2012年第十七届华杯赛小高组初赛详解
2012年—2015五届华杯赛小高年级组试题及标准答案
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A(小学高年级组)
一、填空题(每小题10分,共80分）
1.如右图,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A，B，C，D处各有一根木桩,且AＢ=ＢC=ＣD＝3米.现用长４米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在处的木桩上.
１×9+２×8+３×7+…+9×1=165
二、填空题(每小题１0分,满分４0分)
7.将乘积 化为小数，小数点后第20１３位的数字是___＿__＿_.
【答案】9
【解析】
循环节有5位,201３≡3(mod5）,第2０13位和第3位一样，是9.
８.一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬,它每向上爬３米，因为井壁打滑，就会下滑１米,下滑１米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点1７分时,青蛙第二次爬至离井口3米之处,那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为＿____＿_＿分钟.
【答案】
【解析】设三个进水口的效率分别是ａ、b、c，出水口的效率为m;
依题意有
，得
所以同时打开三个进水口需要 ＝ 小时
１0.九个同样的直角三角形卡片，用卡片的锐角拼成一圈，可以拼成类似右图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有_______＿种不同的可能值.（右图只是其中一种可能的情况）
4.某日,甲学校买了56千克水果糖，每千克8.０6元.过了几日,乙学校也需要买同样的56千克水果糖,不过正好赶上促销活动,每千克水果糖降价0.５6元,而且只要买水果糖都会额外赠送5%同样的水果糖.那么乙学校将比甲学校少花()元.
（A)2０(B)51.3６（C）31.36(D)1０.36
华杯赛初赛备考讲义含解析(小学中年级组)
华杯赛初赛备考讲义含解析（小学中年级组）第一节几何精讲考点概述几何考点一、基本面积公式；（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形）二、割补法计算面积；三、等积变换；四、周长的计算；（基本公式、平移法、标向法）五、角度的计算；（多边形内角和、外角和、角度的综合计算）六、勾股定理与弦图；七、立体几何认知．（展开图、三视图）真题精讲例题1. 如右图，一张长方形的纸片，长20 厘米，宽16 厘米．如果从这张纸上剪下一个长10 厘米，宽5 厘米的小长方形，而且至少有一条边在原长方形的边上，那么剩下纸片的周长最大是（）厘米（2010 年15 届）（A）72 （B）82 （C）92 （D）102【答案】C．【解答】因为要求剪下的这个长方形至少有一条边在原长方形的边上，所以可以分以下三种情况讨论：（1）小长方形的两条边都在原长方形的边上，如下图：此时，剩下纸片的周长为：(20+16) ×2 = 72（厘米）．（2）只有小长方形的长边在原长方形的边上，如下图：此时，剩下纸片的周长为：(20+16)×2 + 5×2 = 82（厘米）．（3）只有小长方形的短边在原长方形的边上，如下图：、此时，剩下纸片的周长为：(20+16) ×2 + 10×2 = 92（厘米）．所以剩下图形的周长最大是92 厘米．故选C．例题2. 九个同样的直角三角形卡片，拼成了如右图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度．（2013 年18 届）【答案】54．【解答】图中每个直角三角形，除直角外，还有两个锐角，一大一小，汇集在中心的是7 个小角和2 个大角．注意：大角+小角= 90︒，而在中心的9 个角之和为360︒，即7 个小角+2 个大角= 360︒，即：5 个小角+（2 个大角+2 个小角）= 360︒．所以：5 个小角+ 180︒= 360︒，即：5 个小角= 180︒，一个小角= 36︒，较大锐角= 90︒- 36︒= 54︒．练习1. 北京时间16 时，小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4 个钟表（如下图），其中最接近16 时的是（）．（2012 年17 届）（A）（B）（C）（D）【答案】D．【解答】注意镜子里面和实际情况是左右对称的，因此A 实际是20 点5 分，B 实际是19 点50 分，C 实际是16 点10 分，D 实际是15 点55 分，因此选D．练习2. 把一块长90 厘米，宽42 厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是厘米．（2012 年17 届）【答案】105；2520．【解答】要想全部剪成正方形，那么正方形的边长必须满足：是90 和42 的公约数（中年级表述：90 和42 除以边长能够除尽）．那么满足条件的边长有1、2、3、6，要让正方形尽量少，那么边长尽量大，为6，这个时候长被分成了90÷6=15 格，宽被分成了42÷6=7 格，所以最少能剪出15×7=105 块．每块正方形的周长是6×4=24 厘米，所以所有正方形周长和为24×105=2520 厘米．练习3. 如右图，一个正方形被分成了4 个相同的长方形，每个长方形的周长都是20 厘米．则这个正方形的面积是（）平方厘米．（2013 年18 届）【答案】64．【解答】设每个长方形的宽为a，则长为4a，得到等式：(4a+a)⨯ 2 =20 ．可知：a =2，4a = 8．所以，正方形的面积为8×8=64（平方厘米）．练习4. 如下图，将长度为9 的线段AB 九等分，那么图中所有线段的长度的总和是．（2013 年18 届）【答案】165．【解答】以A 点为线段左端点的线段长之和为：S1=1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ；从A 点算起第二个点为线段左端点的线段长之和为：S2=1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ；……从A 点算起第八个点为线段左端点的线段长之和为：S8=1+ 2 ；从A 点算起第九个点为线段左端点的线段长之和为S9=1 ．于是：S =S1 +S2+S3+ +S9= 9 ⨯1 + 8 ⨯ 2 + 7 ⨯3 + 6 ⨯ 4 + 5 ⨯5 + 4 ⨯ 6 + 3 ⨯ 7 + 2 ⨯8+1⨯9 =165例题3. 现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4 厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．（2014 年19 届）（A）2（B）8（C）12（D）4【答案】D．【解答】根据题意，长方形的周长比正方形的周长多4 厘米，宽比正方形的边长少2 厘米，那么，就要求长方形的两条长总长增加8 厘米，也就是每一条长比正方形的边长多4 厘米．例题4. 右图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）（A）56 （B）44 （C）32 （D）78（2014 年19 届）【答案】A．【解答】用竖直线和水平线将正方形分割为如左图所示的多个长方形，中间长方形的面积是4 ⨯ 3 = 12 ，所以，阴影部分的面积为(10 ⨯10 -12) ÷ 2 +12 = 56 ．所以，选A．练习5. 如图1 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M 和BC 的中点N，减掉△MBN 得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是．（2006 年11 届）DNA【答案】D．【解答】注意对折方向，可以判断B 点是原正方形中心，因此是中心被掏空的形状，再注意减掉的形状是三角形，也就是展开后，横竖四等分以后，每一部分缺的都是三角形，结合这两点，答案为D．1 AB C 2 D练习6. 正方形 ABCD 与正方形 CEFG 水平放置组成如图所示的组合图形，已知该组合图形的周长是 56厘米，DG 长 2 厘米，那么，图中阴影三角形的面积是平方厘米．AD GFBC E【答案】8．【解答一】如下图所示， AI = AH = BJ = DG = 2 厘米，而六条小正方形的边长之和是：32 - ( A I + AH + BJ + DG ) = 24 ，每条小正方形的边长是 24 ÷ 6 = 4 厘米，那么，小正方形的面积是4 ⨯ 4 = 16 平方厘米，根据三角形的等积变换可知，阴影三角形的面积是小正方形面积的一半，即 16 ÷ 2 = 8 平方厘米．A IDHGFBJ C E【解答二】将大正方形的一条边（▲）与小正方形的一条边（△）看成一组，那么，每组的长是(32 - 2) ÷ 3 = 10 厘米，而大小正方形的边长之差是 2 厘米，根据和差公式可得，大正方形的边长是 6厘米，小正方形的边长是 4 厘米，进而可求，阴影三角形的面积是 8 平方厘米．A▲DG△F▲△B▲ C △ E练习7. 如图，在一个正方体的表面上写着 1 至 6 这 6 个自然数，并且 13 对着 4，2 对着 5，3 对着 6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面12展开图如下右图所示．如果只知道 1 和 2 所在的面，那么 6 写在字母的位置上．【答案】A ．【解答】注意到，展开图中的形状，黑色两个面在合上后是相对的，展开图中的形状，黑色两个面在合上后也是相对的，所以1 和C 相对，C=4，B 和2 相对，B=5，那么A 要么是3 要么是6，现在观察1、A、B 这三个面，它们折叠时，如果把1 放正面，A 放上面，那么B 就在右侧，为2，矛盾，因此当1 放正面时，A 应该在下面，为6．练习8. 如图一个小正方形和4 个周长为32 cm 的相同的长方形拼成一个大正方形，那么大正方形的面积是cm2 ．【答案】256．【解答】注意到，大正方形的边长刚好是长方形的长＋宽，为16，所以面积等于16×16=256 平方厘米．第二节应用题精讲考点概述应用题考点一、常考应用题类型1. 画线段图帮助解题2. 列方程解应用题二、行程问题：1. 行程问题常见类型（相遇问题，追及问题，火车问题，流水行船问题，环形路线问题，多次相遇与追及问题等）2. 画线段图（形象直观地呈现题意，便于对题目条件进行分解与组合，挖掘隐含条件）3. 方程与比例解行程问题真题精讲例1．小虎在19×19 的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45 枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（）枚棋子．（2012 年17 届）（A）285 （B）171 （C）95 （D）57【答案】A【解析】加上45 枚棋子之后，还能摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵，说明不变的这条边上的棋子数能整除45，要使总棋子数尽量多，则这条边要尽量大，最大为15，所以最多用了15 19=285 枚棋子．例2．幼儿园的老师给班里的小朋友送来55 个苹果，114 块饼干, 83 块巧克力．每样都平均分发完毕后，还剩3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有位小朋友．（2013 年18 届）【答案】26【解析】可以列出除55 余3 的自然数：55÷4=13……3；55÷13=4……3；55÷26=2……3；55÷52=1……3；然后列出除114 余10 的自然数：114÷13=8……10；114÷26=4……10；114÷52=2……10；114÷104=1……10；再列出除83 余5 的自然数：83÷13=6……5；83÷26=3……5；83÷39=2……5；83÷78=1……5；其中，符合条件的最大的除数是26，所以，这个班最多有26 位小朋友．练习1．两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值（）．（2014 年19 届）（A）83 （B）99 （C）96 （D）98【答案】B【解析】由条件“其中一个是另一个的两倍”可知：所求的和是某个正整数的3 倍，要求小于100，故这两个正整数的和是99．练习2．三堆小球共有2012 颗，如果从每堆取走相同数目的小球以后，第二堆还剩下17 颗小球，并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下的2 倍，那么第三堆原有颗小球．（2012 年17 届）【答案】665【解析】设此时第三堆有1 份小球，则如果一开始就从第一堆放1 份小球到第三堆，并且从第二堆扔掉17 个小球，那么此时三堆小球的个数相同，都是（2012 -17）÷ 3=665 个，而在上述过程中，第三堆小球数目并未发生变化，所以第三堆原有665 个小球．例3．张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20 分钟，而其余日期每日都跳绳20 分钟．某月他总共跑步5 小时，那么这个月的第10 天是（）．（2013 年18 届）（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一【答案】D【解析】每周张老师跑步1 小时，所以这个月的后28 天总共跑步了4 小时，说明这个月共有31 天，并且前3 天跑了1 个小时，所以前3 天只能是周六、周日、周一，所以这个月第10 天是周一，选D．例4．新生开学后去远郊步行拉练，到达A 地时比原计划时间10 点10 分晚了6 分钟，到达C 地时比原计划时间13 点10 分早了6 分钟，A、C 之间恰有一点B 是按照原计划时间到达的，那么到达B 点的时间是（）．（2014 年19 届）（A）11 点35 分（B）12 点5 分（C）11 点40 分（D）12 点20 分【答案】C【解析】从10 点10 分到13 点10 分共有3 个小时，误差时间共有12 分钟，即每小时要调整4 分钟，调整6 分钟的时候即是到达B 点的时间．调整6 分钟需要1 个半小时，即1 小时30 分钟，所以到达B 点的时间是11 点40 分．练习5．体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4 名，比赛的乒乓球台共有13 张，那么双打比赛的运动员有名．（2012 年17 届）【答案】20【解析】因为一张球台可供2 名单打运动员、或4 名双打运动员进行比赛，所以由‘双打比赛的运动员比单打的运动员多4 名’可知，双打比赛用了1 份多一个1 个球台，单打比赛用了2 份球台，从而双打比赛用了5 个球台，单打比赛用了8 个球台，故双打比赛有20 名运动员．练习6．麦当劳的某种汉堡每个10 元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡．已知东东和朋友需要买9 个汉堡，那么他们至少需要花元钱．【答案】60【解析】20 元可以买3 个，买9 个需要花60 元．练习7．小张早晨8 点整从甲地出发去乙地，速度是每小时60 千米．早晨9 点整小王从乙地出发去甲地．小张到达乙地后立即沿原路返回，恰好在12 点整与小王同时到达甲地．那么两人相遇时距离甲地千米．【答案】96【解析】小张4 小时走了一个来回，所以单程需要2 小时，所以甲乙相距120 千米，这段路小王花了3 小时，所以小王的速度为40 千米/小时．9 点时，两人相距60 千米，在60 ÷(60+40)=0.6 小时后两人相遇，此时距离甲地1.6 ⨯ 60=96 千米．课后练习1. 魔法学校运来很多魔法球，总重量多达5 吨，一颗魔法球重4 千克，现在有10 名学员使用魔法给这些魔法球涂色，每人每6 分钟可以给5 颗魔法球涂色，那么他们涂完所有魔法球最少要用分钟．【答案】150【解析】总共有5000 ÷4=1250 个魔法球，所以总共需要1250 ⨯ 6 ÷ 5 ÷10=150 分钟．2. 某校三年级和四年级各有两个班．三年级一班比三年级二班多4 人，四年级一班比四年级二班少5 人，三年级比四年级少17 人，那么三年级一班比四年级二班少人．【答案】9【解析】让三年级二班增加4 人，四年级一班增加5 人，则相同的两个年级的两个班人数相同了，且此时三年级比四年级少17 + 5 - 4=18 人，平均每个班少9 人，而三年级一班和四年级二班人数均未发生变化，所以三年级一班比四年级二班少9 人．3. 2010 名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与8 的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与7 的和．现在让第一个同学报1，那么最后一个同学报的数是．【答案】13【解析】从第一名同学开始，依次报数为：1、9、17、14、11、8、16、13、10、7、15、12、9、17、……，从而从第二名同学开始，报数以11 为周期，而2009 ÷11=182 7 ，所以最后一个同学报的数为13．4. 骆驼有两种：背上只有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼．单峰骆驼比较高大，四肢较长，在沙漠中能走能跑；双峰骆驼四肢粗短，更适合在沙砾和雪地上行走．有一群骆驼有23 个驼峰，60 只脚，那么双峰驼有匹．【答案】8【解析】共有60 ÷ 4=15 匹骆驼，23 个驼峰，而多出的驼峰都是双峰驼多的，所以有23 -15=8 匹双峰驼．6. 红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40 个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3 个男生，增加2 个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了．【答案】8【解析】最开始男女人数相差40 个，每次调整可以让人数差减少5 个，所以8 次调整后，男女人数就相等了．7. 甲，乙，丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8 米、10 米、6 米长的木棍，要求都按2 米的规格锯开．劳动结束后，甲、乙、丙分别锯了24、25、27 段，那么锯木棍次数最多的比次数最少的多锯次．【答案】2【解析】8 米、10 米、6 米长的木棍分别可以被锯成4、5、3 段，并且分别需要锯3、4、2 次，甲、乙、丙分别锯了6、5、9 根木棍，所以分别锯了18、20、18 次，最多比最少的多锯2 次．8. 一堆糖果有50 块，小明和小亮玩游戏．小明每赢一次拿5 块糖，然后吃掉4 块，将剩下的1 块放到自己的口袋里；小亮每赢一次也拿5 块糖，然后吃掉3 块，将剩下的2 块放到自己的口袋里．游戏结束时，糖刚好被拿完，这时小亮口袋里的糖数恰好是小明口袋里的糖数的3 倍，那么两人一共吃掉了块糖．【答案】34【解析】两人都是一次拿5 块，所以总共进行了10 次游戏，而小亮的糖数是小明的3 倍，说明小明每赢2 次，小亮就要赢3 次，所以说明小明总共赢了4 次，小亮赢了6 次，总吃掉了4 ⨯ 4+6 ⨯ 3=34 块糖．第三节数字谜、计数、组合精讲考点概述数字谜考点：1. 填竖式问题的一些方法：（1）加数相加时每进1 位，和的数字和将比加数的数字和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．2. 填横式问题：横式中的填空格和字母破译问题；熟练应用尾数分折、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题再求解．3. 幻方与数阵图、数独问题：掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步掌握重数的运用，填充较复杂的数阵图；利用重数计算处理数阵图中的最值问题．计数考点：1. 枚举法（分类、有序）2. 加乘原理（加法，分类；乘法，分步）组合考点：1. 各种与数字计算有关的最值问题．在枚举试算的过程中，注意寻找出大小变化的规律，并尝试分析其内在原因；学会用比较、调整的方法寻找最值情况．2. 逻辑推理：（1）一句话不是真话，就是假话．这在逻辑学中被称为排中律．（2）在应用假设法分析问题时，要考虑全面．既要考虑到所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况．（3）对于条件复杂的逻辑推理问题，通常状况下都可以通过列表法分析．真题精讲例1．右图的计数器三个档上各有10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字不同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是．（2012 年17 届）【答案】925【解析】由题意，知这两个三位数的和为1110，而上面是下面的倍数，可能为1 倍、2 倍、……，最多为9 倍，从而和为下面三位数的最少2 倍，最多10 倍，而1110 只有除以2、3、5、6、10 能除得尽，得到下面三位数可能为555、370、222、185、111，经过检验，可知只有185 满足要求，此时上面的三位数为925．练习1．在右面的加法算式中，每个汉字代表一个非零数字，不同的汉字代表不同的数字．当算式成立时，贺＋新＋春＝（）．（2012 年17 届）（A）24 （B）22 （C）20 （D）18【答案】D放鞭炮+ 迎龙年贺新春【解析】所填入的9 个数字为1、2、……、9，可知加数的数字和之和与和的数字和的总和为45，而最多进位两次（十位、个位），又两整数的和与差奇偶性相同，故加法恰好进位一次，所以可知，和的数字和为18．故选D．练习2．如图所示的两位数加法算式中，已知A +B +C +D = 22 ，则X +Y =（）．（2012 年17 届）（A）2 （B）4 （C）7 （D）13【答案】B【解析】由竖式可知，恰好进位一次（十位），故加数的数字和比和的数字和多9，从而X +Y = 22 - 9 - 9 = 4 ，故选B．例2．甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．（2014 年19 届）（A）10 （B）8 （C）12 （D）16【答案】C【解析】甲坐好后，乙共有4 种坐法，其中紧邻甲有2 种坐法，坐定后丁有两种坐法；乙另有2 种坐法不紧邻甲，乙坐定后，丁仅有 1 种坐法，而丙和戊在剩余的 2 个座位中，只有两种选法，故共有(2⨯ 2 +2⨯1) ⨯ 2 =12 不同的围坐方法．例3．在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，右图是一示例．现在用20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有个单位边长的正方形．（2014 年19 届）【答案】7【解析】通过以下两步操作，总可以约定第1 行方格个数不大于第2 行方格个数．第一步：总可以左移第一行的方格，使其和第二行方格左端对齐，新的图形所用木棍数量不多于原图形所用木棍的数量，但是移动前后方格数相同，例如见下图．第二步：如果第一行的方格数比第二行的方格数多，可以将多的方格切下，移至第一行上面，增加一行，新的图形所用木棍数量不多于原图形所用木棍的数量，但是方格数相同，如此操作，直到第一行的方格数不大于第二行的方格数．例如见右图．因此，从题目条件可知，图形至少有 2 行方格．由前面的讨论，总可以约定第 1 行方格个数不大于第 2 行方格个数．（1）假设图形有 2 行方格第 1 行有 1 个方格，第 2 行有 6 个方格，所用木棍总数是 22； 第 1 行有 1 个方格，第 2 行有 5 个方格，所用木棍总数是 19； 第 1 行有 2 个方格，第 2 行有 5 个方格，所用木棍总数是 21； 第 1 行有 2 个方格，第 2 行有 4 个方格，所用木棍总数是 18； 第 1 行有 3 个方格，第 2 行有 4 个方格，所用木棍总数是 21； 第 1 行有 3 个方格，第 2 行有 4 个方格，所用木棍总数是 20； 第 1 行有 4 个方格，第 2 行有 4 个方格，所用木棍总数是 22． （2）假设图形有 3 行方格第 1 行有 1 个方格，第 2 行、第 3 行都各有 3 个方格，所用木棍总数是 20； 第 1 行有 2 个方格，第 2 行、第 3 行都各有 2 个方格，所用木棍总数是 17． （3）假设图形有 4 行方格第 1 行有 1 个方格，第 2 行、第 3 行、第 4 行都各有 2 个方格，所用 木棍总数是 20．根据以上判断，图形不可能有 5 行、6 行、7 行、8 行． 所用木棍总数 20，方格总数是 7．右图是摆出的图形．练习3． 用 8 个 3 和 1 个 0 组成的九位数有若干个，其中除以 4 余 1 的有（）个．（2014 年 19 届）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】用 8 个 3 排成一行，中间有 7 个间隔，加上最右边的一个位置，每个位置都可以放置 0，共 有 8 种放法．因为 100 能被 4 整除，故除以 4 余 1 的数的最右边的两位数只能是 33．所以，只有 6 个 位置可以放 0，共有 6 种放法．例4． 牧羊人用 15 段每段长 2 米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是（）平方米．（2012 年 17 届）（A ）100 （B ）108 （C ）112 （D ）122 【答案】C【解析】假设长有 a 段篱笆，宽有 b 段篱笆，由条件可知 a + 2b = 15 ，而希望面积越大，即 a ⨯ b 越大， 也就是 a ⨯ 2b 越大，由于两数和一定差小积大，那么可知 a = 7 ， 2b = 8 时，面积最大，此时面积为 (7 ⨯ 2) ⨯ (4 ⨯ 2) = 112 ．练习4． 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是（）．（2013 年18 届）（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北【答案】C【解析】若小东说的对，则其他三人都有不对，此时小北说小南说的不对，则是对的，矛盾．若小西说的对，则捡到红领巾的是小南，那么小东也就说对了，与只有一人说对矛盾．若小南说的对，则根据小东的话可以判断捡到红领巾的是小西，此时符合题意．若小北说的对，则小南说的不对，也就意味着小东说的对，矛盾．故选C．练习5．平面上有四个点，任意三个点都不在一条直线上．以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中，最少可以形成（）个三角形．（2012 年17 届）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8【答案】B【解析】（1）有一点在其他三点构成的三角形内，可以形成4 个三角形；（2）任意一点都在另三点构成的三角形外，那么可以形成8 个三角形．故最少可以形成4 个三角形，故选B．练习6．在10□10□10□10□10 的四个□中填入“+”、“－”、“×”、“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（）．（2012 年17 届）（A）104 （B）109 （C）114 （D）119【答案】B【解析】由于没有括号，故10 ⨯10 = 100 ，10 ÷10 =1，可以认为将100、10、1 由“＋”、“－”连接，希望算式结果最大，最大为100 +10 -1 = 109 ．原式为10 ⨯10 +10 -10 ÷10 = 109 ．故选B．练习7．五个小朋友A、B、C、D 和E 参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C 右边的选手的编号的和分别为13、31、21 和7．那么A、C、E 三名选手编号之和是．（2014 年19 届）【答案】24【解析】由于31＞21＞13＞7，说明A 在D 的右边，E 在A 的右边，C 在E 的右边．由于，站在C 右边的选手的编号和为7，推出B 站在C 的右边．所以，B、C、E、D、A 分别是7、6、8、4、10．A、C、E 三名选手编号之和是24．练习8．用右图的四张含有4 个方格的纸板拼成了右图所示的图形．若在右下图的16 个方格分别填入1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A、B、C、D四个方格中数的平均数是．（2014 年19 届）【答案】4【解析】如图，用M，N，P，Q 标记16 个方格图最下面4 个方格，从而有A +B +M +N =C +D +P +Q =1+3+ 5 + 7 =16 ，又M+N+P+Q=16，所以A+B+C+D=16．右上图是一种满足要求的填法，且A, B,C, D 四个方格中数的平均数是4．课后练习1. 四位数中，数码0 出现次．【答案】2700【解析】分类，出现三个0 的四位数，有9 个，共9⨯3 = 27 个0；出现两个0 的四位数，0 可能出现在百、十；百、个和十个上，其他两位有9⨯9 =81种填法，有3⨯9⨯9 = 243 个，共243⨯ 2 = 486 个0；出现1 个0 的四位数，0 可能出现在百、十、个位上，有3⨯9⨯9⨯9 = 2187 个，共2187 个0；故共27 + 486 + 2187 = 2700 个．2. 从1,2,3,4,5,6,7 中选择若干个不同的数（所选数不计顺序），使得其中偶数之和等于奇数之和，则符合条件的选法共有种．【答案】7【解析】本题中，“和”必为偶数．按和的不同，分类枚举如下：（1）4 =1+ 3 ，1 组；（2）6 = 2 + 4 =1+ 5 ，2 组；（3）8 = 2 + 6 =1+ 7 = 3 + 5 ，2 组；（4）10 = 4 + 6 = 3 + 7 ，1 组；（5）12 = 2 + 4 + 6 = 5 + 7 ，1 组．共有：1+ 2 + 2 +1+1= 7 组．3. 将10，15，20，30，40 和60 填入右图的圆圈中，使A、B、C 三个小三角形顶点上的3 个数的积都相等．相等的积最大为．【答案】18000【解析】10 = 2 ⨯ 5 ，15 =3⨯ 5 ，20 = 2 ⨯ 2 ⨯ 5 ，30 = 2 ⨯3⨯ 5 ，40 = 2 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 5 ，60 = 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ 5 ，这三个相等的乘积再相乘，等于原来6 个数的乘积再乘上中间三个数，结果是一个立方数，即2、3、5 在乘积中出现的次数是3 的倍数，这6 个数的乘积有9 个2、3 个3、6 个5 相乘，而多乘的三个数，5 一定出现3 次，3 最多出现3 次，只能为15、30、60，此时2 出现也为3 次，此时乘积最大，可以得到这3 个相等的积为3 个5、2 个3、4 个2 相乘，等于18000．而此时第一层、第二层、第三层依次填入40；15、30；20、60、10，满足要求．4. 用3、5、6、18、23 这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是．【答案】12 41433 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 24 1 4 3 2 4 1 4 33444前句 后句A 对 错B 错 错 C对对【解析】最小的非零自然数为 1，而 6 ÷ 3 - 5 ÷ (23 -18) = 1 ，可以取到 1，故所求最小值为 1．5. 小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有 3 个，那么所标出的点最少有（）个．（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6【答案】C【解析】希望所标出的点最少，也就是所标的点被重复计数，那么 4 个顶点上都标上，然后每条边再 标 1 个即可，故最少标 8 个点．3126. 如图， 5 ⨯ 5 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4 各两个，那么，表格中所有数的和是．【答案】66【解析】如图所示，本题只有唯一填法，相加可得和为 66．7. 甲、乙、丙、丁获得了学校创意大赛的前 4 名（无并列），他们说：甲：“我既不是第一，也不是第二”；乙：“我的名次和丙相邻”； 丙：“我既不是第二，也不是第三”；丁：“我的名次和乙相邻”． 现在知道，甲、乙、丙、丁分别获得第 A 、B 、C 、D 名，并且他们都是不说慌的好学生，那么四位数 ABCD ＝ ．【答案】4213【解析】甲是第 3、4 名之一；丙是第 1 名或 4 名．如果丙是第 4 名，则乙是第 3 名。
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
2012年-2017年华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛真题合集(小高组)附答案
目录第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (1)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (3)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (5)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (7)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (9)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (11)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (13)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (15)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (17)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (19)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (21)第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (23)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (24)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (25)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (26)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (27)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (28)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (29)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (30)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (31)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (32)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (33)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (34)A B 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00-11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．A ．16B ．17C ．18D ．192. 小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟，某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟． A ．6 B ．8 C ．10 D ．123. 将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．A ．14B ．16C ．18D ．204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．A ．2986B ．2858C ．2672D ．27545. 在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）A ．8615B ．2016C ．4023D ．20176. 从 0 至 9 选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．× 71 0 2罗华金杯ABG FHDEC二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）7． 若( 1 5 245 3— )× 9 2 5 7 ÷ 2 ＋2.25＝4，那么A 的值是 ．3 34 1A8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1－5 这五个不同的数字，将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是平方厘米．10. 若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r ，那么 d －r 的最大值是 ．庚第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组A 卷） （时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1． 算式999 9 × 999 9 的结果中含有（ ）个数字 0．2016个92016个9A ．2017B ．2016C ．2015D ．20142. 已知 A ，B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A 、B 出发，相向而行，在距 A 地 140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．A ． 2 2B ． 2 4C ．3D ． 3 15 5 53. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（ ）A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．98717734. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ）种不同的排法． A ．1152B ．864C ．576D ．2885. 在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD ，AB ＝6，CD ＝14，∠AEC 是直角，CE ＝CB ，则 AE 2 等于（ ）A ．84B ．80C ．75D ．646. 从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到 5个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）． A ．109 B ．110 C ．111 D ．112EABD C二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）AP M O7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8. 如下图，O ，P ，M 是线段 AB 上的三个点，AO ＝ 4 AB ，BP ＝ 2AB ，M 是 AB 的中点，且 OM ＝2，那5 3么 PM 长为 ．9. 设 q 是一个平方数．如果 q －2 和 q ＋2 都是质数，就称 q 为 p 型平方数．例如，9 就是一个 p 型平方数．那么小于 1000 的最大 p 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016．用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B （小学高年级组）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. “凑 24 点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张，（如果初练也可只用 1 至 10 这 40 张牌）任意抽取 4 张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成 24．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是 3，8，8，9，那么算式为(9－ 8)×8×3 或(9－8÷8)×3 等．在下面 4 个选项中，唯一无法凑出 24 点的是（ ）． A ．1，2，2，3 B ．1，4，6，7 C ．1，5，5，5 D ．3，3，7，72. 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如 2n －1（ n 为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：22－1＝3 就是一个梅森质数．第一个梅森合数是（ ）．A ．4B ．15C ．127D ．20473. 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升．现瓶里装了一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米，如下图．那么瓶内现有饮料（ ）升．A ．1B ．1.2C ．1.25D ．1.3754. 已知 a ，b 为自然数， 4 = 1 + 1，那么 a ＋b 的最小值是（ ）．15 a bA ．16B ．20C ．30D ．65. 如下图，平面上有 25 个点，每个点上都钉着钉子，形成 5×5 的正方形钉阵．现有足够多的橡皮筋，最多能套出（ ）种面积不同的正方形．A ．4B ．6C ．8D ．106. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，那么这个七位数最大是（ ）．A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．9871773二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）华 杯 赛 三 十 年× 杯 杯今 年 认 真 赛 好今 年 认 真 赛 好 三 十 年 华 杯 赛 好7． 计算：20152＋20162－2014×2016－2015×2017＝ ．8. 在下边的算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．当杯代表 5 时，“华杯赛”所代表的三位数是 ．9. 于 2015 年 10 月 29 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策．笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍，如果明年给妳添一个弟弟或妹妹，我们家 2020 年的年龄总和就是你那时年龄的 6 倍．那么笑笑今年 岁．10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单，笑笑所在的学校榜上有名．为 了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛，近期他们学校的球队将和另 3 支球队进行一次足球友 谊赛．比赛采用单循环制（即每两队比赛一场），规定胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平局两队各得 1分；以总得分高低确定名次，若两支球队得分相同，就参考净胜球、相互胜负关系等决定名次．笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名，至少要得 分．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动，规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（ ）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丙D ．乙、丁2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个．A ．5B ．2C ．4D ．33. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（ ）张卡片． A ．12B ．14C ．16D ．184. 足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一， 而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）元．A ．10B ． 25C ． 50D ．25235. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分，那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（ ）．A ．快 12 分B ．快 6 分C ．慢 6 分D ．慢 12 分6. 在下图的 6×6 方格内，每个方格中只能填 A 、B 、C 、D 、E 、F 中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（ ）．A ．E 、 C 、 D 、 FB ．E 、D 、C 、FC ．D 、 F 、 C 、E D ．D 、C 、F 、EB CA B D ABCE二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） - - - = AFDPBEC7． 计算4811 + 265 1 + 904 129 41 55184160 7036 12 2030 42 568. 过正三角形 ABC 内一点 P ，向三边作垂线，垂足依次为 D 、E 、F ，连接 AP 、BP 、CP ．如果正三角形ABC 的面积是 2028 平方厘米，三角形 PAD 和三角形 PBE 的面积都是 192 平方厘米，则三角形 PCF的面积为平方厘米．9. 自然数 2015 最多可以表示成 个连续奇数的和．10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有 个．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛A BED H C 初赛 C 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 计算：( 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 )×120－ 1 ÷ 1＝（ ）20 30 42 56 72 3 4A ．42B ．43C ．15 1D ．16 2332. 如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角．最高的小树高 2.8 米，最低的小树高 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（ ）米．A ．2.6B ．2.4C ．2.2D ．2.03. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生，事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对话： 甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款．” 乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款．” 丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款．” 丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款．” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ）．A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（ ）． A ．94 B ．95 C ．96D ．975. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点；如果△DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（ ）．A ．32B ．34C ．35D ．366. 一个由边长为 1 的小正方形组成的n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．645°二、填空题（每小题10 分，共40 分）7.在每个格子中填入1 至6 中的一个，使得每行、每列及每个2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是3 月 1 4相约华杯8.整数n 一共有10 个约数，这些约数从小到大排列，第8 个数是n.那么整数n 的最大值是39.在边长为300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）10．A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A 地、B 地C 地同时出发，匀速向D 地行进．当甲在C 地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50 米，三人同时到D 地．已知乙出发时的速度是每分钟60 米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D 两地间的路程是米．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（ ）道试题．A ．40B ．42C ．48D ．503. 用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的 16 个方格分别填入 1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么 A 、B 、C 、D 四个方格中数的平均数是（ ）．A ． 4B ． 5C D ．74. 小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）．A ．2︰3B ．3︰4C ．4︰5D ．3︰75. 某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟， 却早到达了 4 分钟．甲、乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）． A ．11 点 40 分 B ．11 点 50 分 C ．12 点 D ．12 点 10 分6. 如图所示，AF ＝7cm ，DH ＝4cm ，BG ＝5cm ，AE ＝1cm ．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为78 平方厘米，则正方形的边长为（ ）cm ．A ．10B ．11C ．12D ．13ABA EDHF BC二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）甲 乙7. 五名选手 A 、B 、C 、D 、E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是 ．8. 甲、乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．种不同的 2×2×2 的正10. 在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可 能不止标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是分分5 10 15 202530 5 10 15 202530第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 在下列四个算式中： AB ÷ CD ＝2，E ×F ＝0，G －H ＝1，I ＋J ＝4，A ～J 代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 AB 不可能是（ ）． A ．54 B ．58 C ．92 D ．963. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）．A ．淘气的剪法利用率高B ．笑笑的剪法利用率高C ．两种剪法利用率一样D ．无法判断4. 小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（ ）分钟．A ．14B ．15C ．16D ．175. 甲、乙、丙、丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁）．如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ）种情况．A ．4B ．6C ．8D ．106. 有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315.将这七张卡片全部分给了甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话： 甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数．” 乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数．” 丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数．” 丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数．” 已知四个人中恰好有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁甲 乙二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）13 ÷ 3 + 3 ÷ 2 1 + 17． 算式 1007× 4 44 3 ÷19 的计算结果是 ．（1 + 2 + 3 + 4 + 5）⨯ 5 - 228. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配，第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等到别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉， 自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆，扔掉多余的一个，取走一堆．那 么这堆栗子原来至少有 个．9. 甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即掉头；甲掉头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次掉头走向 B 地．结果当甲走到 B 地时，乙恰走过 A 、B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的 倍，A 、B 两地间的路程是 米．10. 从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有 种取法；总共有 种取法．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1． 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（ ）岁．A ．16B ．18C ．20D ．223. 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．A ．22B ．20C ．17D ．164. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9︰7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7︰5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．A ．5B ．6C ．7D ．85. 图 ABCD 是平行四边形，M 是 DC 的中点，E 和 F 分别位于 AB 和 AD 上，且 EF 平行于 BD ．若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米，则三角形 CEB 的面积等于（ ）平方厘米．A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（ ）立方米的水．A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2D F MCAEB二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）D E AFB7. 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了 张；小华拿了张．张；小刚拿了8. 某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要名工作人员．9. 如图，AB 是圆 O 的直径，长 6 厘米，正方形 BCDE 的一个顶点 E 在圆周上，∠ABE ＝45°．那么圆 O中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分面积的差等于 平方厘米（取 π＝3.14）10. 圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相 同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋 友至少分得一个礼物）．那么，共有 种不同的选择．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛AB 初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于 6，并且这个数是 11 的倍数，则满足这种要求的四位数共有（ ）个．A ．6B ．7C ．8D ．92． 2＋2×3＋2×3×3＋……＋2× 3 ⨯ 3 ⨯⨯ 3 个位数字是（ ）． 9个3A ．2B ．8C ．4D ．63. 在下面的阴影三角形中，不能由下图中左面的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（ ）中的三角形.ABCD4. 某日，甲学校买了 56 千克水果糖，每千克 8.06 元．过了几日，乙学校也需要买同样的 56 千克水果糖，不过正好赶上促销活动，每千克水果糖降价 0.56 元，而且只要买水果糖都会额外赠送 5%同样的水果糖．那么乙学校将比甲学校少花（ ）元．A ．20B ．51.36C ．31.36D ．10.365. 甲、乙两仓的稻谷数量一样，爸爸、妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要 10 天、12 天和 15 天．爸爸、妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷，阳阳先帮妈妈，后帮爸爸，结果同时运完两仓稻谷．那么阳阳帮妈妈运了（ ）天. A ．3B ．4C ．5D ．66. 如图，将长度为 9 的线段 AB 分成 9 等份，那么图中所有线段的长度的总和是（ ）.A ．132B ．144C ．156D ．165二、填空题（每小题10 分，共40 分）7．将乘积0.2˙43˙×0.32˙5233˙化为小数，小数点后第2013 位的数字是.8.一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为分钟.9.一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水池分别需要6 小时、5 小时和4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要小时.10.九个同样的直角三角形卡片，用卡片的锐角拼成一圈，可以拼成类似下图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有种不同的可能值．（下图只是其中一种可能的情况）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2012 年 3 月 17 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 计算：[(0.8＋ 1 )×24＋6.6]÷ 9－7.6＝（ ）.5 14A ．30B ．40C ．50D ．602. 以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（ ）个三角形．A ．3B ．4C ．6D ．83. 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只．A ．240B ．248C ．420D ．8424. 下图的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ）A ．1，2B ．2，3C ．3，4D ．4，55. 在下图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（ ） A ．369B ．396C ．459D ．5496. 下图是由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ ）A ．83B ．79C ．72D ．651 253 4A B C ＋ D E F H IJ二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）百十个百 十 个A EC HFB7. 如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是．8. 四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是 3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是 分．9. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发，且在 A 、B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B ，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A ，则两车第 15 次（在 A ，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了 小时．10. 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米，正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米．如图所示，边 BC 落在 EH上．己知三角形 ACG 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的面积为 平方厘米．。
第十七届华杯赛决赛小高笔试A答案
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案（小学高年级组）共40分，要求写出简要过程）亠、解谷卜列各题（每题10分,亠、填空（每题10分，共80 分）9.答案：是.解答.连接AC.则S.CEB S.BCA=S.ACE = S.EADSECKB = S.CEB S.BCK所以SECKB -S.OBE =S. EAD S OBE .题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案186 2 40 153 7 18 7 4396 因此S HCKO四边形ABOD勺面积二四边形ECKO勺面积.10.答案:解答.首先构造5黑4的长方形如下：11.答案：2025, 3025, 9801.解答.设一个四位卡布列克怪数为100x+y,其中10ExW99,0W yW 99则由题意知100x + y = (x + y)2,两边模99得, 、2 ,x y = (x y) (mod99) ,因此99|(x + y)(x + y-1),故x + y与x+y-1中有一个能被9整除，也有一个能被11整除(可能是同一个数)，且有102 E(x + y)2 =100x + y <1002 ,即10<x+y <100. (*)若x+y能被99整除，由(*)知x + y只能是99,满足条件白八四位数是9801;若x+y - 1能被99整除，由(*),显然没有满足条件的四位数；止匕外，可设x + y = 9m, x + y —1 = 11n,则有9m-11 n=1,由(*) , m 禾口n均为小于12的正整数，故得到m= 5,n=4, x + y只能是45,满足条件白四位数是2025;反之,可设x + y —1 = 9m, x + y =11n,满足条件的四位数是3025.故四位数中有三个卡布列克怪数，它们分别为2025, 3025和9801.12 .答案：1或2解答.对于质数3, 32被3整除.其余的质数，要么是3k+1型的数，要么是3k+2型的数•由于(3k 1) 2 =9k 6k 1 =3(3k2 2k) 1,被3除余1,且(3k 2) 2=9k2 12k 4 =3(3k 2 4k 1)1 ,被3除也余1.因此有(1) 若这98个质数包含3时,N被3除的余数等于97被3除的余数，等于1.(2) 若这98个质数不包含3时，N被3除的余数等于98被3除的余数，等于2.三、解答下列各题(每题15分，共30分，要求写出详细过程)13 .答案39,11,18解答.设起跑时间为0秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为[0,9] , [72k-9,72k 9] , k =1,2,3,,和[0,10] , [80m -10,80m 10] , m =1,2,3,.其中[a, b]表示第a秒时刻至第b秒时刻.显然[0,9]即前9秒里两类时间段的公共部分.止匕外，考虑[72k-9,72k+9]和[80m- 10,80m+10]的公共区间,k,m为正整数，分两种情况：1) 72k =80m,即小李和小张分别跑了k圈和m圈同时回到起点，他们二人同时在划定区域跑了18秒.2) 72k 8 80m,例如72 上-9 72A+980 加-10 80 掰+1072k -9 MB0m —10 W2k + 9 MB0m+10仁1 <80m-72k <19 ①.两人同时在划定区域内跑了72k 十9—(80m^ 10) = 19 —(80m —72k).由①知80m-72k=8, 16.于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒.其它情况类似可得同样结果.综上，答案为3,9,11,1814.答案：150解答.设立方体的长，宽，高分别为乙y, x,其中x<y<z,且为整数.注意，两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.如果x=1, y=1,则没有两面为红色的立方块，不符合题意.如果x=1,y>1,则没有只有一面为红色的立方块，不符合题意.因此x A2.此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱.一面出现红色的方块只与立方体的面共面.有下面的式子成立4x[(x-2)+(y-2)+(z-2)]=40 , (1)2 M(x —2)(y —2)十(x-2)(z-2)+(y-2)(z -2)] =66 . (2)由⑴得到x + y+ z=16 , ⑶由⑵得到xy + xz + yz = 85 . (4)由（3）和（4）可彳3，x2 + y2 + z2 = 86 ,这样1 M x, y, z M 9 .由（4）得至U,止匕时y2（x 十 y ）（ x + z ） = 85 + x .（ 5）若 x = 2,则由（5）得至 ij （2 + y ） （2 + z ） =85+4 = 89=1 父 89, y,z 的取值不能满足（3）.若 x=3,则由（5）得至 I （3+y ）（ 3 + z ） =85 +9=94 = 2><47 , y,z 的取值不能满足（3）若 x = 4,贝 U 由（5）得至 1（4 + y ）（4 + z ） = 85 + 16=101 =1 父 101, y,z的取值不能满足(3).当 x=5 时，由(5) 得至 1 (5+ y)(5 + z) =85 + 25 =110 = 2x5x11=5, z = 6 满足条件.如果x ± 6,则x + y+z 土 18,与(3)矛盾.综上，x=5,y=5,z=6是问题的解，这是长方体的体积为 150.。
(完整版)第17届华杯赛初赛笔试题及详答.doc
一、选择题1、计算：[(0.8 1) 24] 9 7.6 (___) 5 14（A）30 （B） 40 （C）50 （D）60 【答案】 B【解析】原式 =[(0.8+0.2) 24+6.6] 147.6 930.6 147.6 93.4 14 7.6 47.6 7.6 402、以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（（A）3（B）4）个三角形。
（C）6（D）8【答案】 D【解析】几何计数注意看清题目，是以 4 个点为端点连接线段，构成的图形最多可以有多少个三角形；而不是以这可以有多少三角形，所以如图可知，有8个。
选 D4 个点位端点，最多3、一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗,狗比猫多180只.有20%的狗错认为自己是猫；在所有的猫和狗中,有32%认为自己是猫,那么狗有（）只.（ A） 240（B）248（C）420（D）842有 20% 的猫错认为自己是狗.【答案】 A【解析】这是一道典型的比例应用题。
方法一、方程法这个是最直接最快的。
假设狗有 x 只，有：x 20% ( x 180) 80% (x x 180) 32% ；1 x 4(x 180)8(2 x 180)5 5 25(两边同乘以 25)5x+20( x 180) 8(2x180)25x 3600 16x 14409x 2160x 240所以狗的数量就是240 只。
（也可以假设猫为x 只，这样计算值会小很多。
）方法二、存在比例的题目都可以考虑十字交叉来做：由以上可以发现狗和猫的数量之比是4:1 ；相差 3 份，相差 180 只，即 1 份为 60 只。
狗是 4 份，所以狗是240 只。
（对于太原的同学来说，十字交叉可能不太好理解，这是学而思六年级秋季班的内容，十字交叉式一种技巧。
）4、老师在黑板上写了从 1 开始的若干个连续自然数，1,2,3 ，后来擦掉其中一个数，剩下数的平均数是25 11，24擦掉的自然数是（）A、 12B、 17C、 20D、 3【答案】 D【解析】1，2，3，...一直到n的平均数可以表示为1+n2现在擦掉一个数之后，剩下的数，平均值为25 11，估算有1+n=25 ，n 的值在50 左右。
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组c卷)
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一．填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）算式÷（）﹣的值为．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为．3．（10分）设某圆锥的侧面积是10π，表面积是19π，则它的侧面展开图的圆心角是．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有个．5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要分钟才可将水池注满．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于．7．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是米．8．（10分）从1到1000中最多可以选出个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。
9．（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由．10．（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，…p99，．记作N＝++…+，问N被3除的余数是多少？11．（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．12．（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元．并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）三．解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13．（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是1，＝，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积．14．（15分）记一百个自然数x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一．填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）算式÷（）﹣的值为．【分析】先算小括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法，由此求解．【解答】解：÷（）﹣，＝÷﹣，＝﹣，＝；故答案为：．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为2：5．【分析】此题中，第一次加球后，变化的是黑球，红球没变（原有的），这时红球数：黑球数＝1：3＝2：6；第二次加球后，黑球是这次没变（球数是第一次变化后的），红球却变化了，这时红球数：黑球数＝1：2＝3：6．对比可知，黑球数一样，红球却多出了1份，这正是第二次加入的红球，当然也是第一次加的黑球数．至此就可求得问题答案了．【解答】解：1﹣：＝＝1：3＝2：6＝1：2＝3：63﹣2＝16﹣1＝5原有红球为2份、黑球为5份．故：原来箱子里的红球与黑球之比为2：5．3．（10分）设某圆锥的侧面积是10π，表面积是19π，则它的侧面展开图的圆心角是324度．【分析】根据圆锥的特征，圆锥的侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形，底面是一个圆，圆锥的表面积＝侧面积+底面积，由题可知底面面积为9π，所以底面半径为3，周长也就是侧面弧长为6π，设角度为A侧面半径为R，则有×πR2＝10π，×2πR＝6π，据此解答．【解答】解：设角度为A侧面半径为R，则有×πR2＝10π，×2πR＝6π，解得：A＝324度．答：它的侧面展开图的圆心角是324度．故答案为：324度．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有2个．【分析】首先对x进行分类讨论，分别得出2种结果，据此解答．【解答】解：当x≥5时，x△5＝5，4▽（x△5）＝5，6△[4▽（x△5）]＝5；当x＜4时，x△5＝x，4▽（x△5）＝4，6△[4▽（x△5）]＝4．故答案为：2．5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．【解答】解：1÷[（1﹣）÷40]，＝1÷，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．故答案为：60．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于7．【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积．【解答】解：（2×2﹣×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案为：77．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是1620米．【分析】设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，考虑甲乙速度不变，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；所以有AB＝4x，OB＝3×（1620﹣x），又已知AO＝1620米；AB＝AO+OB，得到3x＝1620+3×（1620﹣x），解得x＝1080米；代入OB＝3×（1620﹣x）＝3×（1620﹣1080），解决问题．【解答】解：设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；因为AB＝AO+OB，得到：3x＝1620+3×（1620﹣x），6x＝6480，x＝1080；O与B两点的距离是：3×（1620﹣1080）＝1620（米）；答：O与B两点的距离是1620米．故答案为：1620．8．（10分）从1到1000中最多可以选出334个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．【分析】要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类讨论即可得出答案．【解答】解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+2＝4，4÷3还是余1，在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个．因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；故答案为：334．二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。
第17届华杯赛小学高年级组网络初赛试题
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷〈小学高年级组网络版）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组网络版）〔时间：2012年3月8日19:30 ~ 20:30 〕一、选择题(每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1.右图是一个两位数的加法算式，已知已知A＋B＋C＋D＝22 ，则X十Y ＝〔〕.(A）2 (B) 4 (C) 7 （D）132.已知甲瓶盐水浓度为87%，乙瓶盐水浓度为57%，混合后浓度为6.2%,那么四分之一的甲瓶盐水与六分之一的乙瓶盐水混合后的浓度则为〔〕.(A）7.5% (B) 5.5% (C) 6% (D)6.5%3.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有〔〉个.〔1〕两个数的乘积是2000^（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍. 两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.(A）1 （B）2 （C）3 （D）44.将39，41，44，45，47，52，55这7个数重新排成一列，使得其中任意相邻的三个数的和都为3的倍数.在所有这样的排列中，第四个数的最大值是〔〕(A）44 (B) 45 (C) 47 （D）525.如图所示，在5X8的方格中，阴影部分的面积为37cm2，则非阴影部分的面积为〔〕cm2.(A）43 (B) 74 (C) 80 （D）1116.在由1,3,4,7,9组成的没有重复数字的数中，是9的倍数的有〔〉个.(A）1 (B) 2 (C) 3 （D）4二、填空题（每小题10分，满分40分）7.满足下列两个条件的四位数共有个_______.（1）任意相邻两位数字之和均不大于2；（2）任意相邻三位数字之和均不小于3.8.在17□17□17□17□17的四个口中填入“＋”“－”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是______.9.右图中，180是一个钝角三角形,BC=6厘米，AB=5厘米，BC边的高AD等于4厘米.若此三角形以每秒3厘米的速度沿DA的方向向上移动，2秒后，此三角形扫过的面积是_______平方厘米.10. 一条路上有A，O，B三个地点，O在A与B之间，A与D相距1360米.甲、乙两人同时分别从A和O 点出发向B点行进.出发后第10分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第40分钟甲与乙两人在B点相遇.那么O与B两点的距离是_______米.第十七届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题〔小学高年级组网络版）答案〔〔。
2012年第十七届华杯赛决赛真题及答案大全
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A及答案（小学中年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1. 若将一个边长为6厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半, 占正方形面积的三分之二.那么这个三角形的面积是________平方厘米.2. 右图是两个两位数的减法竖式, 其中A, B, C, D代表不同的数字.当被减数AB取最大值时,.A×B+(C+E)×(D+F) =_________。
3. 某水池有A,B两个水龙头.如果A,B同时打开需要30分钟可将水池注满.现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水80分钟,也可将水池注满. 如果单独打开B龙头注水, 需要_______分钟才可将水池注满.4. 将六个数1, 3, 5, 7, 9, 11 分别填入右图中的圆圈内（每个仅填一个数）, 使每边上三个数的和都等于17, 则三角形点处的圆圈内所填三数之和为_______。
5.四年级一班用班费购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种文具. 要求购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数多2件, 且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半. 若购买的文具恰好用了66元, 则甲种文具最多可买__________件.6.如右图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有______种不同的走法.7. 一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥, 共用115秒,已知每辆车长6米, 相临两车间隔20米, 则这个车队一共有________辆车.8.有一个长方形, 如果它的长和宽同时增加6厘米, 则面积增加了114平方厘米. 则这个长方形的周长等于_______厘米.二、简答题（每题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9. 扑克牌的点数如图所示，最大是13, 最小是1. 现小明手里有3张点数不同的扑克牌,第一张和第二张扑克牌点数和是25, 第二张和第三张扑克牌点数和是13, 问: 第三张扑克牌的点数是多少？10.下图是一个净化水装置, 水流方向为从A先流向B, 再流到C.原来容器A-B之间有10个流量相同的管道, B-C之间也有10个流量相同的管道.现调换了A-B与B-C之间的一个管道后, 流量每小时增加了40立方米. 问: 通过调整管道布局, 从A到C的流量最大可增加多少立方米？11. 右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形）, 如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1, 四个2, 两个3和一个4, 那么纸板剩下部分的面积最大是多少？12. 有20张卡片,每张上写一个大于0的自然数,且任意9张上写的自然数的和都不大于63. 若称写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最多有多少张?所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?答案一、填空（每题10 分, 共80分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案48 144 120 15 11 6 7 26二、解答下列各题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9. 答案: 1.10.答案: 200.11.答案: 112.12.答案: 7, 61.第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B及答案（小学中年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.若将一个边长为8厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半, 占正方形面积的四分之三.那么这个三角形的面积是________平方厘米.2.右图的算式中,每个字母代表一个1至9之间的数，不同的字母代表不同的数字，则A+B+C=________3. 某水池有A,B两个水龙头.如果A,B同时打开需要30分钟可将水池注满.现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满. 如果单独打开B龙头注水, 需要_______分钟才可将水池注满.4. 将六个数1, 3, 5, 7, 9, 11 分别填入右图中的圆圈内（每个仅填一个数）, 使每边上三个数的和都等于19, 则三角形点处的圆圈内所填三数之和为_______。
华杯赛初赛备考讲义含解析(小学高年级组)
， ， ， ， 华杯赛初赛备考讲义含解析（小学高年级组）第一节 计算、几何精讲考点概述计算考点 一、整数、小数、分数的基本计算； 二、整数、小数、分数的常见巧算方法；（凑整、抵消、约分、提取公因数、裂项） 三、分数比较大小；（通分子、通分母、通分差、取倒数） 四、分数与循环小数．（纯循环小数化分数、混循环小数化分数）几何考点 一、基本面积公式；（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形） 二、割补法计算面积；三、等积变换； 四、各类几何模型；（等高模型、蝴蝶模型、共角模型、一半模型、沙漏模型、金字塔模型、燕尾模型等） 五、勾股定理与弦图； 六、立体几何．（基本公式、展开图、三视图）真题精讲例题1. 将 5.425 ⨯ 0.63 的积写成小数形式是．（2007 年 12 届）【答案】 3.4180 ．【解答】 5.425=5425 = 5420 ，所以 5.425 ⨯ 0.63= 5420 ⨯ 63 = 34146 =34176 ，999 999 999 100 9990 9990而 4176 =1 ⨯ 4176 =1 ⨯ 4 180 =1⨯ 4.180 = 0.4180 ，所以 5.425 ⨯ 0.63 = 3.4180 ． 9990 10 999 10 999 10例题2. 从 1 1 1 1 1中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 6最接近，去掉的两个数是 ()．2 3 4 5 67（A ） 1 ， 1 （B ） 1 ， 1 （C ） 1 ， 1 （D ） 1 ， 1（2010 年 15 届）25263534【答案】D ． 【解答】通分1 = 210 , 1 = 140 , 1 = 105 , 1 = 84 , 1 = 70 , 6 = 360 .2 4203 4204 4205 4206 4207 420显然，210+84+70=364 最接近 360．练习1. 2012.25 ⨯ 2013.75－2010.25 ⨯ 2015.75＝．（2013 年 18 届）2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，…，而 1 = 2，所以从23 5 7 9 11 13 1000 20002001 【答案】7．【解答】记 x =2010.25，y = 2013.75，则原式= (x + 2) y - x ( y + 2) = 2( y - x ) = 7 ．练习2. 两数之和与两数之商都为 6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（）（2011 年 16 届）（A ） 26 4 （B ） 5 1 （C ） 6 （D ） 67 7 7 49 【答案】D ．【解答】设两数分别为 x 与 6x ，那么 7x =6，x = 6 ，所以这两个数分别为 6 与 36 ，两数之积为216 ，7两数之差为 30，216 - 30 = 6 ．7749749 7 49练习3. 若 a =2005 ⨯ 2006 , b = 2006 ⨯ 2007 , c = 2007 ⨯ 2008，则有()．2007 ⨯ 2008 2008 ⨯ 2009 2009 ⨯ 2010（A ） a > b > c （B ） a > c > b （C ） a < c < b （D ） a < b < c （2008 年 13 届） 【答案】D ．【解答】比较 a 与 b ，两边同时可以约掉2006，而2005<2007，所以 a < b ， 20082007 2009比较 b 与 c ，两边同时可以约掉 2007 ，而 2006 < 2008，所以 b < c ，故选D ． 2009 2008 2010练习4. 在 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11，…中，从开始，1 与每个数之差都小于 1 ．3 5 7 9 11 131000（2004 年 9 届）【答案】 1999 ．2001【解答】这一排分数与 1 的差分别为开始，就开始小于 11000，所以答案为 1999 ．2001例题3. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC = CD = DB ，M 是 CD 的中点，H 是弦 CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2009 年14 届）MC DHA O N B【答案】2．【解答】如下图，可以利用等积变换变成一个扇形：MC DHA O B因为AC = CD = DB ，M 是CD 的中点，所以CM 是半圆弧的1，所以阴影扇形面积为半圆面积的1，6 6为2．例题4. 大正方形格板是由81 个1 平方厘米的小正方形铺成，B、C 是两个格点．若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC 的面积恰好等于3 平方厘米，则这样的A 点共有个．（2010 年15 届）CB（A）6 （B）5 （C）8 （D）10【答案】C．【解答】方法一：从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10 条水平线，每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求．以此穷举法可以得到：第1 条水平线上没有格点符合要求，第2 条水平线上仅有A7 符合要求．如右图所示，类似可以得到格点A2，A1，A6符合要求，对称地，可以得到A ，A ，A ，A 符合要求．故答案是C．5 4 3 8方法二：先通过尝试找到A ，然后找到经过A ，而且平行于BC 的线，画出来，那么这条线经过的格1 1点都是符合要求的（等积变换），这样可以得到A ，A ，A ，A ，然后利用对称性，可以得到A ，A ，A 3 ，A8．故答案是C．2 1 6 7 5 4练习5. 正方形ABCD 的面积为9 平方厘米，正方形EFGH 的面积为64 平方厘米．如图所示，边BC 落在EH 上．已知三角形ACG 的面积为6.75 平方厘米，则三角形ABE 的面积为平方厘米．（2012 年17 届）【答案】2.25．【解答】如图：连接EG，由于AC 和EG 都是对角线，因此相互平行，所以三角形ACG 的面积等于三角形ACE 的面积，所以S△ABE =S△ACE-S△ABC=6.75 -4.5=2.25 ．练习6. 右图ABCD 是平行四边形，M 是DC 的中点，E 和F 分别位于AB 和AD 上，且EF 平行于BD．若三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，则三角形CEB 的面积等于（）平方厘米．（2013 年18 届）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20【答案】B【解答】如右图，连接FC，BF，DE．因为M 是DC 的中点，三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，所以由三角形面积公式可知：三角形CDF的面积等于10 平方厘米．两个三角形，同底等高，面积则相等．由此可知：由DC / / AB ，得△CEB 的面积=△BDE 的面积；由EF / /B D ，得△BDE 的面积=△BDF 的面积；由AD / /B C ，得△BDF 的面积=△C DF 的面积，所以三角形CEB 的面积等于10 平方厘米．练习7. 如右图所示，梯形ABCD 的面积为117 平方厘米．AD∥BC，EF = 13 厘米，MN = 4 厘米，又已知EF⊥MN 于O，那么阴影部分的总面积为平方厘米．（2011 年16 届）【答案】65．【解答】四边形 EMFN 的面积= 1⨯ EF ⨯ MN =26 ．（对角线相互垂直的四边形面积为对角线相乘再除2以 2），又根据蝴蝶模型， S △ABM =S △EFM ， S △DCN =S △EFN ，所以空白部分总面积为四边形 EMFN 的面积 的 2 倍，为 52，所以阴影部分总面积=117－52=65．练习8. 右图由 4 个正六边形组成，每个面积是 6，以这 4 个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为 4 的等边三角形有 个．（2011 年 16 届） 【答案】8．【解答】如图，将原图按三角形格线分割，于是我们要找的其实是由 4 个小正三 角形组成的正三角形，注意顶点必须六边形顶点，箭头朝上的有四个（如图）， 根据对称性，箭头朝下的也有 4 个，共 8 个．例题5. 如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦 AB 与小圆相切，且与直径平行，弦 AB 长12 厘米．图中阴影部分的面积是 平方厘米．（圆周率取 3．14）（2004 年 9 届）AB【答案】56.52．【解答】设大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，那么阴影部分面积为 1 π R 2 - 1 π r 2 = 1π ( R 2 - r 2 )，所以关 2 2 2 键是求出半径的平方差．如图，过大圆圆心作 AB 的垂线，连接圆心与 B 点，由勾股定理可得，62 + r 2 = R 2 ，所以 R 2 - r 2 = 36 ．A6 BrR那么阴影部分面积= 1⨯ 3.14 ⨯ 36=56.52 ．2例题6. 一个长方体的长、宽、高恰好是 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的 2 倍，那么这个长方体的表面积是 ．（2007 年 12 届）（A ）74（B ）148（C ）150（D ）154【答案】B．【解答】设这三个连续的自然数分别为x－1，x，x＋1，那么可以列出方程：(x-1)x(x+1)=2(x-1+x +x +1)⨯ 4 ，化简后为：x(x2 -1)= 24x ，由于x 肯定不是0，所以两边同时约掉x 后，可得方程：x2 -1= 24 ，所以x = 5 ，这三个连续的自然数分别为4、5、6，那么表面积为：(4⨯5 +5⨯ 6 +4⨯6)⨯ 2=148 ．练习9. 如图所示，是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12 厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2 厘米，最多能露出4 厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取π= 3.14 ）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10”）（2006 年11 届）CA B【答案】226.08．【解答】沿AC 放置时，另一端沿吸管露出最少，为2 厘米，说明AC=12－2=10 厘米，沿BC 放置时，另一端沿吸管露出最多，为4 厘米，说明BC=12－4=8 厘米，根据勾股定理，AB2 = 102 - 82 = 36 ，所=9π⨯8=72π=226.08 ．以AB=6，底面半径为3，所以V杯练习10. 右图中，AB 是圆O 的直径，长6 厘米，正方形BCDE 的一个顶点E 在圆周上，∠ABE = 45︒．那么圆O 中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取π= 3.14 ）．（2013 年18 届）【答案】10.26【解答】因为∠ABE = 45︒，∠EAB 所对的圆弧和∠ABE 所对的圆弧弧度相等，且圆弧的直径相同，故∠EAB = 45︒，三角形ABE 是直角三角形．由勾股定理：2BE2 =AB2 = 62 = 36 （平方厘米），正方形BCDE 的面积＝BE2 =18 （平方厘米）．圆O 的面积－正方形BCDE 的面积＝（圆非阴影部分的面积+圆和正方形相交部分的面积）－（正方形BCDE 中非阴影部分面积+圆和正方形相交部分的面积）＝圆非阴影部分面积－正方形非阴影部分面积＝32 ⨯π-18 = 28.26 -18 =10.26 （平方厘米）．练习11. 图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）．（A）1，2 （B）2，3 （C）3，4 （D）4，5（2012 年17 届）【答案】D【解答】注意到展开图中不能出现“田”字结构，因此排除掉ABC，选D．练习12. 如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M 和BC 的中点N，减掉△MBN 得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD 纸片展开铺平后的图形是．（2006 年11 届）D C D CNNA MB A M【答案】D．【解答】注意对折方向，可以判断B 点是原正方形中心，因此是中心被掏空的形状，再注意减掉的形状是三角形，也就是展开后，横竖四等分以后，每一部分缺的都是三角形，结合这两点，答案为D．课后作业：1. 计算：⎡⎛0.8 +1 ⎫⨯ 24 + 6.6⎤÷9- 7.6 =（）．（2012 年17 届）⎢ 5 ⎪ ⎥14⎣⎝ ⎭ ⎦（A）30 （B）40 （C）50 （D）60【答案】B．【解答】原式= [1⨯ 24 +6.6]⨯14 - 7.6 = 30.6 ⨯14 - 7.6=47.6 - 7.6=40 ．9 92. 算式1 -27+ 2 ⨯ 0.3的值为．（2010 年15 届）0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.44【答案】1 8．211 -2 5 3【解答】7 +2 ⨯ 0.3= 7 + 5 =5+2=18．0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.441+39 7 3 214 4 103. 下面有四个算式：①0.6 + 0.133=0.733 ；②0.625= 5 ；8③ 5+3=5 + 3=8=1；14 2 14 + 2 16 2④3 3 ⨯ 4 1 =14 2 ．7 5 5其中正确的算式是（）（2009 年14 届）（A）①和②（B）②和④（C）②和③（D）①和④【答案】B．【解答】①式错，因为0.6 并不循环，②式对，③式错，不符合分数加法规则，④式对，因此选B．4. 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则A、B、C 处填的数各是、、．（2004 年9 届）提示：注意相对两个面展开后的位置．C 2B 1A 4【答案】6、5、3．【解答】注意到，展开图中的形状，黑色两个面在合上后是相对的，所以在原图中，A 和1 相对，B 和2 相对，C 和4 相对，所以A=6，B=5，C=3．5. 如图，ABCD 是个直角梯形（∠DAB＝∠ABC＝90o）．以AD 为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36 平方厘米，连接BE 交AD 于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2006年11 届）提示：等积变换．（A）6.36 （B） 3.18 （C）2.12 （D）1.59 【答案】B．【解答】连接BD、AE，利用等积变换，S△PDC =S△PDB，所以S阴=S△EDB，再次利用等积变换，可以得到S△EDB =S△EDA，而三角形EDA 面积是长方形ADEF 的一半，为3.18，所以以S阴=S△EDB=S△EDA=3.18 ．6. 一块长方形的木板，长为90 厘米，宽为40 厘米，将它锯成2 块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画出分割线．（2004 年9 届）提示：阶梯形．【答案】如图，沿粗线剪开即可．．【解答】图形面积为90×40=3600 平方厘米，因此拼成的正方形边长为60 厘米，我们把这个图形画出来与原图形进行比较：3020两条边的差分别为30 和20，因此把90 厘米那边30 厘米一截，40 厘米那边20 厘米一截，分成6 块之后，稍作尝试即可．7. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0 （B）2（C）3 （D）4（2014 年19 届）【答案】C．【解答】当4 条直线都互相平行时，平面被分成5 个部分，不满足要求，因此最多只能3 条直线互相平行．构造：有3 条直线互相平行，另外一条直线与它们都互相垂直，此时平面被分成8 个部分．8. 如右图所示，AF = 7 cm，DH = 4 cm，BG = 5 cm，AE =1c m．若正方形ABCD内的四边形EFGH 的面积为78 cm2，则正方形的边长为（）cm．（A）10 （B）11 （C）12 （D）13（2014 年19 届）提示：类比弦图．【答案】C．【解答】用竖直线和水平线将正方形ABCD 分割为如右图所示的5 个长方形，中间长方形的面积是4⨯ 3＝12 ，所以，正方形的面积= (78-12)⨯ 2 +12＝144 ，正方形的边长是12．9. 如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的( )．提示：分割图形．（A）1 （B）2 （C）2 （D）52 3 5 12（2010 年15 届）【答案】A．【解答】由图可知，左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积，因此阴影部分的面积占平行四边形面积的1 . 2第二节数论、应用题精讲考点概述数论考点五、数的整除性相关知识六、质数合数七、约数与倍数八、余数问题应用题考点一、常考应用题类型（和差倍应用题，比例应用题，经济问题，浓度问题等）1. 画线段图帮助解题2. 列方程解应用题二、行程问题：1. 行程问题常见类型（相遇问题，追及问题，火车问题，流水行船问题，环形路线问题，多次相遇与追及问题等）2. 画线段图（形象直观地呈现题意，便于对题目条件进行分解与组合，挖掘隐含条件）3. 方程与比例解行程问题真题精讲例1．在一个圆周上有70 个点，任选其中一个点标上1，按顺时针方向隔一个点的点上标2，隔两个点的点上标3，再隔三个点的点上标4，继续这个操作，直到1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了2014 的点上标记的最小整数是．（2014 年19 届）【答案】5【解析】将70 个点中某个点为起始点，然后按顺时针方向依次将这70 个点记为第1 个，第2 个，第3 个，…，第70 个，用a 表示第a 个点上标记的数字是i．i i依题意a1= 1 ，a2 = 3 ，a3 = 6 ，a4 = 10 ，…，且按规律得：a 2014 =1+ 2 + 3 + + 2014 =2014 ⨯ 2015=202910522029105 = 28987 ⨯ 70 +15 ，而a5 = 15 ，因此第15 个点上标记的最小整数为5．例2．若a = 1515 15 ⨯ 333 3 ，则整数a 的所有数位上的数字和等于．（2008 年13 届）1004个15 2008个3（A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054【答案】B【解析】a = 505 05 ⨯ 999 9 ，利用结论A⨯ 999 9 的数字和为9n ，可知a 的数字和为18072，选B．1004个5 2008个9 n个9练习1．恰有20 个因数的最小自然数是（）．（2010 年15 届）（A）120 （B）240 （C）360 （D）432【答案】B．【解析】因为20=2×10=4×5=2×2×5，因此，具有20 个因数的自然数的质因数分解形式只有19 ，⨯9 ，3 ⨯4 ，⨯⨯ 4 这4 种，对应类型的最小自然数分别为219 ，3⨯ 29 ，33 ⨯ 24 ，3⨯5⨯ 24 ，其中最小的是240，选B．练习2．在19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（）．（2009 年14 届）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】质数判定，检验所有平方小于2009 的质数即可．练习3．若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）．（2011 年16 届）（A）100 （B）101 （C）102 （D）103【答案】C【解析】最小连续4 个合数为24，25，26，27，它们之和为102．例3．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180 只．有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（）只．（2012 年17 届）（A）240 （B）248 （C）420 （D）842【答案】A【解析】设猫有x 只，狗有y 只，则认为自己是猫的动物共有80%x + 20% y 只，从而80%x + 20%y = 32%(x +y) ，可以得到4x =y ，再结合狗比猫多少180 只，可得x = 60 ，y = 240 ，从而狗有240 只，选A．例4．一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．（2013 年18 届）（A）22 （B）20 （C）17 （D）16【答案】A【解析】记青蛙每向上爬行1 米，所用时间为t 分钟，则下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一，也为t 分钟．当青蛙刚爬至离井口3 米时，离井底9 米，所用时间是17 分钟．将2 米分为1 段，则一段所需时间为4t，第一次离井口3 米的时候是，向上爬了3 段之后再向上爬了3 米，第二次离井口3 米的时候是，向上爬了4 段之后再向上爬了1 米，此时总共花了17t 的时间，此时为8 点17，过了17 分钟，所以t=1，即每分钟1 米．向上爬出井口的时候，总共是向上爬了5 段，然后向上爬了2 米，总共花了22 分钟．练习5．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是( )cm．（2010 年15 届）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】B．【解析】设剪下的长度为x cm，那么有：23 -x ≥ 2(15 -x) ，解得x ≥ 7 ，因此剪下的长度至少为7cm，选B．练习6．某次考试有50 道试题，答对一道题得3 分，答错一道题扣1 分，不答题不得分．小龙得分120 分，那么小龙最多答对了（）道试题．（2014 年19 届）（A）40 （B）42 （C）48 （D）50【答案】B【解析】得分120 分，说明至少需要答对40 道题，其余10 道题不答，满足题意．若答对41 道题，答错3 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对42 道题，答错6 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对43 道题，得分依然为120 分，需要再答错9 道题，此时至少需要有52 道题，52>50，因此不满足题意．解法二：设作对x 题，做错y 题，未答z 题，则有：3x - y =120, x +y +z = 50,合并两个等式，得到：4x =170 - z, x = 42 +2- z ，x 是非负整数，尽可能大，故z = 2, x = 42 ，即小4龙最多答对42 道试题．练习7．两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33 条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3．那么每个水池内有金鱼（）条．（2010 年15 届）（A）112 （B）168 （C）224 （D）336【答案】B【解析】这是一道工程问题的变形，每个水池内有金鱼33 ÷ ( 5-3) =168 （条）．5 + 3 4 + 3解法2：可以认为是比例应用题，设亮亮第一次捞到3n 条，则红红第一次捞到4n 条，依题意，有3n + 33=5，解得n=24，因此水池内共有金鱼7n=168 条．4n - 33 3练习8．用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成．如果增加3 台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3 台计算机，则比原定时间多用5小时．那么原定完成录入这部书稿的时间是（）6小时．（2011 年16 届）（A）5 3【答案】A （B）103（C）56（D）116【解析】增加3 台计算机，则只需原定时间的75%，所以原先有9 台计算机；如果减少3 台计算机，则所需时间为原定时间的9=3，比原定时间多用了5小时，所以原定要5÷⎛3-1⎫=5小时．9 -32 6 6 2 ⎪ 32⎝ ⎭例6． 图中是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C ．小圈轨道的周长是 1.5 米，大圈轨道的周长是 3 米．开始时， A 连接 C ，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时 变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接．若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟．（2010 年 15 届）【答案】2.1【解析】根据条件，在小圈火车行驶一圈用时1.5 ÷10 = 0.15 分钟，在大圈火车行驶一圈用时3 ÷10 = 0.3 分钟．设回到 A 点时用时为 t 分钟，这样我们有下表：回到 A 的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 910到 A 点用时 0．3 0．6 0．9 1．2 1．35 1．5 1．65 1．8 1．95 2．1经过的轨道ACACACABABABABABABAC下面我们给出一个一般的解答：设玩具火车绕小圈轨道 m 圈，绕大圈轨道 n 圈，则玩具火车运动路程是 S = 1.5m + 3n ，时间是1.5m + 3n ．如果 ⎡1.5m + 3n ⎤ 是偶数，则变轨开关 AC 连通，如果 ⎡1.5m + 3n ⎤是奇数，则变轨开关 AC 10 ⎢ 10⎥ ⎢ 10⎥⎣⎦⎣⎦连通．我们寻找最小的 m + n ，使1.5m + 3n是偶数．无妨设 101.5m + 3n = 10K ，或 3m + 6n = 20K ，这里 K 是偶数，并且有 3 为约数，是玩具火车运动的时间，因此最小的 K 是 6．即求 m 和 n 使m + 2n = 40 ．12 当 n ＝3，S AA C = 2S ABC = 12 ，故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈，时间是 10= 1.2（分钟）；当 n ＝4， m ＝5 时，⎡ 7.5 + 12 ⎤ = 1 ， ⎡ 9 + 12 ⎤= 2 ，故玩具火车绕小圈轨道 6 之后再次进入大圈轨道， ⎢ 10 ⎥ ⎢ 10 ⎥3⎣⎦ ⎣ ⎦此时1.5m + 3n＝1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 4= 2.1 （分钟）（可以称为一个拟循环）1010将玩具火车再次进入大圈运行，运行圈数记为 n ． n ＝3 时， 1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 7= 3 （分钟），玩具火车应2210当再次进入小圈运行，运行圈数记为 m ，既然1.5 ⨯ 7> 1 > 1.5 ⨯ 6，故玩具火车绕小圈运行 7 圈后，应 210 10再次进入大圈运行，此时 1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯ 7= 4.05 （分钟）．10 10 将玩具火车再次进入大圈运行， 运行圈数记为 n ．既然1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 > 5 > 1.5 ⨯13 + 3 ⨯10 ，10 10故玩具火车绕大圈运行 4 圈后，应再次进入小圈运行，此时1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 = 5.25 （分钟）， 10 10则玩具火车绕大圈运行 5 圈后，1.5m + 3n = 1.5 ⨯18 + 3 ⨯11= 6 (分钟)． 10 10结论玩具火车第 29 次回到 A 时， 变轨开关 AC 连通，即回到原始状态．练习9. 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：4、6、 5 1 和 4 2，则原来给定的 4 个整数的和为．（2009 年 14 届）3 3 【答案】10【解析】设 4 个整数分别为 a 、b 、c 、d ，则有a +b +c +d = 4 、 a + b + d + c = 6 、a + c + d + b = 5 1、 3 3 3 3b +c +d + a = 4 2，四式相加可得 2(a + b + c + d ) = 20 ，从而 a + b + c + d = 10 ．3 3练习10. A 、B 、C 、D 、E 五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A →C ，B →E ，C →A ，D →B ，E →D ．开始时 A 、B 拿着福娃，C 、D 、E 拿着福牛，传递完5 轮时，拿着福娃的小朋友是（）．（2009 年14 届）（A）C 与D （B）A 与D （C）C 与E （D）A 与B【答案】A【解析】A 和C 之间的传递以2 为周期，B、E、D 之间的传递以3 为周期，所以5 轮之后，A 和C 之间的福娃最后在C 手中，B、E、D 之间的福娃最后在D 手中，所以最后拿着福娃的是C 与D．练习11. 某学校组织一次远足活动，计划10 点10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）．（2014 年19 届）（A）11 点40 分（B）11 点50 分（C）12 点（D）12 点10 分【答案】B【解析】从10 点10 分到13 点10 分共有3 个小时，比计划时间少用9 分钟，即每小时少用3 分钟，少用5 分钟的时候即是到达B 点的时间．此时需要5÷（3÷60）=100 分钟，即1 小时40 分钟，所以到达B 点的时间是11 点50 分．练习12. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，且在A，B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，而乙车只行驶了1 小时就到达A，则两车第15 次（在A，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．（2012 年17 届）【答案】B【解析】设甲、乙的速度分别为V甲、V乙，则甲、乙相遇时，他们行驶的路程比为V甲:V乙；另一方面，第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，乙车继续行驶了1 小时到达A，所以这两段的路程比也为V乙: 4V甲，从而V甲:V乙=V乙: 4V甲，进而有V甲:V乙= 1: 2 ，进而可以得到甲从A 到B 需要6 小时，乙需要3 小时，一个周期为12 小时且周期内相遇两次，7 个周期后，甲、乙相遇14 次，且分别回到A 和B，2 小时后，甲、乙第15 次相遇，总共用时7 ⨯12 + 2 = 86 小时．课后练习1. 任意写一个两位数，再将它依次重复3 遍成一个8 位数．将此8 位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是．（2004 年9 届）【答案】4【解析】abababab ÷ab =1010101，1010101 除以9 的余数为4．2. 2008006 共有个质因数．（2006 年11 届）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】C【解析】2008006 = 2 ⨯ 7 ⨯11⨯13⨯17 ⨯ 59 ．3. 小明所在班级的人数不足40 人，但比30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．（2014 年19 届）（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7【答案】D【解析】如果男、女生人数的比是2:3，那么全班人数一定是5 的倍数，男生14 人，女生21 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:4，那么全班人数一定是7 的倍数，男生15 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是4:5，那么全班人数一定是9 的倍数，男生16 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:7，那么全班人数一定是10 的倍数，但本班人数不足40 人，但比30 人多，所以男、女生人数的比不可能是3:7．4. 开学前6 天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60 道题，开学时，两人都完成了数学作业．在这6 天中，小明做的题的数目是小强的3 倍，他平均每天做（）道题．（2009 年14 届）y 7 ⎩（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15【答案】D【解析】这 6 天小明比小强多做了 60 道，平均每天多做 10 道，小明每天做题量是小强的 3 倍，所以 小强每天做 5 道，小明每天做 15 道．5. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9:7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7:5，那么盒子里原有的黑子数比白子数 多（ ）个．（2013 年 18 届）（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）8【答案】C【解析】设原有黑子数为 x ，白子数为 y ，得方程⎧ x - 1 = 9⎧7 x - 9y = 7⎪ ⎪ ⎪ ⎨x 7 即 ⎨⎪ = ⎪⎩ y - 1 5⎪5x - 7y = - 7由此解得x = 28 ， y = 21 ．故 x - y = 7 ．解法二：前后两次均取出一枚棋子，剩下棋子的总数不变，而 9 + 7 = 16 ，7 + 5 = 12 ，16 与 12 的最小 公倍数为 48 ，因此设取出一枚棋子后，剩下棋子的总数为 48 份．第一次余下的黑子数为 48 ÷ (9 + 7) ⨯ 9 = 27 份；第二次余下的黑子数为 48 ÷ (7 + 5) ⨯ 7 = 28 份；两次相差 1 份．而前后两次余 下的黑子数相差 1，因此 1 份对应 1 枚棋子．原有黑子 28 个，原有的白子数为 28 ÷ 7 ⨯ 5 + 1 = 21个， 黑子比白子多 28 - 21 = 7 个6. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和 2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（ ）立方米的水．（2013 年 18 届） 【答案】D【解析】由已知， 1 号阀门每分钟注入 1 18池水，而 2 号阀门放出 1 24池水．到A 池深 0.4 米时，正好在 A 池中留存了 1池水，31 ÷ ⎡ 1 -1 ⎤ = 24 (分钟)．⎣ ⎦3 ⎢18 24 ⎥故此时恰好放了24 分钟，正好把B 池放满，进而B 水池中有水3⨯ 2 ⨯1.2 = 7.2 （立方米）．7. “低碳生活”从现在做起，从我做起．据测算，1 公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14 吨．如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21 千克．某市仅此项减排就相当于25000 公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3 台空调计，该市家庭约有万户．（保留整数）（2010 年15 届）【答案】556【解析】25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6．8. 甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．（2014 年19 届）10080604020米/分5分10 15 20 25 30甲10080604020米/分分5 10 15 20 25 30乙【答案】300【解析】由图所示，前10 分钟，甲和乙速度相同；第10 分钟至第20 分钟，乙速度是100 米/分，甲的速度是80 米/分，故乙多走了200 米；第20 分钟至第25 分钟，甲乙速度相同；第25 分钟至30 分钟，乙的速度是80 米/分，甲的速度是60 米/分，故乙多走了100 米；乙共计多走了300 米．9. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇后，甲掉头返回A 地，乙继续前行．甲到达A 地后掉头往B 行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A 到B 共需小时．（2011 年16 届）【答案】7.2【解析】甲、乙相遇后，同时向B 行驶，甲先是花了3 小时到达A 地，然后甲掉头行驶了半小时和乙相遇，从而甲乙相遇后，乙行驶了3.5 小时，且这段路甲只需要2.5 小时，所以甲、乙的速度比为7:5，从而甲花了3 小时的这段路，乙需要3⨯ 7 ÷ 5 = 4.2 小时，所以乙从A 到B 共需3 + 4.2 = 7.2 小时．第三节数字谜、计数、组合精讲考点概述数字谜考点：竖式问题常用方法：（1）加数相加时每进1 位，和的数字和将比加数的数字和之和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．（3）与整除相关的问题，注意运用以前学过的整除知识．计数问题考点：1. 枚举法（有序、分类）2. 加乘原理（分类，加法；分步，乘法）3. 排列组合（排列，有序；组合，无序；常用方法，插空、捆绑、插板、排除等）4. 综合运用（结合几何、数论等知识）组合问题考点：1. 最值问题：（1）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再找出最大值或最小值．（2）两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大．（3）极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法．2. 逻辑推理、统筹对策、抽屉原理等．真题精讲。
2012年十七届华杯赛初赛中年级组详解(网络版含笔试公开题)
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷详细解答（小学中年级组网络版）（时间: 2012 年 3 月8 日19:30 ~ 20:30 ）一、选择题(每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.如下图，时钟上的表针从（1）转到（2）最少经过了（）.（A）2小时30分（B）2小时45分（C）3小时30分（D）3小时45分【解答】（1）中表所示时间是12：45，（2）表时间为15：30，经历了2小时45分2.在2012年，1月1日是星期日，并且（）.（A）1月份有5个星期三，2月份只有4个星期三（B）1月份有5个星期三，2月份也有5个星期三（C）1月份有4个星期三，2月份也有4个星期三（D）1月份有4个星期三，2月份有5个星期三【解答】1月份一共有31天，7天一个星期，周期为7，那么1月4日，1月11日，1月18日，1月25日，都是星期三，共4个，1月32日即2月1日，2月9日，2月169Y X D C B A + 日，2月23日，2月30日都是星期三，共5个3. 有大小不同的4个数，从中任取3个数相加，所得到的和分别是180, 197, 208和222. 那么，第二小的数所在的和一定不是（ ）.（A ）180 （B ）197 （C ）208 （D ）222【解答】四个数中任取3个，一共有4中取法，分别加起来得到和从小到大排列，那么缺少的数分别对应最小数，第二小数，第三小数和最大数，所以是2084. 四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面30米，丙在丁后面60米，乙在丙前面20米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ ）米.（A ）10 （B ）20 （C ）50 （D ）60【解答】丙 乙 甲 丁可以从图中看出在最前面的是甲和丁，相距10米5. 在右图所示的两位数的加法算式中, 已知22=+++D C B A , 则=+Y X （ ）.（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）13 和180 197 208 222 缺少数 最大数 第三小数 第二小数 第一小数【解答】B+D=9，不可能是19，所以A+C=22-9=13，那么X=1，Y=3，X+Y=1+3=46.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有（）个.（A）12 （B）10 （C）8 （D）6【解答】如图所示二、填空题(每小题10 分，满分40分)7.如右图，用一条线段把一个周长是30 cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形. 如果小长方形的周长是16 cm，则原来长方形的面积是cm2.【解答】大长方形与小长方形的高相等高:(30-16)÷2=7厘米长:30÷2-7=8厘米面积:7×8=56平方厘米8.将10，15，20，30，40和60填入右图的圆圈中，使A, B, C三个小三角形顶点上的3个数的积都相等. 这相等的积最大为【解答】10=2×515=3×520=2×2×530=2×3×540=2×2×2×560=2×2×3×5因数2一共9个;因数3一共3个;因数5一共6个，中间三个圈里面的数,各乘了2次，三个乘积再相乘,等于原来6个数的乘积再乘上其中的三个数,结果是一个立方数因数5最多增加3个,有9个因数3最多增加3个,有6个因数2最多增加3个,有12个乘积最大为53×32×24=180009.用3, 5, 6, 18,23这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是 .【解答】(23-3)÷5-18÷6=110.里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城. 县城离里山镇54千米. 早上8:30一辆客车从里山镇开往县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，午前11:00能够到达. 另有一辆客车于当日早上9:00从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米. 那么两车相遇时, 省城开往里山镇的客车行驶了分钟.【解答】8:30—9:15,一共45分钟=0.75小时9:30—11:00,一共1.5小时9:00—9:30,一共30分钟=0.5小时县城与省城相距:189-54=135千米第一辆客车从县城出发以后的速度为每小时:135÷1.5=90千米第一辆客车从县城出发时,省城开出的客车已经行了0.5小时,行程为:60×0.5=30千米两车相遇还需: (135-30)÷(90+60)×60=42分钟省城开出的客车一共行了:42+30=72分钟11.（笔试公开题）北京时间16时, 小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4块表, 如下图,其中最接近16时的是（）.（A）（B）（C）（D）【解答】从镜中看到的时间与原来钟表中时间左右对称，时间分别为：。
2012年第17届华杯赛初赛赛前公开题
3. （初一组）内角都小于 180 度的七边形的内角至少有（
）个钝角.
（A）6 (B)5 （C）4 （D）3 【刘杨】七边形的内角和为 900 度。令七个内角至少有 n 个钝角，则有：
90 7 n 180n 900 ，解之得： n 3 ，所以至少有 4 个钝角。
第 17 届华杯赛赛前公开题
1. （小学中年级组 笔试版）北京时间 16 时, 小龙从镜子里看到挂在身后墙上的 A） 【刘杨】镜子呈左右对称。
（B）
（C）
（D）
上图依次显示的时间为： 20:05(8:05)；19:50（ 7:50） ； 16:10（ 4:10） ；15:55（3:55） ；显然 最接近 16 时的是 D。 2. （小学高年级组） 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗, 狗比猫多 180 只. 有 20% 的 狗错认为自己是猫；有 20% 的猫错认为自己是狗. 在所有的猫和狗中, 有 32% 认 为自己是猫, 那么狗有（ ）只. （A）240 【刘杨】 法一：浓度三角：
狗 20% 32% 猫 8% 12% 1 48%
（B）248
（C）420
（D）842
4
因为狗比猫多 180 只，则狗有 240 只。
法二：设有 x 只猫，则有狗 x 180 只，则 20% 180 x 80%x 32% x x 180 ，解之得
x 60 ，所以有 60 只猫，狗 240 只。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
老
第 3 页师兴趣是最的老师帅帅思维公众号：shuaiteacher
帅
2．以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（ A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】几何计数
老
第 1 页
师
）个三角形．
兴趣是最好的老师
学习有意思
快乐思维
4．图中的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正 好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ） ． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 【考点】立体展开图 【难度】☆☆☆ 【答案】D 【解析】正方体的展开图，试着自己画一画．有 11 种， （6 种“141” ，3 种“231” ， 1 种“33” ，1 种“222” ．如图：
帅帅思维公众号：shuaiteacher
帅
6．右图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ A．83 B．79 C．72 D．65
老
第 2 页
【解析】根据弃九法 ABC DEF HIJ 2HIJ 被 9 整除，所以 HIJ 被 9 整除，观察选项中只有 459 符合条 件，所以答案为 C．
【解析】 连接 EG ， 根据三角形面积的等积代换得 S△AEC S△ACG 6.75 平方厘米，
帅
又因为 S△ ABC
S△ABE S△AEC S△ABC 6.75 4.5 2.25 平方厘米．
帅帅思维公众号：shuaiteacher
帅
1 SWABCD 4.5 平方厘米，所以 2
二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分） 7．右图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数，要求上面部分 是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，那么上面部分的三位数是___________．
【解析】三个档上的算珠合起来是 1110，1110=2 3 5 37 ，要求上面三位数字 不同，而 37 3 111 ，所以分解成 1110 37 5 6 37 5 (5 1) ．那 么满足题意的上面的三位数是： 37 5 5 925 ．
师
） ．
5 ．在右图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是 （ ） ． A．369 B．396 C．459 D．549
兴趣是最好的老师
学习有意思
快乐思维
8．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是 3 : 0 或 3:1 ， 则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3:2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是 四个连续的自然数，则第一名的得分是__________分． 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆ 【答案】6 【解析】每场比赛两队的得分之和固定为 3，4 支球队共举行 4 3 2 6 场比赛，总分为 6 3 18 ，表示成 四个连续自然数之和为 6+5+4+3 ，所以第一名得 6 分． 9．甲、乙两车分别从 A ， B 两地同时出发，且在 A ， B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲 车继续行驶 4 小时到达 B ，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A ，则两车第 15 次（在 A ， B 两地相遇次数不 计）相遇时，他们行驶了__________小时． 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】86
） ． D．60
【难度】☆☆ 【答案】B
14 4 1 9 【解析】原式 24 6.6 7.6 =30.6 7.6 47.6 7.6 40 ． 9 5 5 14
【难度】☆☆ 【答案】D
【解析】最多有 8 个三角形，如图： 一个三角形的有 4 个，包含 2 个三角形的大三角形有 4 个，一共是 8 个三角形． 3．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只，有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为 自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只． A．240 B．248 C．420 D．842 【考点】列方程解应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】A
帅
【解析】不妨设狗 x 只，那么猫就有 x 180 只．根据题意，狗里面有 20%x 只认为自己是猫，猫里面有 80%(x 180) 的 认 为 自 己是 猫 ， 所以总 共 有 20%x 80%( x 180) 认 为 自 己 是 猫，列 方 程 得 ： 20%x 80%( x 180) 32%( x x 180) ，解得 x 240 ．
学习有意思
快乐思维
2012 年第十七届华杯赛小高组初赛 参考答案
1 B 6 2 D 7 3 A 8 4 D 9 5 C 10
A
925
6
86
2.25
参考解析
一、选择题（每小题 10 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写 在每题的圆括号内． ）
1 9 1．计算 0.8 24 6.6 7.6 （ 5 14 A．30 B．40 C．50 【考点】计算
【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】C
【考点】几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】A
帅
【考点】和倍问题 【难度】☆☆☆ 【答案】925
【解析】1 个小正方形的有 (2 4 6 8) 2 40 个；4 个小正方形的有 (1 3 5) 2 7 25 个；9 个小正方 形的有 2 4 4 2 12 个；16 个小正方形的有 3+3 1 5 个；大正方形有 1 个，一共有 40 25 12 5 1 83 个．
V V 1 V 【解析】 乙 =4 甲 ， 故 甲= ． 故甲乙行完第一个全程各用了 2 个小时， 以甲为参照： （把全程看成 3 份） V甲 V乙 V乙 2
第 1 次相遇甲乙合走了 1 个全程，S甲 =1 份， 第 2 次相遇甲乙合走了 3 个全程，S甲 =3 份 （在 B 点） ， 第 3 次相遇甲乙合走了 5 个全程， S甲 =5 份，第 4 次相遇甲乙合走了 7 个全程， S甲 =7 份，第 5 次 相遇甲乙合走了 9 个全程，S甲 =9 份 （在 B 点） ， 第 6 次相遇甲乙合走了 11 个全程，S甲 =11 份， …… 可知除第 1 次相遇外，每 3 次相遇中有一次在 A 或是 B 点，所以只能算两次，因此要算 15 次相遇 的时间，则有 15=2 7 1 ，时间总和就是 2 3 4 7=86 小时． 10． 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米， 正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米． 如图所示， 边 BC 落在 EH 上． 已 知三角形 AGC 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的面积为________平方厘米． 【考点】几何 【难度】☆☆☆☆ 【答案】2.25