亚里士多德对 后世哲学产生了深远影响。
。
。
3. 模型论与数学结构
3. 模型论的方法和结果在数学的各个领域都有广泛的应用，
3
如代数、拓扑学、几何学等。
2 1
2. 在模型论中，我们通过建立数学结构的模型来理解和研究 这些结构的性质和特征。
1. 模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究数学结构的抽 象性质和结构之间的关系。
四、数理逻辑在其他领域的应用
03
3. 古希腊哲学思维注重人 类存在的意义和价值，探讨 伦理道德等问题。
2. 中世纪的逻辑学研究
01
1. 在中世纪，逻辑学的研究 主要集中在对亚里士多德的 演绎推理法的解读和推广。
02
2. 中世纪的逻辑学家们开 始尝试将逻辑学应用于法律 、神学等实际问题的解决中 。
03
3. 中世纪的逻辑学研究为后 来的哲学和科学发展提供了 重要的理论基础。
3. 近代数理逻辑的兴起
1. 近代数理逻辑的兴起标志着人类对逻辑思维的深入研究和探索，为现代 科学的发展提供了重要的理论基础。
01
2. 近代数理逻辑的兴起与笛卡尔、莱布尼茨等哲学家的贡献密不可分， 他们开创了符号逻辑的研究方法，推动了逻辑学的发展。
02
3. 近代数理逻辑的兴起使得逻辑学从传统的哲学领域独立出来，成为一门 独立的学科，为数学、计算机科学等领域的研究提供了重要的工具和方法 。
数学史料数理逻辑的发展
数学史料数理逻辑的发展
数学史料——数理逻辑的发展
数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。
比如，非欧几何的建立，促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性，就促进了数理逻辑的发展。
集合论的产生是近代数学发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上的第三次大危机。
这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。
什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。
集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是数学的基础。
1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”，这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。
罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。
那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。
这就产生了矛盾。
悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。
数理逻辑发展史
数理逻辑发展史数理逻辑史本身又可分为三个阶段。
第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。
本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约200年。
第二阶段是数理逻辑的奠基时期。
19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。
从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。
第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。
本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。
有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。
编辑本段开始阶段数理逻辑开始于17世纪后期。
当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
德国唯理论哲学家莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他为实现其设想做了不少具体的工作。
他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合A叽B以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。
莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。
19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。
布尔是代数学家。
19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律,他设想,给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维的演算。
鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。
数理逻辑的概念与发展历程
数理逻辑的概念与发展历程【数理逻辑的概念与发展历程】数理逻辑是一门研究数学和逻辑相互关系的学科，旨在通过符号和形式化的方法研究和分析数学和逻辑的结构、原理和推理规则。
本文将探讨数理逻辑概念的起源、基本原理以及其发展历程。
一、数理逻辑的起源与概念数理逻辑的起源可以追溯到古代数学和哲学思想。
早在公元前4世纪，亚里士多德就开始研究命题逻辑，将数学与逻辑相结合。
然而，真正的数理逻辑学科的奠基者是19世纪的数学家和逻辑学家，如乔治·布尔、弗雷格、罗素和怀特海等。
通过引入符号语言和形式化方法，数理逻辑从传统的自然语言逻辑转向了一种更精确和形式化的表达方式。
数理逻辑的概念主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和高阶逻辑。
命题逻辑研究命题之间的关系，通过逻辑符号和逻辑运算来表示命题和它们之间的推理。
一阶谓词逻辑引入了谓词和量词的概念，能够更加精确地描述现实世界中的对象和关系。
高阶逻辑进一步扩展了一阶谓词逻辑的表达能力，使得我们可以研究更加复杂的数学和逻辑结构。
二、数理逻辑的基本原理数理逻辑的研究建立在一些基本原理之上，其中最重要的原理是真值、推理规则和有效性。
1. 真值：数理逻辑研究命题的真假情况。
每个命题只能是真（True）或假（False）。
通过真值表和真值模型，我们可以确定命题的真值。
2. 推理规则：数理逻辑研究命题之间的推理关系。
通过逻辑连接词（如与、或、非等），我们可以建立命题之间的逻辑联系，并通过推理规则实现逻辑推理。
常见的推理规则有假言推理、析取范式、合取范式等。
3. 有效性：数理逻辑研究推理的有效性和无矛盾性。
一个推理是有效的，如果当所有前提为真时，结论一定为真。
无矛盾性要求一个理论或系统中不存在矛盾的陈述。
三、数理逻辑的发展历程数理逻辑在20世纪得到了广泛的发展和应用。
在数学和计算机科学的推动下，数理逻辑不断拓展了其研究范畴和方法。
早期的数理逻辑主要集中在命题逻辑和一阶谓词逻辑上，研究命题和谓词的形式化表示和推理规则。
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
数理逻辑发展史PPT
01
1847年，发表了《逻辑的数学分析， 论演绎推理演算》 建立了“布尔代数”，并创造一套符 号系统，利用符号来表示逻辑中的各 种概念。
布尔——英国数学家
麦柯尔
用字母及字母的组合表示整个命题 沿用流行的符号把“A或B”表为A+B
使用相等记号来表示命题中的系词
耶芳斯
奠基时期
弗雷格，德国人，数学家，逻辑学家 1879年的《表意符号》引入和使用约束变元 第一次把谓词演算形式化， 完备地发展了命题演算
• 数字逻辑、计算机组成系统设计 • 软件验证、安全攸关软件设计
Thanks——————
——————————————
历史上第一个的关于逻辑规律的公理系统 接近于完成数理逻辑整个基础
02
集合论创立
康托尔创立了一门崭新的学科——集合论
外延原则与概括原则
外延原则：一个集合由它 的元素唯一地确定。 概括原则：每一性质产生 一个集合
具有伟大历史意义的证明
关于有理数集可数性的证 明 关于代数可数的证明 关于实数集不可数的证明
史前时期
斯多阿学派等命题逻辑
古希腊的一个哲学学派 创造了命题逻辑
传统逻辑也应运而生
欧布理得发现了说谎者悖论：
---一个说谎的人说“我正在说谎” ---他是在说谎，还是说真话？ ---这一悖论现在归属于语义悖论
初创时期
由莱布尼茨创建 德国哲学家和数学家。 建立一种理想的通用语言进行推理。
康托尔创立的集合 论是数学和数理逻 辑发展史上惊天动 地的伟业，开辟了 崭新的数学领域
Georg Cantor 1845-1918
结论
数理逻辑是计算机专业的理论基础；
数理逻辑是重要的理论工具
简述逻辑学发展史
简述逻辑学发展史
逻辑学发展史可以追溯到古希腊时期，最早的逻辑学家可以追溯到公元前4世纪的亚里士多德。
亚里士多德是逻辑学的奠基人之一，他开创了形式逻辑，并提出了诸多逻辑原理和概念，如分类学、命题逻辑和演绎推理等。
在公元1至18世纪的中世纪时期，逻辑学受到了宗教和神学的影响。
逻辑学逐渐转向了对于神圣真理的探求，例如论证上帝的存在等问题。
逻辑学被称为“苏格拉底学派”。
19世纪时，逻辑学进入了现代化的阶段。
英国哲学家约翰·斯图尔特·密尔和德国哲学家乔治·威廉·弗里德里希·黑尔都做出了对逻辑学的重要贡献。
密尔发展了归纳逻辑和利益逻辑等概念，黑尔则提出了逻辑的范畴论和辩证逻辑的概念。
20世纪是逻辑学发展的关键时期。
数学逻辑学家如戴维·希尔伯特、吴尔夫冈·泡利、阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德以及诗人-数学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯等人开创了数理逻辑学。
他们通过符号逻辑的运用，使得逻辑学和数学紧密结合，为逻辑学的形式化提供了一种精确的方法。
此外，还有一些其他的逻辑学派别和学派，如直觉主义逻辑、现象逻辑、模态逻辑和计算逻辑等。
这些学派在近现代进一步丰富和发展了逻辑学的理论和方法。
总的来说，逻辑学发展经历了从古希腊到现代的演变过程，逐
渐发展出了一系列的概念和方法，使得逻辑学成为一门独立的学科，并且在数学、哲学和计算机等领域中发挥着重要的作用。
数理逻辑发展简史
DeMorgan 1806-1871
计算机学院
初创时期
布尔—英国数学家
1847年，发表了《逻辑的数学分 析，论演绎推理演算》，1854年 出版了《思维法则的探讨，作为 逻辑与概率的数学理论的基础》 建立了“布尔代数”，并创造一 套符号系统，利用符号来表示逻 辑中的各种概念，这是一种新的 逻辑。 计算机学院 建立了一系列的运算法则，利用 代数的方法研究逻辑问题，初步 奠定了数理逻辑的基础。
计算机学院
5
史前时期
古代希腊最伟大的哲学家，古典形式 逻辑的创始人； 在命题中引进了主谓项的变元，建立 了三段论的理论； 在逻辑史上第一次应用了形式化、公 理化的的演绎系统，开创了逻辑的形 式化研究； 构造了模态三段论系统，开创了模态 逻辑的研究； 在《工具论》中，总结了正确的推理 计算机学院 方法，建立了形式逻辑；在《分析篇 》提出公理学理论的基础。
计算机学院
2
数理逻辑是什么？
狭义数理逻辑
用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础的学科。
广义数理逻辑
用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论。
狭义数理逻辑包括五个部分
逻辑演算 模型论 集合论 递归论 证明论
计算机学院
计算机学院
3
数理逻辑发展2种主要途径
借助数学的方法改进传统逻辑不足；
George Boole 1815-1864
计算机学院
12
初创时期
耶芳斯
使用相等记号来表示命题中的系词 布尔代数引入相容的或运算。
文恩（英国逻辑学家）
用图解法表示布尔代数 1881年提出符号逻辑
Stanley Jevons 1835-1882
1716)
数理逻辑史简析
中国的哲学与数学
• 《九章算术》成书约在东汉初期( 约公元1 世 纪), 作为教材在民间流传. 魏晋时期的刘徽在 魏陈留王景元四年( 公元263 年) 完成了《九 章算术》注
• 在推求圆周率的过程中, 刘徽巧妙地导出一个 普遍公式, 从正六边形一直推求至九十六边形, 得到圆周率在3.14附近(徽率, 阿基米德数)
直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 数学对象是人靠智 力活动构造出来的
• 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 因为那 需要无穷的时间
• 直觉主义认为, 数学的对象, 必须能像自然数那
(2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ (4) 数学的基础是什么 ？
逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者
• 自然数是客观存在的. 在逻辑的基础上建立算 术, 进而建立整个数学, 以证明数学是逻辑学 的一个分支
理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑: 一切用特制符号和数学方法来 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 逻辑
• 形式逻辑自亚里士多德起到17 世纪后期 Aristotle (前384-前322, 希腊) 已有2000 余年的历史
Russell (1872-1970, 英国)
数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 这一想法遭到严重的打击
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数理逻辑发展史数理逻辑史本身又可分为三个阶段。
第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。
本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约200年。
第二阶段是数理逻辑的奠基时期。
19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。
从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。
第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。
本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。
有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。
编辑本段开始阶段数理逻辑开始于17世纪后期。
当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
德国唯理论哲学家莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他为实现其设想做了不少具体的工作。
他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合A叽B以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。
莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。
19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。
布尔是代数学家。
19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律,他设想,给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维的演算。
鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。
他给与代数以四种解释，其中一种为类的演算，两种是命题演算，还有一种是概率理论。
类演算所特有的规律为x2=x。
命题演算中的命题变元只取0或1为值，此系统可被看作为二值代数，他就用此二值代数作为推导的工具。
布尔原来的系统有不少缺点，如有些代数公式没有解释以及把加法解释为不相容的逻辑合等等。
布尔代数后来得到了改造和发展。
19世纪后期德国的E.施罗德(1841～1902)把它改进为一演绎系统。
20世纪以来，布尔代数已发展成为一个结构极为丰富的代数理论。
布尔的贡献是在逻辑史上首先提出了一个尽管还有缺点的逻辑演算。
关系推理虽然早就为从亚里士多德起的古典逻辑学家所发现，关系逻辑却没有得到重视和研究。
德摩根是历史上第一个探讨这种推理理论的学者。
他的兴趣原在于推广古典逻辑。
他认为，古典三段论的系词“是”字实际上是一个传递关系，每一传递关系都可以使类似古典三段论的推理有效。
因之，他进而研究关系的种类和性质,使用一些他本人创造的符号,发现了一些有效的关系推理形式。
他是一位数学家,他认为在代数学中,关系是极为重要的。
德摩根所得的具体结果不算多，他的历史功绩在于，突破了古典形式逻辑“一主项一谓项”的局限，提出了关系逻辑，为后人的探讨开辟了道路。
编辑本段奠基阶段19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行理论总结后，感到数学科学单纯凭借几何或物理直观以及一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性和系统性，对基本理论、证明方法和数学性质做深入的探讨。
70年代开始出现对逻辑有重要意义的发展，主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。
数理逻辑史现代演绎方法、形式化和公理系统的发展史。
以演绎方法为中心内容的形式逻辑已有2000多年的历史。
最早从形式结构来论述演绎推理的著作是古希腊亚里士多德的《工具论》。
自亚里士多德起至17世纪后期是形式逻辑的古典阶段。
古典形式逻辑包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用一些特有符号。
它没有探讨关系逻辑和公理系统的逻辑性质。
自17世纪后期G.W.莱布尼茨起是数理逻辑的萌芽和发展时期，是形式逻辑的现代阶段。
数理逻辑使用大量的特制表意符号，在不同部分应用不同程度的数学方法。
它包含着古典形式逻辑而突破其局限性。
数理逻辑始则联系数学的实际，继而又适应其他学科的需要，在近百年内取得了崭新而飞跃的发展。
古典形式逻辑是演绎法研究的前数理逻辑时期。
数理逻辑史本身又可分为三个阶段。
第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。
本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约200年。
第二阶段是数理逻辑的奠基时期。
19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。
从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。
第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。
本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。
有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。
开始阶段数理逻辑开始于17世纪后期。
当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。
数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。
人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。
德国唯理论哲学家莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。
他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。
一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。
莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。
他为实现其设想做了不少具体的工作。
他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合AB以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。
他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。
他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。
莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。
19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。
布尔是代数学家。
19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律,他设想,给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维的演算。
鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。
他给与代数以四种解释，其中一种为类的演算，两种是命题演算，还有一种是概率理论。
类演算所特有的规律为=x。
命题演算中的命题变元只取0或1为值，此系统可被看作为二值代数，他就用此二值代数作为推导的工具。
布尔原来的系统有不少缺点，如有些代数公式没有解释以及把加法解释为不相容的逻辑合等等。
布尔代数后来得到了改造和发展。
19世纪后期德国的E.施罗德(1841～1902)把它改进为一演绎系统。
20世纪以来，布尔代数已发展成为一个结构极为丰富的代数理论。
布尔的贡献是在逻辑史上首先提出了一个尽管还有缺点的逻辑演算。
关系推理虽然早就为从亚里士多德起的古典逻辑学家所发现，关系逻辑却没有得到重视和研究。
德摩根是历史上第一个探讨这种推理理论的学者。
他的兴趣原在于推广古典逻辑。
他认为，古典三段论的系词“是”字实际上是一个传递关系，每一传递关系都可以使类似古典三段论的推理有效。
因之，他进而研究关系的种类和性质,使用一些他本人创造的符号,发现了一些有效的关系推理形式。
他是一位数学家,他认为在代数学中,关系是极为重要的。
德摩根所得的具体结果不算多，他的历史功绩在于，突破了古典形式逻辑“一主项一谓项”的局限，提出了关系逻辑，为后人的探讨开辟了道路。
奠基阶段19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行理论总结后，感到数学科学单纯凭借几何或物理直观以及一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性和系统性，对基本理论、证明方法和数学性质做深入的探讨。
70年代开始出现对逻辑有重要意义的发展，主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。
关起了一系列争论。
1900年巴黎国际数学会上希尔伯特提出著名的23个问题，其中，第1个就是求证康托尔集合论的连续统假设和良序定理；第2个是实数公理系统的一致性问题，并且认为公理的一致性可以说明实数系具有数学的存在。
1904～1906年，J.H.彭加勒在评论法国数学家L.古杜拉时主张没有实无穷，数学归纳法是较逻辑更为根本的方法，因而数学不能归结为逻辑。
1904年E.策尔梅洛(1871～1953)根据选择公理证明了良序定理，结果引起了对选择公理的广泛注意，同时也引起了几位著名法国数学家E.鲍瑞尔(1871～1956)、H.勒贝格(1875～1941) 和R.贝尔(1874～1932)关于无穷多个的，特别是不可数个任意选择的可接受性的讨论。
1907年荷兰数学家L.E.J.布劳维尔在博士论文《数学基础》里表示不承认康托尔集合论，也不同意把数学归结为逻辑。
1908年，他在逻辑史上第一次提出排中律不可靠的论点。
在论文《直觉主义和形式主义》(1912)里，他进一步阐述了直觉主义的思想。
这些史实表明当时争论的重点在于：①有没有和如何认识实无穷，②什么是数学的存在，③数学应建筑在什么基础于数学基础的争论20世纪初期，集合论、公理方法和逻辑演算这三方面都继续发展，同时也引。
哥德尔定理和过渡时期希尔伯特方案反映了30年代前数学基础的争议，目的是用有穷方法研究包括逻辑和古典数学的形式系统的元逻辑性质，特别是一致性问题。
在1928～1936年内主要通过哥德尔的工作，正面或反面地得到了几个最重要基础理论的解答。
在方法论方面数学地精确地描述了直观的机械过程，推动了递归函数论的研究，为数理逻辑发展的第三阶段准备了条件。
哥德尔的完全性定理1928年希尔伯特和W.阿克曼(1896～1962)合著的《理论逻辑基础》第一版首先把一阶逻辑分离出来并证明其一致性。
同年希尔伯特在波劳亚数学会上提出逻辑演算的完全性问题。
哥德尔于1929年秋完成并于1930年发表了博士论文的修改稿《逻辑谓词演算公理的完全性》，其主要内容是证明：一阶谓词演算的有效公式皆可证。
同时也证明了紧致性定理和勒文海姆-司寇伦定理（见司寇伦定理）。
他在证明里使用了J.克尼希无穷引理和古典排中律。
两个不完全性定理1930年夏，哥德尔着手考虑数学分析的一致性。
与希尔伯特不同，他想分为两个步骤进行，先用有穷方法证明数论一致，然后再用数论来论证分析的一致性。
在数论方面他很快得到决定性结果，于1931年发表《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文，此文包括两个著名定理。