导数--复合函数的导数练习题

复合函数的导数

如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且

(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'

或记作 x y '=u

y '•x u ' 熟记链式法则

若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则

x y '=)()(x u f ϕ''

若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则

x y '=)()

()(x v u f ψϕ''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成

的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。

函数4

)

31(1

x y -=的导数. 求51x

x

y -=的导数． （1）y=

x 21-cos x （2）y=ln (x +2

1x +)

设)1ln(++=x x y 求 y '.

1．求下函数的导数.

（1）cos 3

x

y = （2）y =

(1)y =3

2)12(1-x (2)y =41

31+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2

)

⑵2

sin x y = ⑷)13sin(ln -=x y ．

(1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）1

22sin -=

x x

y (3))2(log 2-x a

2.求)132ln(2

++x x 的导数

9. 函数y =x sin （2x －

2π）cos （2x +2π

）的导数是 。 10. 函数y =)3

2cos(π

-x 的导数为 。

11. ___________,2)(,ln )(00'===x x f x x x f 则。

已知函数⎩⎨⎧+≤+-=0

),1(ln 0

2)(2＞x x x ，x x f ，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是

（A ）](0，∞- （B ）](1，∞- （C ）[]12，- （D ）[]02，-

已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则

a 的取值范围是

A ),2(+∞

B ),1(+∞

C )2,(--∞

D )1,(--∞ 设

函

数

x

be x ae x f x x

1

ln )(-+

=，曲线)(x f y =在点

处的切线

))1(,1(f 2)1(+-=x e y (I)求b a ,; (II)证明：1)(>x f

已知函数)(x f 满足21

2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=-

（1） 求)(x f 的解析式及单调区间； （2） 若b ax x x f ++≥2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。

已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x +=若曲线)(x f y =和曲线

)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；

（Ⅱ）若x ≥－2时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.

已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2

kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--n

i n i 12)12ln(1

22

（*N n ∈）.

9、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞

()ln()f x x x a =-+11

()101x a f x x a a x a x a

+-'⇒=-

==⇔=->-++

()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-，得 1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=

（Ⅱ）设2

2()()ln(1)(0)g x kx

f x kx x x x =-=-++≥

则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥= …………（*）

(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>， 1(221)

()2111

x kx k g x kx x x +-'=-+

=++ ①当1

210()2k k -<<时，

0012()00()(0)02k

g x x x g x g k

-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾

②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）， ∴实数k 的最小值为

1

2

（Ⅲ）由（2）得：2

1ln(1)2

x x x -+<对任意的0x >值恒成立

取2(1,2,3,,)21x

i n i =

=- ：2

22[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<--

当1n

=时，2ln 32-< 得：=1

2

ln (2+1)<221

n

i n i --∑

当2i ≥时，

2

211

(21)2321

i

i i <----