(2)等额年金共95页文档
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等额年金
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor
第二章 等额年金(上)-PPT精品文档
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系 列款项。 年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如： 投保、房贷。 年金的类型： 1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年 金和风险年金。 注：确定年金就简称为年金。 2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年 金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值 假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值 一般用符号an 表示。
和 股 票 出 售 的 收 入投 进资 行。 B股 票 在 前 10年 没 有 红 利 收 入 ，
投资，并且 n 在 年 后 出 售 股 票 。 为甲 了乙 使在 乙 的 股 票 出刻 售时
解：设乙的股票出售价格为x
0 . 4 100 s 1 i 2 100 1 i 1 0
59 现值: 6755 . 879998 . 19402 ( 1 0 . 015 ) 3256
例 ： 甲 持A 有 股票 100 股 ， 乙 持B 有 股票 100 股。 A股 票 每 年 底 得 到红利 0.40 元，共计 10年 ， 在 第 10 次分红后，甲以每 2元 股 的价
格 将 所 有 的 股 票 出而 售且 ，甲 以 年 利 6 ％ 率 的收益率将红利收 第 11 年底开始每年得到 0.80 红利 元 ， 如 果 乙 也 是 以率 年 6 ％ 利进 行 的 累 积 值 相 同 ， 分n 别 15 对 、 50 、 25三 种 情 况 计 算 乙 的出 股售 票 价格。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值 假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值 一般用符号an 表示。
和 股 票 出 售 的 收 入投 进资 行。 B股 票 在 前 10年 没 有 红 利 收 入 ，
投资，并且 n 在 年 后 出 售 股 票 。 为甲 了乙 使在 乙 的 股 票 出刻 售时
解：设乙的股票出售价格为x
0 . 4 100 s 1 i 2 100 1 i 1 0
59 现值: 6755 . 879998 . 19402 ( 1 0 . 015 ) 3256
例 ： 甲 持A 有 股票 100 股 ， 乙 持B 有 股票 100 股。 A股 票 每 年 底 得 到红利 0.40 元，共计 10年 ， 在 第 10 次分红后，甲以每 2元 股 的价
格 将 所 有 的 股 票 出而 售且 ，甲 以 年 利 6 ％ 率 的收益率将红利收 第 11 年底开始每年得到 0.80 红利 元 ， 如 果 乙 也 是 以率 年 6 ％ 利进 行 的 累 积 值 相 同 ， 分n 别 15 对 、 50 、 25三 种 情 况 计 算 乙 的出 股售 票 价格。
3等额年金
含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1 将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为ia 。在第
n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1
n
i
i
……
i
1
0
n s = a (1 + i ) （2） n n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
10
（3）
证明：
1 1 = +i an sn
1 i +i = +i n sn (1 + i ) − 1
延期年金现值为
m a = v an| = am + n − am| m| n|
29
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次 支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
30
年金的现值等于
v 2 a7| = a9| − a2|
1 = d
34
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
1 第一个是每年末付款1，现值为 ； i
�
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值
vn 为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 i
1 vn 1 − vn an = − = i i i
（参见下图）
35
现金流时间图
1 1
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
32
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以永久支付下去的年金，没有结束日期。 记号 a∞| 表示期末付永续年金的现值。
(2-2)等额年金
1200
1 i
(m)
＝20000
27
将名义利率用年实际利率表示，则有
1200 = 20000 1 12 12[(1 i) 1]
解此方程可得年实际利率为
i 6.1678%
28
连续支付的年金（连续年金）
含义：
假设连续不断地进行付款（ m），但每年的付款总量 仍然为1元。
记号： an | 表示连续年金的现值
n t 0
n
(1 i) x dx
n
0
(1 i)t dt
0
n
令x = n-t
(1 i ) ln(1 i ) 0
t
n
a
(m) n|
1 vn (m) d
d 1 vn (m) d d
d d
(m)
an |
i /(1 i) i i an | an | ( m) ( m ) an | (m) d d 1 i d
注：如果年付款一次，即m = 1，则有 d ( m ) d ，所
X 50000 a60|0.0049386 965（元）
9
每年支付 m 次的年金：建立新公式
n 表示年数。 m 表示每年的付款次数。 nm 表示年金的支付总次数。 i 表示年实际利率。
10
期末付年金：每年支付m次的期末付年金如下图：
假设每次的付款为1/m元，从而每年的付款是1元。
每年支付 m 次的期末付年金
以期初付年金的现值成为
1 vn an | d
23
期初付年金的累积值可表示为
s
( m) n|
(1 i) a
(2-1)等额年金(1)
期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款 1的现值为v2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1 的现值为 v n ，故
an v v2 vn
n
1 vn 1 vn v (1 v ) v i 1 v iv
6
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s
n
sn
的表述式
n期期末付年金在 t 时的积累值之和记为 每期的实际利率（可省略）。
sn |i ， i 表示
在第1个时期末付款1的积累值是 (1 i)n1 ，在第二个时
(1 i)n2 ，这样继续下期，直到 期末付款1的积累值为
第n个时期末付款1的积累值为1。
说明: 如果在第 n 期末虚设一次付款，那么将有(n + 1)次付款，其终 值为 sn1| 。 从 sn1| 中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元） ，即得原来 n 次付款的 终值 n | 。 s
1 1 1 …… 1 1
n期
28
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：经过一个推迟的时期后才开始付款的年
记号 ——表示期初付年金的积累值，i可省略 s
n|i
n (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1 ] s
(1 i )n 1 (1 i ) n 1 (1 i ) (1 i ) 1 d
18
期初付定期年金的终值
1 0 1 2
a7|
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
s7|
3
a7|
10
an v v2 vn
n
1 vn 1 vn v (1 v ) v i 1 v iv
6
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s
n
sn
的表述式
n期期末付年金在 t 时的积累值之和记为 每期的实际利率（可省略）。
sn |i ， i 表示
在第1个时期末付款1的积累值是 (1 i)n1 ，在第二个时
(1 i)n2 ，这样继续下期，直到 期末付款1的积累值为
第n个时期末付款1的积累值为1。
说明: 如果在第 n 期末虚设一次付款，那么将有(n + 1)次付款，其终 值为 sn1| 。 从 sn1| 中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元） ，即得原来 n 次付款的 终值 n | 。 s
1 1 1 …… 1 1
n期
28
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：经过一个推迟的时期后才开始付款的年
记号 ——表示期初付年金的积累值，i可省略 s
n|i
n (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1 ] s
(1 i )n 1 (1 i ) n 1 (1 i ) (1 i ) 1 d
18
期初付定期年金的终值
1 0 1 2
a7|
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
s7|
3
a7|
10
CH2 等额年金
第一节 年金的概念与类别
二、年金类别（续）
标准年金：（1）等时间间隔付款；
年
金
（2）每次付款金额恒定；
的
形
（3）付款频率与计息频率一致；
态
一般年金：不满足标准年金任一条件的年金即为一般年金
1
1
1
1
1 ……
1
1
R
R
R
R
R ……
R
R
0
1
2
3
4 …… n-2 n-1 n
Section Ⅱ
年金的现值和终值
第一节 年金的概念与类别
一、年金概念
所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。 年金在现实经济生活中应用相当广泛，比如零存整取的存款、住房按揭还 款、购物分期付款、养老金支付、债券的固定利息收入、分期交付的保险 费，等等。 年金的原始含义是限于一年支付一次，且每次支付相等金额的系列款项， 现已推广到任意间隔长度的系列付款，且每次付款的金额也未必是相等的 ，它完全可以按照某种规律递增或递减。
nk
i
1vn vn vnk 1vn vnk vk 1
i
i
i
a vnk 1ik 1
n
i
a vnk s
n
k
这里，在时刻 nk 的零头付款就是
1 ik 1
i
，即 s
k
。
第四节 非标准期年金问题
从前面的推导可知该零头付款实际上就是 s ，之所以是年金式的，是因为它的 k
形式符合年金规律和算法，即：
1 i k 1
前面我们讲到的年金的现值和终值，现值是年金在支付期限起点 的值，终值是年金在支付期限终点的值。但是在实务中，有时候 我们需要计算年金在其他任意时点上的值。这主要包括以下三种 情况： 一、年金在支付期限开始前任意时点上的值； 二、年金在支付期限内任意时点上的值； 三、年金在支付期限结束后任意时点上的值。
第二章 等额年金 (上)分解
v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m
或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
3、永续年金
1）期末付年金现值
1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。
解: Pa10 20000
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金
利息理论 第3章 等额年金(下)
ak n sk
令：m=kn,为计息的总次数。则
an ( k )
am sk
终值
sn (k ) 1 (1 i ) k (1 i ) 2 k (1 i ) ( n 1) k
1 (1 i ) 1 (1 i ) k
kn
(1 i ) kn 1 i i (1 i ) k 1
(k ) s
( m) ni
i d
( m)
sn i
d d
( m)
n i s
3、永续年金
a
( m)
(k ) lim a
n
( m) ni
1 i
( m)
a
( m)
(k ) lim a
n
( m) ni
1 d
( m)
例：设有一基金，每季度末支付10，000元，共支付5 年。已知年利率为6%，且每4个月计息1次，求该年 金的现值和终值。
43.07688 26 .973465 24 1000 (1 1%) 2000 11.255077 11.255077 9652 .78元
解2
设每年度利率为i。
i0 (1 1%)12 1 0.12683
5 (12 ) 1000 3 (1 i ) 2 2000 2 s s s
一、n年期年金 1、期末付 假设年利率为i，每次末的支付额为1∕m，每年支付额为1 元。
m m 1 1/m 2 1/m ---n-1 1/m m n 1/m
0 1/m
现值
( anm )
1 v m (1 v n ) 1 1 v n 1 1 m m m m 1 v v 1
2-1等额年金1
L
(1 i1)1(1 i2 )1 L (1 in )1
1 i1
1 i2
0
1
2
1
1
in
n-1
n
45
期初付年金的现值
a&& n|
1
(1
i1
)1
(1
i1
)1(1
i2
)1
L
(1 i1)1(1 i2 )1 L (1 in1)1
1
1
i1
0
1
1 i2
2
1 in
n-1
n
46
期末付年金的累积值
s n|
1
(1
记号&s& ——表示期初付年金的积累值，i可省略 n|i
&s& (1 i) L (1 i)n (1 i)[1L (1 i)n1] n
(1 i) (1 i)n 1 (1 i) 1
(1 i)n 1 d
18
期初付定期年金的终值
19
a&& 和 n|
&s&的关系 n|
（1）
&s& a&&(1 i)n
n
v
n
（2）
&sn|
Q &s& (1 i) L (1 i)n (1 i)[1L (1 i)n1] (1 i)s
n
n
（参考下页图示） 24
different present values of a constant annuity
a&& (1 i)a
n|
n|
&s& (1 i)s
lim
《金融数学》(2-2)等额年金
.
27
连续支付的年金 （continuously payable annuity）
含义：
假设连续不断地进行付款（ m），但每年的付款总量
仍然为1元。 记号：
a n | 表示连续支付年金的现值
s 表示连续支付年金的累积值 n|
.
28
连续支付年金是年支付次数m趋于无穷大时的年金，故
或
a lim a(m )lim 1vn1vn
问题：如何计算下述年金？ 每年复利 k 次（给出年名义利率），每年支付1次 每年复利1次，每年支付 m 次
解决途径之一： 计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。
解决途径之二：建立新公式（只讨论每年支付m次的年金）
.
3
例：投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在 后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月复利一次， 月实际利率为0.5%，试计算该项投资在第5年末的价值。 （应用基本公式） 解：这是每年支付1次、每年复利12次的年金。
.
38
例：如果现在投资1000元，3年后投资2000元，在10年后的全 部收入为5000元，计算半年复利一次的年名义利率。 解：令 j i(2) / 2 ，价值方程为
1 0 0 0 ( 1 j)2 0 2 0 0 0 ( 1 j)1 4 5 0 0 0
用excel求解此方程得（请练习）
j 0.32178
相应的年实际利率为
i(10 .0 0 5 )1 2 1 =6 .1 6 7 8 %
.
4
因此该笔年金在第5年末的价值为
1000s 1000s 1 0 0 0 (1 0 .0 6 1 6 7 8 )(s s)
5|
3|
5| 3|
等值年金
什么是等额年金法等额年金法指运用年金法，使各期租金均等的租金计算方法。
等额年金发生在(或折算为)某一特定时间序列各计息期末的等额序列。
即从计算期的第一年至最后一年年末的效益额都相等时，称为等额年金。
等额年金法的类型等额年金法分为先付和后付。
1）先付租金的等额年金法在租金先付的情况下，等额年金法的计算公式为：2)后付租金的等额年金法按照年金法计算的基本原理，后付租金的等额年金法的基本计算公式为：等额年金法的计算方法[1]等额年金法是我国目前租赁业务中最常用的计算方法，因此，把握这种方法，对企业开展租赁业务，正确地计算租金具有十分重要现实意义。
与等额年金法计算相关的概念和公式在介绍具体计算方法以前，需要了解“单利”、“复利”和“现值”等几个有关概念。
所谓单利，就是以本金计算利息的方法。
即由本金产生的利息不再加入本金重复计算。
单利的计算公式为：。
如本金P＝1000，年利率i＝9％，则：一年后的本利和二年后的本利和三年后的本利和所谓复利，则是本金经过一期后，将本金所产生的利息再加到本金上计算利息，即“利滚利”，其计算公式为其中，(1+i)为一次支付的现值系数，n为期数，我们仍以上例，用复利计算：一年后本利和二年后的本利和三年后的本利和所谓现值是指在将来各个不同时期所支付的每一笔付款或一系列付款所折合的现金金额与现在支付的付款等值。
现值是随远期付款的贴现利率变化而变化，如折现率为10％，一年以后的1000元，只相当现在的909.09元，这909.09元即为1000元将来货币的现值。
现值的计算公式为：其中：P_v为本金(现值)，i为复利率，n为复利次数，S n为本利和(将来值)等额年金法计算公式的推导1．期末后付租金复利定额年金法公式。
根据现值计算公式，设R为每次(相同间隔)应付租金，P_v为租赁物件总成本，i为付租间隔期费率，n为付租次数，则，第一次支付租金的现值为第二次支付租金的现值为......第n-1次支付租金的现值为第n次支付租金的现值为第一至第n次支付租金的现值和与租赁资产的概算成本相等，即：...... ①将上式进行简化，等式两边各乘以(1+i)，则：...... ②以②-①，则2．有宽限期的期末后付租金复利等额年金法计算公式。
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10
0.06
13
2、 期初付年金（annuity-due）
含义：在 n 个时期，每个时期初付款1元。
1 1 1 1 ……
1
0 1 2 3 ……
n-1 n
annuity-due present value factor : a&& :a-double-dot-angle-n ni
annuity-due accumulated value factor : &s& :s-double-dot-angle-n ni
引言
利息度量：
累积函数：实际利率、名义利率、利息力 贴现函数：实际贴现率、名义贴现率、利息力
年金（现金流）的价值？
等额年金 变额年金
1
本章主要内容：计算等额年金的价值
年金的含义和类型 期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity） 每年支付m次的年金（mthly payable annuity） 连续年金（continuous payable annuity）
含义：每个时期末付款1元。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
第 t 年末的 1 元在时间零点的现值 (1 i)t vt
6
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n ni
1 vn
a
n
i
a v v2 L vn n
2
年金（annuity）
含义：一系列的付款（或收款），付款时间和付款金额具 有一定规律性。
3
年金的类型
支付时间和支付金额是否确定？ 确定年金(annuity-certain) 风险年金(contingent annuity)。
支付期限？ 定期年金（period-certain annuity) 永续年金（perpetuity） 。
(1
i
(2) &s& s 1
n
n 1
&s&
n
1
1
1
1
1
……
1
……
1
1
1
s
n次
n 1
18
Example
Charles has inherited an annuity-due on which there remain 12 payments of 10,000 per year at an effective discount rate of 5%; the first payment is due immediately. He wishes to convert this to a 25-year annuity-immediate at the same effective rates of discount, with first payment due one year from now. What will be the size of the payments under the new annuity?
1
1
1
பைடு நூலகம்
s n
s
s
n
n
11
i
as
11
n
n
例 ：银行贷出100万元的贷款，期限10年，年实际利率为 6％，请计算在下面三种还款方式下，银行在第10年末的累积
值是多少（假设 ：银行收到的款项仍然按6%的利率进行投资）。 本金和利息在第10年末一次还清； 每年的利息在当年末支付，本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相等的金额。
10000
……
10000
（12 payments, d=5%)
X
……
X (25 payments, d=5%) 19
Solution:
d =5%
i d 0.05 1 1 d 0.95 19
令X是新年金在每年末的支付额，则
10000a&& Xa
12
25
X
10000 1 (1 i)12 d
1
14
a&& ——期初付年金的现值因子 n|i
a&& a
1 vn
1 vn
(1 i)
(1 i)
n
n
i
d
&s& n|i
——期初付年金的积累值因子
&s& a&&(1 i)n
n
n
(1 i)n 1
d
15
a&& n|
和
&s&的关系 n|
证明（可略）：
11
d
a&& &s&
n
n
1 &s&
d
(1
d i)n
12
解：
（1）10年末的累积值为 100 (1 0.06)10 179.08
（2）
6s 10
100
6 1.0610 1 0.06
179.08
（3） 设每年末的偿还额为 R，则
Ra 100 R 100 1 (1 0.06)10
10
0.06
R s R (1 0.06)10 1 179.08
为 ian。在第n个时期末收回本金1，其现值为 vn 。
1
i
i
……
i
0
1
9
等价关系式（2）： 1 1 i
as
n
n
(下图解释）
证明（可略）：
1 s
i
i (1 i)n
i 1
n
i
i(1 i)n (1 i)n 1
i
i1
1 vn a
n
10
1
1
a
n
0
1 a
n
……
1
1
a
a
n
n
n
1
i
1 s
n
i
i
i
i +1
1 vn i
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor
s ：s-angle-n ni
s n
a (1 i)n n
(1 i)n 1 i
1 vn
a
n
i
8
等价关系式（1）：
1 ia vn n
含义：初始投资1，在每期末产生利息i，这些利息的现值
1
d
n
dvn 1 vn
d
d1
1 vn a&&
16
n
1
1
1
a&& a&&
n
n
0
1
i
d
d
1
1
&s& n
&s& n
1 a&&
n
……
i d
1 1 d
a&& &s&
n
n
1 a&&
n
n
i
i +1
d
1 &s&
n
17
3、期初付年金和期末付年金的关系
(1) a&& 1 a
n
n -1
说明: a&& 的 n 次付款分解为第1次付款与后面的 (n – 1) 次付款。 n
4
支付时点？ 期初付年金（annuity-due） 期末付年金（annuity-immediate）
开始支付的时间？ 即期年金，简称年金 延期年金（deferred annuity）
每次付款的金额是否相等？ 等额年金(level annuity) 变额年金(varying annuity)
5
1、 期末付年金（Annuity-immediate）