digital_filter

k 1 k 0
L
L
A( ) a[ k ] cos k
k 0
L
A( 2 π )
A( )
A( ) A ( ) A( )
A( 2 )
A ()关于0和 点偶对称
A() 4
例：h [k]={1,2, 1}, M=2
H ( e j ) e j 4 cos 2 / 2
k 0
A (0)=0
不能用于低通滤波器的设计
A( 2 π ) A( )
例：h[k]=( [k]- [k])/2
H ( e j ) jsin(0.5 ) e j 0.5
A ( )
1
0


线性相位FIR滤波器频率响应一般形式可写为
H ( e j ) e j( - 0.5 M ) A( )
3 0 1 2
4
2 0 1
3 4
M=4 奇对称
M=3 奇对称
线性相位系统的频域特性
1) 1型: (h[k]=h[Mk], M为偶数) 例：M=4 , h[k]={h[0], h[1], h[2], h[1], h[0]}
H ( e j ) h[ 0](1 e j 4 ) h[1](e j e j 3 ) h[ 2]e j 2
问题：已知Hd H ( z ) h[ k ] z k 使其频率响应逼近Hd(ej)。k 0 (ej)，设计
M
hd [ k ]
1 2



H d ( e j ) e jk d
是实偶对称的。
hd [k]一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。
方案1：设Hd (ej)是实偶函数， 则hd [k] 设 M=2K, w[k]=RN+1[k]
类型
表 5-1 四种线性相位 FIR 滤波器的性质 I II III 偶
偶对称 偶对称 偶对称 2 0 任意 任意 LP,HP,B P,BS 等
IV
阶数 M
h[k]的对称性 A()关于的对称性 A()关于的对称性
奇
偶对称 偶对称 奇对称 4 0 任意 0 LP, BP
偶
奇对称 奇对称 奇对称 2 0.5 0 0 微分器,Hilbert
h [k]= hd [kK]RN+1[k] h [Mk]= hd [MkM/2] RN+1 [k] = hd [(kN /2)] RN+1 [k] = hd [kM]RN+1[k] = h[k]
例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近 截频为c的理想低通。 解：设
1 c H d (e ) 0 其他
记： ( M 1) / 2 L
A( ) 2 h[ L k ] cos[(k 0.5) ]
L
b[ k ] cos[(k 1/ 2) ]
k 0 L
A ( )= 0
L k 0
不能用于高通、带阻滤波器的设计
k 0
A( 2 ) b[ k ] cos[(k 1/ 2)( 2 )] b[ k ] cos(2k ( k 1/ 2) ) A( )
k 0 L
H ()关于 = 点奇对称
例：h[k]=(
[k]+ [k1])/2
H ( e j ) e j / 2 cos( / 2)
A ()
1
0


3)III型: h[k]= h[Mk], M为偶数 M=4 h[k]={h[0], h[1], 0, h[1], h[0]}
c
c

e
j0.5 M
e
jk
d
c
Sa c ( k M / 2 )
h[ k ]
c
Sa c ( k M / 2) , 0 k M
例：理想数字微分器的频率响应为 HDIF(ej)=j ,|| 试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数 字微分器。 解：设理想微分器的频率响应为 HDIF(ej)= ej(0.50.5M) , ||
I型和II: =0 ; III型和IV:=/2。
h [k]= hd [k]RN+1[k]
例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近 截频为c的理想低通。 解：设
e j 0.5 M 0 c H d ( e j ) 其他 0
hd [ k ]
1 2
0
2
2) II型:( h[k]=h[Mk]), M为奇数
M=3 h[k]={h[0], h[1], h[1], h[0]}
H (e j ) h[0](1 e j 3 ) h[1](e j e j 2 )
2h[0]e j1.5 cos( .5) 2h[1]e j1.5 cos 0.5 1
k 0
M
k
M阶(长度N=M+1) 的FIR数字滤波器
bk k 0,1,, M h[k ] 0 其它
FIR滤波器的特点
1)h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。 2)容易设计成线性相位 3)可利用FFT实现 4)运算量比IIR大
FIR滤波器设计指标
ej
p p 过渡带 通带
• h[k]是实的,
z k rk e
1 k
j k
, ,
rk e
jk
,
r e
j k
rk1e j
k
1)
Im(z)
Re(z)
H 1 ( z ) 1 az
1
bz
2
az
3
z
4
2)
Im(z)
Re(z)
H 2 ( z ) 1 az 1 z 2
3)
第7章 FIR数字滤波器的设计
线性相位FIR滤波器的性质 窗函数法设计FIR滤波器 频率取样法设计线性相位FIR滤波器 线性相位FIR滤波器的优化设计
线性相位FIR滤波器的性质
•线性相位系统的时域特性
•线性相位系统的频域特性
•线性相位系统H(z)的零点分布特性
FIR滤波器的定义
H ( z ) bk z
j
1 hd [k ] 2
c
c

1 e
jk
c d Sa ( c k )
h[ k ] hd [ k M / 2]
c
Sa c ( k M / 2 , 0 k M
方案2：设Hd (ej)为
Hd (ej) =Ad()exp(j( 0.5M+
Im(z)
Re(z)
H 3 ( z ) 1 az
1
z
2
4)
Im(z)
Re(z)
H 4 (z) 1 z
1
•任意线性相位系统是上述四种子系统的组合
•h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。
四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点：
(1)I 型FIR滤波器(M为偶)： 在zk=1和zk= 1无零点或者有偶数个零点。 (2)II 型FIR滤波器(M为奇)： 在zk= 1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。
H ( e j ) h[ 0](1 e j 4 ) h[1](e j e j 3 ) 2 jh[ 0]e
j2
sin( 2 ) 2 jh[1]e
j2
sin
A( ) 2h[ 2 1]sin 2h[ 2 2]sin(2 )
A( ) 2h[1] cos(0.5 ) 2h[0] cos(1.5 )
cos(0.5) 的周期= 4 A () 的周期= 4 cos(1.5) 的周期= (4/3)
A( ) 2h[1] cos(0.5 ) 2h[0] cos(1.5 ) A( ) 2h[1 0] cos[(0 0.5) ] 2h[1 1] cos((1 0.5) )
记： M / 2 L
L L
A( ) 2 h[ L k ]sin( k ) c[ k ]sin( k )
k 1 k 1
A( 2 ) A ( )
A( ) A( )
A ()关于0和 点奇数对称 A (0)= A ()=0
不能用于高通和低通滤波器的设计
hDIF [ k ]
j 2π
π
π
e j ( k 0.5 M ) d
M为偶, k 0.5 M M为偶, k 0.5 M M为奇
( 1) ( k 0.5 M ) , k 0.5 M 0, ( 1) ( k 0.5 M 0.5 ) ( k 0.5 M ) 2
A( ) 2 h[1 0]sin ( 0 0.5) 2 h[1 1]sin (1 0.5)
记： 1) / 2 L L (M A( ) 2 h[ L k ] sin(( k 1 / 2 ) )
k 0 L
d [ k ] sin(( k 1 / 2 ) )
2 h[ 0]e j 2 cos 2 2 h[1]e j 2 cos h[ 2]e j 2
A( ) h[ 2] 2h[ 2 1] cos 2h[ 2 2] cos 2
L M /2
A( ) h[ L ] 2 h[ L k ] cos k a[ k ] cos k
(3)III 型FIR滤波器(M为偶)：
在zk=1和zk= 1有奇数个零点。 (4)IV 型FIR滤波器(M为奇)：
在zk=1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。
窗函数法设计FIR滤波器
•最小积分平方误差设计FIR滤波器
•吉伯斯(Gibbs)现象
•常用窗函数
最小积分平方误差设计FIR滤波器
例：h[k]=( [k] [k])/2
H ( e j ) jsin( ) e j
A ( )
1
0


4) IV型: h[k]= h[Mk], M 为奇数 M=3 h[k]={h[0], h[1], h[1], h[0]}
H ( e j ) h[ 0](1 e j 3 ) h[1](e j e j 2 ) 2 jh[ 0]e j1.5 sin(1.5 ) 2 jh[1]e j1.5 sin 0.5
阻带
s

p
s


严格线性相位定义
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
若()= 则称系统H(z)是严格线性相位的。 例： 单频信号exp(j0 k)通过线性相位(LTI)系统的响应
T {e j k } H ( e j ) e j
0 0
A()
A()








M
M9
积分平方误差定义为
2 1 π j j π H d (e ) H (e ) d 2π 2
由Parseval等式， 2可表示为

2
k

M

hd [k ] h[k ]
2

可选择
k

1
hd [ k ] hd [ k ] h[ k ]
0
( k )
广义线性相位定义
H ( e j ) A( ) e j ( )
A ()称为幅度频函数
线性相位系统的时域特性
定理：H ( z ) bk z k 为线性相位的充要条件为h[k]=h[Mk]
k 0 M
0
1
2பைடு நூலகம்
3
4
0
1
2
3
4
M=4 偶对称
M=3 偶对称
奇
奇对称 奇对称 偶对称 4 0.5 0 任意 微分器,Hilbert
A()的周期

A A 可适用的滤波器类型
变换器
变换器，HP
线性相位系统H(z)的零点分布特性
h[ k ] h[ M k ]
H ( z ) z M H ( z 1 )
•z=0不可能有系统的零点 •zk是系统的零点，则zk1也是系统的零点。